2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章函數(shù)2.3函數(shù)的單調(diào)性和最值2.3.1函數(shù)的單調(diào)性一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE1其次章函數(shù)§3函數(shù)的單調(diào)性和最值課時1函數(shù)的單調(diào)性學問點1函數(shù)單調(diào)性定義的理解1.☉%￥*#234￥9%☉(2024·遼寧沈陽高一月考)如圖2-3-1-1是函數(shù)y=f(x)的圖像,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個數(shù)是()。圖2-3-1-1A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：由圖像,可知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個。故選B。2.☉%3￥@6￥76*%☉(2024·湖北黃岡聯(lián)考)若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則下列關(guān)系式肯定成立的是()。A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)答案：D解析：因為f(x)是R上的減函數(shù),且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2)。故選D。3.☉%56**9#*7%☉(2024·武漢六中高一檢測)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對隨意實數(shù)a,b,若a+b>0,則有()。A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)答案：A解析：因為a+b>0,所以a>-b,b>-a,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)。故選A。4.☉%6#0￥8@#7%☉(2024·廣東佛山高超區(qū)一中高一月考)設(shè)(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是()。A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定答案：D解析：因為分別在兩個區(qū)間,所以不能確定f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系。故選D。5.☉%9@1@0#@5%☉(多選)(2024·安徽太和中學高一檢測)下列命題不正確的是()。A.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),若存在x1,x2∈(a,b),當x1<x2時,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù)B.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),若有無窮多對x1,x2∈(a,b),當x1<x2時,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I1上為減函數(shù),在區(qū)間I2上也為減函數(shù),那么f(x)在區(qū)間I1∪I2上肯定是減函數(shù)D.若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù),且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),則x1<x2答案：ABC解析：A項中,并不是對隨意x1,x2都成立,故A錯;B項中,雖然有無窮多對,但也不能代表“全部”“隨意”,故B錯;C項中,以f(x)=1x為例,雖然在(-∞,0)及(0,+∞)上均為減函數(shù),但在整個定義域上卻不具有單調(diào)性,故C錯。故選ABC6.☉%￥22**65￥%☉(多選)(2024·浙江杭州四中高一月考)假如函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),對于隨意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),那么下列結(jié)論中正確的是()。A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)答案：ABD解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知,若函數(shù)y=f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù),則x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,由此可知,選項A,B,D正確;對于C,若x1>x2,則f(x1)>f(x2),故C不正確。故選ABD。學問點2函數(shù)單調(diào)性的推斷7.☉%@637#￥@1%☉(2024·武漢二中高一檢測)下列函數(shù)中,在(0,2)上是增函數(shù)的是()。A.y=1x B.y=2xC.y=1-2x D.y=(2x-1)2答案：B解析：對于A,y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減;對于B,y=2x-1在R上單調(diào)遞增;對于C,y=1-2x在R上單調(diào)遞減;對于D,y=(2x-1)2在-∞,12上單調(diào)遞減,8.☉%6@7￥#￥59%☉(2024·永州一中高一檢測)函數(shù)y=2--x2+4x的值域是A.[-2,2] B.[1,2]C.[0,2] D.[-2,2]答案：C解析：要求函數(shù)y=2--x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x,x∈[0,4]的值域即可。設(shè)二次函數(shù)f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,x∈[0,4],所以f(x)的值域是[0,4]。因為t=f(x),所以t的值域是[0,2],所以9.☉%#9###757%☉(2024·河北石家莊二中高一月考)下列結(jié)論中,正確的是()。A.函數(shù)y=kx(k為常數(shù),且k<0)是R上的增函數(shù)B.函數(shù)y=ax2(a>0)在R上是增函數(shù)C.函數(shù)y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)D.若函數(shù)f(x),g(x)都在區(qū)間M上單調(diào)遞減,則f(x)+g(x)也在區(qū)間M上單調(diào)遞減答案：D解析：A項,當k<0時,函數(shù)的圖像從左向右看是下降的,故為減函數(shù),該項錯誤;B項,函數(shù)y=ax2(a>0)的圖像的對稱軸為直線x=0,開口向上,故函數(shù)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故該項錯誤;C項,函數(shù)y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù),但兩個單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,故該項錯誤;D項,兩個在共同區(qū)間上單調(diào)性相同的函數(shù)之和在該區(qū)間上單調(diào)性不變,該項正確,故選D10.☉%9##￥249*%☉(2024·長郡中學高一周測)若函數(shù)y=ax與y=-bx在(0,+∞)上都是減函數(shù),則函數(shù)y=ax2+bx在(0,+∞)上()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.先增后減 D.先減后增答案：B解析：由于函數(shù)y=ax與y=-bx在(0,+∞)上均為減函數(shù),故a<0,b<0,故二次函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖像開口向下,且對稱軸為直線x=-b2a<0,故函數(shù)y=ax2+bx在(0,+11.☉%#*592#6￥%☉(2024·昆明一中高一周測)已知函數(shù)f(x)=4-x2,若0<x1<x2<x3,則f(x1)x1A.f(x1)x1<f(x3C.f(x3)x3<f(x2答案：C解析：由題意可得0<x1<x2<x3≤2,而f(x)x=4-x2x=4x2-1,所以f(x12.☉%#**8367#%☉(2024·中山調(diào)考)試探討函數(shù)f(x)=axx2-1,x∈(-1,1)的單調(diào)性(其中答案：解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2。則f(x2)-f(x1)=ax2x22因為-1<x1<x2<1,所以|x1|<1,|x2|<1,x1-x2<0,所以x12-1<0,x22-1<0,|x1x2|<1,即-1<x所以x1x2+1>0,所以(x因此,當a>0時,f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),此時函數(shù)f(x)為減函數(shù);當a<0時,f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),此時函數(shù)f(x)為增函數(shù)。題型1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間13.☉%#9￥745*#%☉(2024·山西榆社中學月考)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖2-3-1-2,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

圖2-3-1-2答案：(-∞,1]和(1,+∞)解析：由題圖可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1]和(1,+∞)。14.☉%*5509@￥*%☉(2024·河北衡水中學高一月考)已知函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),則函數(shù)y=f(|x-3|)的單調(diào)遞減區(qū)間是()。A.(-∞,+∞) B.[3,+∞)C.[-3,+∞) D.(-∞,3]答案：B解析：設(shè)t=|x-3|,當x≥3時,函數(shù)t=|x-3|單調(diào)遞增,當x≤3時,函數(shù)t=|x-3|單調(diào)遞減。因為函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),所以依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,知y=f(|x-3|)的單調(diào)遞減區(qū)間是[3,+∞)。15.☉%8*#787￥*%☉(2024·遼寧鞍山一中高一月考)函數(shù)y=-(x-3)|x|的遞增區(qū)間為。

答案：0,解析：y=-(x-3)|x|=-x2+3x,x16.☉%4@03￥￥9￥%☉(2024·衡陽一中高一月考)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),求g(x)的單調(diào)區(qū)間。答案：解:令u(x)=5-x2,則u(x)在(-∞,0]上為增函數(shù),在[0,+∞)上為減函數(shù),且u(0)=5,f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上為減函數(shù),在[1,+∞)上為增函數(shù),即函數(shù)u(x)的單調(diào)性是以0為界劃分,函數(shù)f(x)的單調(diào)性是以1為界劃分,令5-x2=1,解得x=±2,列表如下:x(-∞,-2][-2,0][0,2][2,+∞)u(x)=5-x2增增減減u(x)(-∞,1][1,5][1,5](-∞,1]f(u)減增增減f(5-x2)減增減增所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2],[0,2],單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,0],[2,+∞)。題型2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用17.☉%658@*￥@5%☉(2024·福建廈門一中高一月考)假如函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的,那么實數(shù)a的取值范圍是()。A.-14,C.-14,答案：D解析：當a=0時,f(x)=2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的;當a>0時,由函數(shù)f(x)=ax2+2x-3的圖像知,不行能在區(qū)間(-∞,4)上單調(diào)遞增;當a<0時,只有-22a≥4,即-14≤x<0滿意函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的。綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是-18.☉%@5*4*66#%☉(2024·河北棗強中學高一期末)已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案：D解析：畫出圖像可得函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,故由f(2-a2)<f(a),可得2-a2<a,即a2+a-2>0,結(jié)合二次函數(shù)的圖像解得a<-2或a>1。故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2)∪(1,+∞)。故選D。19.☉%*@12@6@0%☉(2024·山西大同一中高一月考)已知函數(shù)f(x)=-x2-ax-5(x≤1),A.-3≤a<0 B.a≤-2C.a<0 D.-3≤a≤-2答案：D解析：函數(shù)f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)是R上的增函數(shù),則f(x)=-x2-ax-5(x≤1)單調(diào)遞增,故-a2≥1,即a≤-2,此時f(x)=ax(x>1)也單調(diào)遞增,要保證在R上是增函數(shù),只需在x=1處滿意-12-a×20.☉%￥8*24#7@%☉(2024·陜西子洲中學高一第一學期第一次月考)已知函數(shù)f(x)=ax2-x+1(a≠0),若對隨意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2A.[1,+∞) B.(0,1]C.(0,+∞) D.1答案：D解析：依題意可得a>0,--12a21.☉%@884@2**%☉(2024·合肥模擬)若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=。

答案：-6解析：函數(shù)f(x)=|2x+a|的圖像關(guān)于直線x=-a2對稱,故有-a2=3,所以a22.☉%*￥4833￥￥%☉(2024·福建福州一中高一月考)已知函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù),且g(t)>g(1-2t),則t的取值范圍是。

答案：13解析：因為g(x)在R上為增函數(shù),且g(t)>g(1-2t),所以t>1-2t,所以t>13,即所求t的取值范圍為123.☉%#5379￥*￥%☉(2024·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0,則滿意不等式f(1-答案：(-1,2-1)解析：因為x2+1≥1,所以由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,124.☉%6*1*46@￥%☉(2024·北京豐臺二中高一月考)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),滿意f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1。(1)求f(1);答案：解:因為f(3)=f(1×3)=f(1)+f(3),所以f(1)=0。(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范圍。答案：f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2,從而有f(x)+f(x-8)≤f(9),即f(x(x-8))≤f(9),又因為f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),所以x(x-8)≤9,x>25.☉%#*221@5@%☉(2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾一中高一月考)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0)。(1)若f(-1)=0且對隨意實數(shù)x均有f(x)≥0,求函數(shù)f(x)的表達式;答案：解:因為f(-1)=0,所以b=a+1。①因為f(x)=ax2+bx