2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

2025屆高三期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.B.C.C.D.D.2已知命題，則：（）A.3.函數(shù)在區(qū)間上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增4.已知函數(shù)，則（）A.C.B.D.5.已知，則（）B.6A.C.8D.96.設(shè)，函數(shù)，則“關(guān)于x的不等式C.充分必要的解集為”是“恒成立”的（）條件A充分不必要B.必要不充分D.不充分不必要7.已知直線與曲線相切，則的最大值為（）A.B.2C.D.58.若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則（）A.2B.C.D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列曲線平移后可得到曲線的是（）A.B.C.D.10.一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（）A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為B.若窗戶面積和地面面積都增加原來(lái)的10%，則教室通風(fēng)效果不變C.若窗戶面積和地面面積都增加相同面積，則教室的通風(fēng)效果變好D.若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差11.設(shè)函數(shù)A.若的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且具有奇偶性，則滿足不恒為0，下列結(jié)論正確的是（）的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0B.若C.若不具有奇偶性，則滿足為奇函數(shù)，則滿足奇函數(shù)與偶函數(shù)不存在的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)D.若為偶函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個(gè)的周長(zhǎng)為24，將______________（用x表示），當(dāng)______．13.已知矩形沿向折疊，AB折過(guò)去后與DC交于點(diǎn)P．設(shè)，則的面積最大時(shí)，______________．14.已知a為常數(shù)，且．定義在上的函數(shù)，則______________．滿足：，且當(dāng)時(shí)，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求．16.某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個(gè)公式：①；②．（1）請(qǐng)你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明；（2）在中，已知，求的面積．17.分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．（1）當(dāng)P為C上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；（2）求四邊形的面積的最大值．18.已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中的概率均為，紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功的概率分別為.現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對(duì)抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對(duì)方目標(biāo)一次為1輪對(duì)抗.經(jīng)過(guò)數(shù)輪對(duì)抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記在1輪對(duì)抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件A，藍(lán)方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：（1）概率；（2）經(jīng)過(guò)1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3）在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率．19.（1）函數(shù)與圖象有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)證明；，總有？若存在，求c的最小值；若不存在，請(qǐng)（2）是否存在正數(shù)c，對(duì)任意的說(shuō)明理由；（3）已知常數(shù)，證明：當(dāng)x足夠大時(shí)，總有．2025屆高三期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集運(yùn)算可得.【詳解】解不等式，得，所以.故選：B2.已知命題，則：（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用存在題詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，直接寫(xiě)出結(jié)論.【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱(chēng)量詞命題，所以：.故選：C3.函數(shù)在區(qū)間B.單調(diào)遞減上（）A單調(diào)遞增【答案】DC.先增后減D.先減后增【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，即，設(shè)，則單調(diào)遞減，且故存在唯一一個(gè)使故在在上，上，，此時(shí)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；，此時(shí)故在區(qū)間上先減后增.故選：D4.已知函數(shù)，則（）A.B.D.C.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)解析式代入驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C5.已知，則（）B.6A.C.8D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.詳解】由，可得，則，則.故選：D.6.設(shè)，函數(shù)，則“關(guān)于x的不等式C.充分必要的解集為”是“D.不充分不必要恒成立”的（）條件A.充分不必要【答案】AB.必要不充分【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)確定不等式和函數(shù)成立的條件，再由充分必要條件得出結(jié)果即可；【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，則，可得恒成立，故充分性成立；取但，滿足的解集為恒成立，，故必要性不成立；所以“關(guān)于x的不等式故選：A.的解集為”是“恒成立”的充分不必要條件.7.已知直線與曲線相切，則的最大值為（）A.B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由題意列出的關(guān)系，進(jìn)而得到，再由二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求導(dǎo)：得，由題意可得所以解得：，，所以時(shí)，的最大值為.故選:C8.若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中項(xiàng)求解.【詳解】令可得，在同一直角坐系中作出和的圖象如下：要使有3個(gè)零點(diǎn)，則，由圖可知：即有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)有2個(gè)零點(diǎn)，且，且，有一個(gè)零點(diǎn)，故，，由于，故，化簡(jiǎn)可得，平方解得，由于，故，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列曲線平移后可得到曲線的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖像的平移變換可判斷ABD，根據(jù)圖像的伸縮變換可判斷C.【詳解】對(duì)于A，曲線對(duì)于B，曲線向右平移3個(gè)單位可得到曲線向上平移3個(gè)單位可得到曲線，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍可得到曲線對(duì)于D，曲線故選：ABD，向左平移個(gè)單位可得到曲線，故D正確；10.一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個(gè)比值越大，通風(fēng)效果越好．（）A.若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為B.若窗戶面積和地面面積都增加原來(lái)的10%，則教室通風(fēng)效果不變C.若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好D.若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差【答案】BC【解析】【分析】設(shè)該公寓窗戶面積為x，依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)根據(jù)B，C，D設(shè)增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B，C，D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，依題意有，解得，所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)窗戶增加的面積為，同時(shí)地板增加的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為所以公寓采光效果不變，故B正確；，對(duì)于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時(shí)增加的面積為c.由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)樗裕?，，?所以，同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故C正確；對(duì)于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，又因?yàn)橐驗(yàn)椋?，，所?當(dāng)時(shí)，采光效果不變，所以無(wú)法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且不恒為0，下列結(jié)論正確的是（）A.若具有奇偶性，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0B.若C.若不具有奇偶性，則滿足為奇函數(shù)，則滿足奇函數(shù)與偶函數(shù)不存在的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)D.若為偶函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無(wú)數(shù)對(duì)【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性的定義即可判斷A選項(xiàng)；通過(guò)舉例，即可判斷B選項(xiàng)；通過(guò)構(gòu)造，即可判斷C選項(xiàng)；通過(guò)構(gòu)造即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，則，即，即，當(dāng)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則為偶函數(shù)時(shí)，則；，即滿足確；的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個(gè)為常函數(shù)，其函數(shù)值為0，故A正對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，不具有奇偶性，滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為奇函數(shù)時(shí)，令奇函數(shù)，，偶函數(shù)，則，故存在無(wú)數(shù)對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故C正確；對(duì)于D，為偶函數(shù)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，，故存在無(wú)數(shù)對(duì)奇函數(shù)故選：ACD與偶函數(shù)，滿足.故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個(gè)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】只需要函數(shù)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同即可.【詳解】設(shè)在，則.上任取一點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程為：只要不同，切線方程就不同.故答案為：（答案不唯一）13.已知矩形即.的周長(zhǎng)為24，將沿向折疊，AB折過(guò)去后與DC交于點(diǎn)P．設(shè)______________．，則______________（用x表示），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，【答案】【解析】①..②.【分析】結(jié)合圖形，折疊后易得，設(shè)，利用，即可求得的的表示式；依題意，求出的面積表示式，利用基本不等式即可求得面積最大值，從而得到此時(shí)值.【詳解】如圖2是圖1沿著折疊后的圖形，因，則，因矩形的周長(zhǎng)為24，則，對(duì)折后,易得,設(shè)，則,在中，由勾股定理，，整理得，即的面積為，因，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)，，此時(shí).故答案為：；.14.已知a為常數(shù)，且．定義在上的函數(shù)，則______________．滿足：，且當(dāng)時(shí)，【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出，再賦值得到，將轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用不等式傳遞性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.【詳解】時(shí)，，則.．定義在上的函數(shù)，得到滿足：．令，即.由于，則.則要使得式子恒成立，則，解得或或者.由于.則.故答案為：1．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱柱分別是棱AB，BC，中，上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，E，F(xiàn)，G．（1）求證：（2）若平面；與平面的夾角的余弦值為，求．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故，從而得到線面垂直，故為平面而求出的一個(gè)法向量，結(jié)合平面的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出，從.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗杂制矫妫矫?，，，，故為坐?biāo)原點(diǎn)，兩兩垂直，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，設(shè)，，，所以則，則故，；【小問(wèn)2詳解】，則，，則，則又，平面，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量，又平面則平面的法向量為與平面，的夾角的余弦值為，又平面所以與平面的夾角的余弦值為，，解得，故.16.某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個(gè)公式：①；②．（1）請(qǐng)你在①和②中任選一個(gè)進(jìn)行證明；（2）在中，已知，求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）若選①，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；若選②，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；（2）利用兩角和差的正弦公式及正弦定理可得【小問(wèn)1詳解】，再利用面積公式求解.若選①，證明如下：.若選②，證明如下：.【小問(wèn)2詳解】由已知可得即，，，，即由正弦定理可得，又，所以，所以的面積.17.分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．（1）當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；（2）求四邊形的面積的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)，即得直線PQ的斜率；（2）結(jié)合圖形，由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求出和點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形的面積函數(shù)式，利用換元和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由可知的斜率為，則直線,橢圓上頂點(diǎn)為的方程為：，即,直線，將其代入整理得，，解得，或，因點(diǎn)在x軸上方,故得點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】，于是直線PQ的斜率為：；如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)和，利用對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形面積是面積的一半.顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為代入，整理得：，顯然，設(shè)，則，于是，，點(diǎn)到直線的距離為，則四邊形的面積為，令，則，且，代入得，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值為4，此時(shí).18.已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)擊中的概率均為，紅方、藍(lán)方空中攔截對(duì)方炮彈成功的概率分別為.現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對(duì)抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對(duì)方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對(duì)方目標(biāo)一次為1輪對(duì)抗.經(jīng)過(guò)數(shù)輪對(duì)抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次時(shí)，訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記在1輪對(duì)抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件A，藍(lán)方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：（1）概率；（2）經(jīng)過(guò)1輪對(duì)抗，紅方與藍(lán)方擊中對(duì)方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（3）在4輪對(duì)抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率．【答案】（1）（2），分布列見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式即可求出；（2）求出的可能取值范圍及對(duì)應(yīng)的概率，求出；（3）分藍(lán)方擊中、和次三種情況討論.【小問(wèn)1詳解】，；【小問(wèn)2詳解】的可能取值為，因?yàn)?，，，所以分布列為：所以；【小?wèn)3詳解】若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)兩次的概率為若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對(duì)方目標(biāo)