第13章《軸對稱》(學(xué)生版+解析)

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第13章《軸對稱》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，則四邊形AEDF的周長是（）A．32 B．24 C．16 D．82．（2分）（2022秋?潢川縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，則△AMN的周長為（）A．4 B．6 C．7 D．83．（2分）（2022秋?豐澤區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交BC、AB于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，則∠EFB的度數(shù)為（）A．56° B．58° C．60° D．63°4．（2分）（2022秋?辛集市期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點(diǎn)，一個點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點(diǎn)．由數(shù)字0，1，2組成的序列表示一個點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)A（﹣2，3）按序列“012”作變換，表示點(diǎn)A先向右平移一個單位得到A1（﹣1，3），再將A1（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱得到A2（﹣1，﹣3），再將A2（﹣1，﹣3）關(guān)于y軸對稱得到A3（1，﹣3）…依次類推．點(diǎn)（1，1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（注：“012”算3次變換）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1）5．（2分）（2022秋?南宮市期末）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，則它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或6．（2分）（2022秋?番禺區(qū)校級期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D為AB中點(diǎn)且DE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，AC＝6cm，則BE等于（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm7．（2分）（2023?青秀區(qū)校級模擬）某臺球桌為如圖所示的長方形ABCD，小球從A沿45°角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞到達(dá)B處．則AB：BC等于（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．（2分）（2023春?大渡口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．169．（2分）（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）如圖，在等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的點(diǎn)，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一動點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（2分）（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9評卷人得分二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?大連期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，在格紙中能畫出與△ABC成軸對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形（不包括△ABC本身），這樣的三角形共有個12．（2分）（2021秋?右玉縣校級期末）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∠BAC＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝度．13．（2分）（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，∠MAN是一鋼架，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管BC，CD，DE，…添加的鋼管長度都與AB相等，若∠MAN＝x時，最多能添這樣的鋼管4根，則x的取值范圍是．14．（2分）（2023春?市南區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AF是∠CAB的角平分線，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，且DE＝DC＝DB，∠CDE＝36°，∠AFC的度數(shù)為．15．（2分）（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分線，AD＝4．若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．16．（2分）（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝．17．（2分）（2022秋?涪城區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝2，ON＝5，點(diǎn)P，Q分別在邊OB，OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．18．（2分）（2022春?龍崗區(qū)校級期末）如圖，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為．19．（2分）（2022秋?洪山區(qū)校級期末）如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是．20．（2分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時在不等邊△ABC的內(nèi)部時，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝．評卷人得分三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?垣曲縣期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．22．（6分）（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求證：AC⊥AB；（2）分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在AC的左側(cè)），連接CD，AD，BD．求△ABD的面積．23．（8分）（2022秋?鄖陽區(qū)期中）用一條長41cm的細(xì)繩圍成一個三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．（1）請用含x的式子表示第三條邊的長度．（2）若此三角形恰好是一個等腰三角形，求這個等腰三角形的三邊長．24．（8分）（2021秋?滑縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？25．（8分）（2022春?龍口市期末）數(shù)學(xué)理解（1）如圖1，在等邊△ABC內(nèi)，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度數(shù)；聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問題）（2）如圖2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，連接DE，求∠CDE的度數(shù)．26．（8分）（2022秋?通州區(qū)校級月考）如果一個三角形被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)△ABD和△ACD為等腰三角形時，AD為△ABC的等腰分割線．（1）如圖2，△ABC中，∠B＝2∠C，線段AC的垂直平分線ED交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AE是△ABC的一條等腰分割線．（2）在△ABC中，AD為△ABC的等腰分割線，AD＝BD，∠C＝30°，請你畫出所有可能的圖形并求出∠B的度數(shù)．27．（8分）（2023春?金水區(qū)校級期末）如圖，在所給正方形網(wǎng)格（每個小網(wǎng)格的邊長是1）圖中完成下列各題．（1）格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）的面積＝；（2）畫出格點(diǎn)△ABC關(guān)于直線DE對稱的△A1B1C1；（3）在DE上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。?8．（8分）（2023春?渠縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊易錯題真題匯編（提高版）第13章《軸對稱》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，則四邊形AEDF的周長是（）A．32 B．24 C．16 D．8解：∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，∴∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB，∴FD＝FC，ED＝EB，∴四邊形AEDF的周長＝AE+DE+DF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC＝8+8＝16，故選：C．2．（2分）（2022秋?潢川縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，則△AMN的周長為（）A．4 B．6 C．7 D．8解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，∴MB＝ME，NE＝NC，∵AB＝3，AC＝4，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+4＝7，故選：C．3．（2分）（2022秋?豐澤區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交BC、AB于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，則∠EFB的度數(shù)為（）A．56° B．58° C．60° D．63°解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故選：C．4．（2分）（2022秋?辛集市期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點(diǎn)，一個點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點(diǎn)．由數(shù)字0，1，2組成的序列表示一個點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)A（﹣2，3）按序列“012”作變換，表示點(diǎn)A先向右平移一個單位得到A1（﹣1，3），再將A1（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱得到A2（﹣1，﹣3），再將A2（﹣1，﹣3）關(guān)于y軸對稱得到A3（1，﹣3）…依次類推．點(diǎn)（1，1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（注：“012”算3次變換）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1）解：點(diǎn)B（1，1）按序列“012”作變換，表示點(diǎn)B先向右平移一個單位得到B1（2，1），再將A1（2，1）關(guān)于x軸對稱得到B2（2，﹣1），再將B2（2，﹣1）關(guān)于y軸對稱得到B3（﹣2，﹣1）…依次類推，點(diǎn)（1，1）經(jīng)過“012”變換得到點(diǎn)（﹣2，﹣1），點(diǎn)（﹣2，﹣1）經(jīng)過“012”變換得到點(diǎn)（1，1），說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置，100÷6＝16……4，所以點(diǎn)（1，1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．故選：D．5．（2分）（2022秋?南宮市期末）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，則它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°，∴等腰三角形的兩個底角都＝×（180°﹣50°）＝65°，∴這個等腰三角形的“特征值”k＝＝；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€底角為50°時，那么另一個底角也是50°，∴等腰三角形的頂角＝180°﹣2×50°＝80°，∴這個等腰三角形的“特征值”k＝＝；綜上所述：或，故選：D．6．（2分）（2022秋?番禺區(qū)校級期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D為AB中點(diǎn)且DE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，AC＝6cm，則BE等于（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝15°，∵D為AB中點(diǎn)且DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵AC＝6cm，∴AE＝2AC＝12（cm），∴BE＝AE＝12cm，故選：D．7．（2分）（2023?青秀區(qū)校級模擬）某臺球桌為如圖所示的長方形ABCD，小球從A沿45°角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞到達(dá)B處．則AB：BC等于（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5解：先作出長方形ABCD，小球從A沿45度射出，到BC的點(diǎn)E，AB＝BE．從E點(diǎn)沿于BC成45度角射出，到AC邊的F點(diǎn)，AE＝EF．從F點(diǎn)沿于AD成45度角射出，到CD邊的G點(diǎn)，DF＝DG．從G沿于DC成45度角射出，到BC邊的H點(diǎn)，HF垂直于AD．GC＝CH＝從H點(diǎn)沿于CB成45度角射出，到AC邊的M點(diǎn)，EM垂直于AD，從M點(diǎn)沿于CA成45度角射出，到B點(diǎn)，看圖是2個半以AB為邊長的正方形，所以1：2.5＝2：5．故選：C．8．（2分）（2023春?大渡口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn)，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16解：∵DE是線段AB的中垂線，GF是線段BC的中垂線，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周長為16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故選：B．9．（2分）（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）如圖，在等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的點(diǎn)，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一動點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．10解：∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，AQ＝3，QD＝2，∴AD＝DC＝AQ+QD＝5，如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最?。钚≈礟E+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝3，AD＝DC＝5，∴QD＝DQ′＝2，∴CQ′＝BP＝3，∴AP＝AQ′＝7，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等邊三角形，∴PQ′＝PA＝7，∴PE+QE的最小值為7．故選：A．10．（2分）（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點(diǎn)有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點(diǎn)有4個．所以△ABC是等腰三角形，點(diǎn)C的個數(shù)為8個，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?大連期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，在格紙中能畫出與△ABC成軸對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形（不包括△ABC本身），這樣的三角形共有3個解：如圖所示，與△ABC成軸對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有3個：故答案為：3．12．（2分）（2021秋?右玉縣校級期末）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∠BAC＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝16度．解：∵AF平分∠BAC，∠BAC＝70°，∴∠FAC＝∠BAC＝35°，∵∠FAE＝19°，∴∠EAC＝∠FAC﹣∠FAE＝16°，∵ED是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC＝16°，故答案為：16．13．（2分）（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，∠MAN是一鋼架，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管BC，CD，DE，…添加的鋼管長度都與AB相等，若∠MAN＝x時，最多能添這樣的鋼管4根，則x的取值范圍是18°≤x＜22.5°．解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA＝x，∴∠DBC＝∠A+∠BCA＝2x，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC＝2x，∴∠DCE＝∠A+∠ADC＝3x，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝3x，∴∠FDE＝∠A+∠DEC＝4x，∵ED＝EF，∴∠FDE＝∠EFD＝4x，∴∠FEM＝∠A+∠DFE＝5x，∵最多能添這樣的鋼管4根，∴∠DFE＜90°，且∠FEM≥90°，∴4x＜90°，且5x≥90°，解得：18°≤x＜22.5°，故答案為：18°≤x＜22.5°．14．（2分）（2023春?市南區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AF是∠CAB的角平分線，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，且DE＝DC＝DB，∠CDE＝36°，∠AFC的度數(shù)為72°．解：∵DE＝DC，∠CDE＝36°，∴∠E＝∠DCE＝（180°﹣∠CDE）＝72°，∵CE∥AB，∴∠CDB＝∠DCE＝72°，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝（180°﹣∠CDB）＝54°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝36°，∵AF平分∠BAC，∴∠CAF＝∠BAC＝18°，∴∠AFC＝90°﹣∠CAF＝72°，故答案為：72°．15．（2分）（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分線，AD＝4．若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如圖，過點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，BQ交AD于點(diǎn)P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，∴BQ＝＝，即PC+PQ的最小值是．故答案為：．16．（2分）（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝7．解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，如圖，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM為等邊三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝DM＝，∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，∴BC＝2BN＝7．故答案為：7．17．（2分）（2022秋?涪城區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝2，ON＝5，點(diǎn)P，Q分別在邊OB，OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．解：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接ON'，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM'＝OM＝2，ON'＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案為：．18．（2分）（2022春?龍崗區(qū)校級期末）如圖，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F(xiàn)A⊥AC，垂足為A，AF＝DF＝5，AD＝6，則AC的長為9.6．解：∵BD垂直平分AC，∴DA＝DC，BA＝BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ADF，∴∠DAB＝∠ADF，∴AB∥DF，∵FA⊥AC，DB⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形AFDB為平行四邊形，∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，設(shè)BE＝x，則DE＝5﹣x，在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝＝，∴AC＝2AE＝9.6，故AC的長為9.6，故答案為：9.6．19．（2分）（2022秋?洪山區(qū)校級期末）如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是30°．解：如圖，連接CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，DF+BF的最小值等于線段BG長，且BG⊥CG時，△BDF的周長最小，由軸對稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案為：30°．20．（2分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時在不等邊△ABC的內(nèi)部時，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如圖，連接AO．∵點(diǎn)O是這個三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案為：4∠BPC﹣360°．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?垣曲縣期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．解：（1）△CDE的周長為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．22．（6分）（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求證：AC⊥AB；（2）分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在AC的左側(cè)），連接CD，AD，BD．求△ABD的面積．（1）證明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E，由題意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面積＝AB?DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面積為16．23．（8分）（2022秋?鄖陽區(qū)期中）用一條長41cm的細(xì)繩圍成一個三角形，已知此三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．（1）請用含x的式子表示第三條邊的長度．（2）若此三角形恰好是一個等腰三角形，求這個等腰三角形的三邊長．解：（1）∵三角形的第一條邊為xcm，第二條邊是第一條邊的3倍少4cm．∴第二條邊是（3x﹣4）cm，∴第三條邊的長度為41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；（2）若x＝3x﹣4，則x＝2，不能組成三角形；若x＝45﹣4x，則x＝9，不能組成三角形；若3x﹣4＝45﹣4x，則x＝7，∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合題意，∴該等腰三角形的三邊長分別為：17cm、17cm和7cm．24．（8分）（2021秋?滑縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ為直角三角形？解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當(dāng)BP＝BQ時，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴．當(dāng)時，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形，①當(dāng)∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②當(dāng)∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即當(dāng)或t＝1時，△PBQ為直角三角形．25．（8分）（2022春?龍口市期末）數(shù)學(xué)理解（1）如圖1，在等邊△ABC內(nèi)，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度數(shù)；聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問題）（2）如圖2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，連接DE，求∠CDE的度數(shù)．解：（1）如圖1，連接AD，∵AB＝AC，DB＝DC，∴直線AD是線段BC的垂直平分線，∴AD平分∠BAC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BDC＝80°，∴∠DBC＝50°，∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，又∵AB＝BC，BE＝BD，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝30°；（2）如圖2，作等邊三角形ABC，連接AD，由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵∠DBE＝60°﹣