廣東省2025屆高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2025屆高三年級(jí)“熵增杯”八月份適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：若，且，則（）A. B. C. D.4.若單位向量與向量垂直，則（）A. B. C. D.5.瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實(shí)驗(yàn)獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度，為反應(yīng)活化能，為阿倫尼烏斯常數(shù)．對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中與的值保持不變），經(jīng)計(jì)算，若，則（）A. B. C. D.6.在中，和是方程的兩實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)最小時(shí)，（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題列出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法一定正確的有（）A若，則B.若，，，則C.在的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為D.若，，，則10.已知函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于，，三點(diǎn)，部分圖象如圖所示，是直角三角形，.函數(shù)的圖象是由的圖象作如下變換得來：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?則（）A.B.的最小正周期為C.為偶函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上（在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過焦點(diǎn)，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線一條漸近線方程為，則______．13.畫條直線，最多將圓內(nèi)部分為______部分．14.若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，，求二面角的正切值．17.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之比為．記的軌跡為．（1）求的離心率；（2）過的上頂點(diǎn)的直線與相交于另一點(diǎn)，若的面積為，求的方程．18.已知數(shù)列的前三項(xiàng)均為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．（?。┤簦?，證明：為等差數(shù)列；（ⅱ）若，為遞增等差數(shù)列，求的最小值．19.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量和的分布列分別為：，，其中．定義的信息熵：，和的“距離”：．（1）若，求；（2）已知發(fā)報(bào)臺(tái)只發(fā)出信號(hào)和，接收臺(tái)只收到信號(hào)和．現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)的概率為，由于通信信