廣東省廣州市2025屆普通高中畢業(yè)班摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2025屆廣州市普通高中畢業(yè)班摸底考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出兩個(gè)集合后根據(jù)交集定義求解.【詳解】;;．故選：C.2.若復(fù)數(shù)且是方程的一個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)代入方程，利用待定系數(shù)法，即可求解.【詳解】由題意可知，，即，則，解得，，即，所以.故選：B3.已知向量，，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，兩邊同時(shí)平方，利用向量與的模和向量數(shù)量積的運(yùn)算，求與的夾角.【詳解】向量，，設(shè)與的夾角為，又，由，有，即，則有，得，則與的夾角為.故選：C.4.已知，，且為第一象限角，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用和差化積公式化簡(jiǎn)，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解.【詳解】，設(shè)，則，因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以是第一或第三象限角，所以，設(shè)，整理為，得（舍）或，則，，所以.故選：B5.已知點(diǎn)，是橢圓上不關(guān)于長(zhǎng)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)（），線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，再由題意可得，則得，化簡(jiǎn)得，再由的范圍可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（），線段的中點(diǎn)為，則，兩式相減得，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)數(shù)根，則方程在上的所有實(shí)根之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的性質(zhì)，再畫出函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱性和周期性求所有實(shí)數(shù)根的和.【詳解】由可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)是奇函數(shù)，可知，，即，則，所以函數(shù)的周期為，如圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，由對(duì)稱性可知，方程在上有一個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，可知在上也有一個(gè)實(shí)數(shù)根，再根據(jù)函數(shù)的周期性，如圖，得到與y=fx在區(qū)間的6個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，，，，所以方程在上的所有實(shí)根之和為.故選：A7.在正六棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，以為球心，為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，由題意可知球不與側(cè)面及側(cè)面相交，球與側(cè)面交于點(diǎn)，與側(cè)面交于點(diǎn)，然后分別判斷與其余4個(gè)面的交線，求出球面與正六棱柱各個(gè)面所交的弧線的長(zhǎng)度之和即可【詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以球不與側(cè)面及側(cè)面相交，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，則由題意可得，所以，所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，與側(cè)面交于點(diǎn)，在正六邊形中，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，因?yàn)?，所以球與上下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓，所以球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查球與棱柱表面的交線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，根據(jù)題意找出球與各個(gè)面的交線，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用賦值法構(gòu)造出的等量關(guān)系，再結(jié)合不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】由題意，，.賦值，得；賦值，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，即；賦值，得，解得，即；AC項(xiàng)，由，，得，其中由，可知，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；故AC錯(cuò)誤；BD項(xiàng)，，得；又，所以，則，故，且不恒為，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國(guó)家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措．在中歐班列帶動(dòng)下，某外貿(mào)企業(yè)出口額逐年提升，以下為該企業(yè)近個(gè)月的出口額情況統(tǒng)計(jì)，若已求得關(guān)于的線性回歸方程為，則（）月份編號(hào)出口額/萬(wàn)元A.與成正相關(guān) B.樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為C.當(dāng)時(shí)，殘差的絕對(duì)值最小 D.用模型描述與的關(guān)系更合適【答案】AD【解析】【分析】A項(xiàng)由表中數(shù)據(jù)的變化及回歸方程中項(xiàng)的系數(shù)可知；B項(xiàng)利用百分位數(shù)定義及求解步驟即可得；C項(xiàng)由樣本中心點(diǎn)代入方程求出，利用回歸方程求出估計(jì)值與相應(yīng)樣本數(shù)據(jù)作差求出殘差，再比較絕對(duì)值大小即可；D項(xiàng)由散點(diǎn)圖可知.【詳解】A項(xiàng)，由圖中表格數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?shù)闹翟黾訒r(shí)，的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，又由回歸方程中，項(xiàng)的系數(shù)，也可以看出與成正相關(guān)，故A正確；B項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)的個(gè)取值從小到大依次是，由，則第40百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)據(jù)，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，，將代入，得，即，令，得，所以相應(yīng)殘差的絕對(duì)值為，令，得，所以相應(yīng)殘差的絕對(duì)值為，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，如下圖作出散點(diǎn)圖，可以看到相較“樣本點(diǎn)分布在某一條直線模型周圍”，“樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍”這樣的描述更貼切，所以用模型描述與的關(guān)系更合適些，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，若，且在，，處的切線均經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，利用切線過(guò)原點(diǎn)推出，，即可判斷A，B兩項(xiàng)；對(duì)于C，D兩項(xiàng)，借助于正弦函數(shù)的圖象，設(shè)，分別求出，，，利用兩角差的正切公式及放縮思想，證明，由正切函數(shù)單調(diào)性化簡(jiǎn)即可判斷.【詳解】如圖，設(shè)函數(shù)在，，處的切線的切點(diǎn)分別為點(diǎn)，則，且，由求導(dǎo)得，則切線的方程為，因切線過(guò)原點(diǎn)，則有，，即，同理可得，.對(duì)于A，顯然成立，故A正確；對(duì)于B，因，則有，成立，故B正確；對(duì)于C，由可得①，令，代入①可得，，即，由圖知.則，，又，，于是；而.因，則，故，即，由正切函數(shù)在上為增函數(shù)可得，，即，故，即，故C錯(cuò)誤.根據(jù)題意，要證，即證，由于均值不等式知道，下面證明即可.即證，即證，即證前面知道，則.則只需要證明即可.即證明，前面C知式子成立.故D正確.故選：ABD．11.已知圓，過(guò)點(diǎn)向圓引斜率為的切線，切點(diǎn)為，記的軌跡為曲線，則（）A.的漸近線為B.點(diǎn)在上C.在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為D.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】先由相切性質(zhì)得點(diǎn)滿足關(guān)系式，與已知圓聯(lián)立消參得軌跡方程，A項(xiàng)由方程形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性作出大致圖形即可得漸近線；B項(xiàng)坐標(biāo)代入可知；C項(xiàng)由形可得；D項(xiàng)由不等式性質(zhì)與放縮法可得.【詳解】圓，圓心，半徑，且，且.，則點(diǎn)在圓外.如圖，連接，由題意知，設(shè)，則①，又點(diǎn)在圓上，則②，①②得，，解得③，由且，解得，或.將③代入②消得，，即為曲線的方程.A項(xiàng)，設(shè)，則，令解得，或，或（舍）.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.且，當(dāng)時(shí)，.且當(dāng)時(shí)，函數(shù)與單調(diào)性相同；且，當(dāng)時(shí)，.故的大致圖象如下圖，又由方程可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且.故曲線的大致圖象為如下圖，故的漸近線為，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，令曲線方程中，得，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由形可知，曲線在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，即在的極值點(diǎn)，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則由，或.得，又，，則，所以成立，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常見(jiàn)方法有：（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可；（2）代入法：所求點(diǎn)Px,y與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程；（3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程.（4）參數(shù)法：從條件中無(wú)法直接找到的聯(lián)系，但可通過(guò)一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程.（5）交軌法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程，將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程。三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先將代入題干表達(dá)式計(jì)算出的值，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減進(jìn)一步計(jì)算即可推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的求和公式推導(dǎo)出前項(xiàng)和的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可計(jì)算出實(shí)數(shù)的最小值．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，，，，且對(duì)任意恒成立，，即實(shí)數(shù)的最小值為．故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，聯(lián)系余弦函數(shù)在上的單調(diào)性分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，在上，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，極小值為；在上，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，極小值為所以函數(shù)的圖象與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：14.網(wǎng)絡(luò)安全是國(guó)家安全重要組成部分，在信息課上，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)模擬網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播．已知在的平面方陣中，若某方格相鄰方格中有個(gè)及個(gè)以上被病毒感染，則病毒擴(kuò)散至該方格，若使所有方格均被感染，則至少需要在__________個(gè)方格內(nèi)投放病毒源；拓展到三維空間內(nèi)，已知在的立體方陣中，若某方塊相鄰方塊中有個(gè)及個(gè)以上被病毒感染，則病毒擴(kuò)散至該方塊，若使所有方塊均被感染，則至少需要在_____個(gè)方塊內(nèi)投放病毒源．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合歸納、類比法進(jìn)行求解即可.【詳解】在的平面方陣中，如下圖：病毒源病毒源按對(duì)角線方向每行每列都有一個(gè)格子內(nèi)投放病毒源，顯然，格子都滿足要求，在的平面方陣中，如下圖：按對(duì)角線方向每行每列都有一個(gè)格子內(nèi)投放病毒源，顯然，格子先滿足要求，而后5，6馬上也滿足；5病毒源3病毒源2病毒源46由此可以推斷當(dāng)在的平面方陣中，按對(duì)角線方向每行每列都有一個(gè)格子內(nèi)投放病毒源，至少需要在個(gè)方格內(nèi)投放病毒源；當(dāng)拓展到三維空間時(shí)，已知在的立體方陣中，如圖所示：當(dāng)投放病毒源時(shí)，要想3被感染，只需投放病毒源，同理要想4被感染，只需投放病毒源，因此需要個(gè)方格內(nèi)投放病毒源，因此已知在的立體方陣中，面對(duì)我們的面有個(gè)，其中一條對(duì)角線上有個(gè)，所以需要個(gè)方格內(nèi)投放病毒源，所以可以類比在在的立體方陣中，需要個(gè)方格內(nèi)投放病毒源，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用歸納和類比推理的方法進(jìn)行求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知在銳角中，，為邊上一點(diǎn)，且．（1）證明：平分；（2）已知，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換及正弦定理，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，兩式結(jié)合即可證明.（2）在中，由平面向量的基本定理得，兩邊同時(shí)平方得，再由余弦定理得，然后計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，且,所以，即，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，由正弦定理得.在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?所以，所以,又因?yàn)?，即，且，所以，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，且為銳角三角形，所以,即,則，故.在中，由余弦定理得，解得，所以.16.已知函數(shù)．（1）若在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類，討論函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值情況，由題意取舍即得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在（1）按照參數(shù)分類的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)單調(diào)性和極值的正負(fù)，進(jìn)一步分析探究函數(shù)的零點(diǎn)情況即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，此時(shí)在時(shí)取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由可得或，若，則由可得或；由可得，即在和上遞增；在遞減，此時(shí)函數(shù)在取得極小值，符合題意；若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒為增函數(shù)，不符合題意；若，由可得或；由可得，即在和上遞增，在上遞減，此時(shí)函數(shù)在時(shí)取得極大值，故不符合題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，則在時(shí)取得極小值，也是最小值，為，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在和上遞增；在遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在上恒為增函數(shù)，又，故此時(shí)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，在和上遞增，在上遞減，故當(dāng)時(shí)有極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值為，且當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).17.如圖，在三棱臺(tái)中，為正三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．（1）若，證明：平面平面；（2）若，記平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，根據(jù)垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）首先作出交線，再利用垂直關(guān)系構(gòu)造二面角的平面角，即可求解.小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，因?yàn)椋尹c(diǎn)是，所以，又面，所以平面，平面，所以，，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】由題意知，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，面，所以平面，且平面，所以，可得，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?，，則，，且，平面，則平面，對(duì)于梯形，故點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)椋瑒t，可得，由，可知，且，，將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，則，設(shè)，可知即為直線，則，即，可得，由，則、、三點(diǎn)共線，且，可知為線段的中垂線，則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，平面，可得平面，由平面可得，且，平面，所以平面，由平面，可得，可知二面角的平面角為，因?yàn)槠矫妫善矫?，所以，在中，，，，可得，，則，在中，，，可得，在中，可得，在中，則，可得，所以二面角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：；（3）若直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離公式即可列等式求解；（2）根據(jù)直線與雙曲線聯(lián)立方程，得韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；（3）依據(jù)題意得直線和直線的方程分別為，聯(lián)立直線和曲線E方程求得韋達(dá)定理，從而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q到兩漸近線的距離，接著根據(jù)計(jì)算結(jié)合變量取值范圍即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)距離與到直線的距離之比為，所以，整理得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，①直線的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)直線方程為，，則且由點(diǎn)A和點(diǎn)B在曲線E上，故，所以，同理可得，所以；②直線斜率存在時(shí)，則可設(shè)方程為，Ax1,y1聯(lián)立，則即，且，且，所以，同理，所以，綜上，.【小問(wèn)3詳解】由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，且曲線E的漸近線方程為，故可分別設(shè)直線和直線的方程為和，且，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,y1則，，，故，因?yàn)镻是中點(diǎn)，所以即，同理可得，所以P到兩漸近線的距離分別為，，Q到兩漸近線的距離分別為，，由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，則四邊形面積為，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解四邊形面積的取值范圍的關(guān)鍵1在于明確直線和直線的變量m的范圍為，；關(guān)鍵2在于先將四邊形補(bǔ)形為矩形再分割