河北省衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測評數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年度高三年級上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測評數(shù)學(xué)學(xué)科注意：本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試時間120分鐘.共4頁，19個題目.第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（每小題5分，共40分.下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.已知不等式的解集為，不等式的解集為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，所以.故選：D2.已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解；【詳解】因為，設(shè)向量與的夾角為所以，又因為，所以故選：B.3.如圖所示，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及，從C點測得，已知山高，則山高MN=（）A.120 B.150 C. D.160【答案】C【解析】【分析】由題意，可先求出的值，從而由正弦定理可求的值，在中，，，從而可求得的．【詳解】解：在中，，，所以．在中，，，從而，由正弦定理得，，因此．中，，，由得；山高；故選：4.已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合已知條件求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，所以，因為等差數(shù)列和的前項和分別為、，滿足，所以，所以，故選：C5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是雙曲線C的一條漸近線上的點，且線段的中點N在另一條漸近線上．若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求出，再由得出可得答案.【詳解】因為N，O分別是的中點，所以，又，，所以，所以，故．故選：A．6.點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A.； B.；C.； D.；【答案】A【解析】【分析】求出直線所過的定點，再確定最大值條件即可求解.【詳解】將直線變形得，由，解得，因此直線過定點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，最大值為，又直線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：A7.已知函數(shù)的定義域為，且若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知；當(dāng)時，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，可得，然后將原不等式轉(zhuǎn)化為即可得解.【詳解】當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又在上為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以.綜上，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以不等式，解得且且，即原不等式的解集為.故選：D【點睛】思路點睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時，需要根據(jù)自變量范圍進行分類討論，利用單調(diào)性求解即可.8.已知對恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.1【答案】D【解析】【分析】由題意得對恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，即，再令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，可求出的取值范圍，從而可求出的最大值.【詳解】由，得，所以對恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，即令，則在上單調(diào)遞增，由，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以的最大值為1.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是通過對原不等式變形，將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.二、多項選擇題（每題6分，共18分，每題給出的選項中有多項符合要求，全部選對得6分，錯選得0分，部分選對得部分分）9.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項公式可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對于A：，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對于B：，所以，所以為遞增數(shù)列，故B正確；對于C：因為，則，，所以不單調(diào)，故C錯誤；對于D：，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確；故選：ABD10.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，為函數(shù)與軸的交點，圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則（）A. B.圓的半徑為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象，求出解析式，可判斷ABC選項，對D選項，求出范圍即可判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象以及圓的對稱性,可得兩點關(guān)于圓心對稱,所以,于是,故A正確；由及,得,由于,所以,所以,從而,故半徑為,故B錯誤；將代入得，所以是中心對稱，故C正確；當(dāng)時，，即，此時為減函數(shù)，故D錯誤.故選：AC11.已知是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點是橢圓短軸頂點，則橢圓的標準方程為B.若是動點，則的值恒為2C.若是動點，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動點，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓性質(zhì)以及的面積可得A正確；設(shè)可得，利用并結(jié)合橢圓方程可得B正確；由橢圓范圍可得可得離心率，即C錯誤；由橢圓定義可得的取值范圍為，即D正確.【詳解】對于A，若點是橢圓的短軸頂點，則，又，所以，所以橢圓的標準方程為，故選項A正確；對于B，設(shè)，由題意可知①，因為，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所以.故選項B正確；對于C，由②③得，所以，從而，故.所以橢圓的離心率，故選項C錯誤；對于D，由橢圓定義可得，即的取值范圍為，即選項D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求解橢圓離心率等范圍問題經(jīng)常利用橢圓定義以及橢圓性質(zhì)得出關(guān)系式，再由變量自身范圍即可得出結(jié)論.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（每題5分，共15分）12.已知是第四象限角，且，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意知，是第四象限角，可得，所以，因為，可得，所以.故答案為：.13.已知，若，，，則a，b，c按從小到大排列為：________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系可比較出，再結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可比較大小.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故以下只用討論函數(shù)在的單調(diào)性，令因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，又因為，所以，故答案為：.14.定義：對于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項為1的數(shù)列滿足，記的前項和為，則數(shù)列的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式，再利用數(shù)列的遞推思想構(gòu)造等比數(shù)列，即可求和，從而用數(shù)列的單調(diào)性來求出最小值.【詳解】由二次函數(shù)最低點為可知：，又，所以，則.由題意得，又由，得，因為，所以，即，又，所以，則，即，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.令.，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.故答案為：.【點睛】方法點睛，根據(jù)二次遞推，則需要通過構(gòu)造兩邊對數(shù)，來得到等比數(shù)列遞推關(guān)系.四、解答題（本大題有5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并寫在答題紙的相應(yīng)位置，否則無分數(shù).）15.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的所有項的和，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)，求得，寫出通項公式；（2）由推出對應(yīng)的區(qū)間中包含的項，然后利用等比數(shù)列的前n項和公式和分組求和法求解.【詳解】（1）設(shè)公比為，由題意得，，解得，或(舍去)，所以，故數(shù)列通項公式為.（2）由題意得，對應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，則；對應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，則；對應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，，，則；……對應(yīng)的區(qū)間為：，其中包含，，…，，則，因此，所以，故.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的前n項和的方法（1）公式法：①等差數(shù)列的前n項和公式，②等比數(shù)列的前n項和公式；（2）分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．（4）倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．（5）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項和用錯位相減法求解.（6）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．16.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算化簡為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求出最值即可；（2）先換元把指數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分段分類討論求出最值，再根據(jù)已知等式求值即可.【小問1詳解】，，，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，當(dāng)時，的最大值為2.【小問2詳解】由，得，即，，設(shè)，則當(dāng)，，，，設(shè)，由題意，是當(dāng)時，函數(shù)的值域的子集.①當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則解得.②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式組無解.③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最大值是與的較大者.令，得，令，得，均不合題意.綜上所述，實數(shù)的值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為是的值域的子集，從而得解.17.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當(dāng)恰好為線段的中點時，．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，依題意可得，再由弦長公式得到方程，解得即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，又，同理可得，再由基本不等式計算可得.【小問1詳解】解法一：設(shè)直線，聯(lián)立，得，所以．又因為是的中點，所以，又，代入化簡得，解得．故拋物線的方程為．解法二：設(shè)直線的傾斜角為，再設(shè)、的坐標都為，代入拋物線方程得，化簡得．則，，因為是的中點，所以，即．又因為，將代入化簡得，即，所以拋物線的方程為．【小問2詳解】解法一：，由（1）可得，，因為，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即所求最小值為．，而，所以CD的傾斜角為或，同理可求得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立，即所求最小值為．18.已知函數(shù).（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個極值點和，且，證明：.（為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）2（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）將極值點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點問題，通過整體換元，將所證不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，再構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求證不等式即可.【小問1詳解】，定義域為.設(shè)切點，.且，解得，，故實數(shù)的值為2；【小問2詳解】，定義域為.，因為有兩個極值點和，所以至少有兩個不相等的正根.令，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，取最大值，最大值為.當(dāng)；當(dāng)，則至多兩個零點，要使有兩個零點，必有，.由，兩式作差得①，令，由得，則，代入①式得，，則，故所證不等式轉(zhuǎn)化為，，只需證，即證：.令，，，，，在上單調(diào)遞增，，其中，故，，即不等式得證.【點睛】方法點睛：雙變量不等式的證明，處理關(guān)鍵是代數(shù)變形.經(jīng)常通過代換(含對數(shù)式時常用)或（含指數(shù)式時常用)將所證的雙變量不等式化為單變量的函數(shù)不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明.19.法國數(shù)學(xué)家費馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：①當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，滿足的點為費馬點；②當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.請用以上知識解決下面的問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，點為的費馬點，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)倍角公式得到，由正弦定理得到，從而；（2）根據(jù)點為的費馬點得到，再由及三角形面積公式得到，因為及均值不等式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（3）設(shè)，所以，在三個小三角形中分別用余弦定理表示出、、AB再結(jié)合得到，從而由均值不等式得，從而得到的最小值.【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定