河北省衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測評(píng)數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)上學(xué)期第一次綜合素養(yǎng)測評(píng)數(shù)學(xué)學(xué)科注意：本試卷分第I卷和第Ⅱ卷兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.共4頁，19個(gè)題目.第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分.下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1.已知不等式的解集為，不等式的解集為，則為（）A. B. C. D.2.已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.3.如圖所示，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測得，已知山高，則山高M(jìn)N=（）A.120 B.150 C. D.1604.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A. B. C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)N在另一條漸近線上．若，則雙曲線C的離心率為（）A B. C.2 D.6.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（）A； B.；C.； D.；7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋胰?，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.已知對(duì)恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.1二、多項(xiàng)選擇題（每題6分，共18分，每題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，錯(cuò)選得0分，部分選對(duì)得部分分）9.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的通項(xiàng)公式可以為（）A. B. C. D.10.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，為函數(shù)與軸的交點(diǎn)，圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則（）A. B.圓的半徑為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增11.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若是動(dòng)點(diǎn)，則的值恒為2C.若是動(dòng)點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（每題5分，共15分）12.已知是第四象限角，且，則________.13.已知，若，，，則a，b，c按從小到大排列為：________.14.定義：對(duì)于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的最小值為__________.四、解答題（本大題有5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并寫在答題紙的相應(yīng)位置，否則無分?jǐn)?shù).）15.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的所有項(xiàng)的和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)最大值；（2）設(shè)不等式的解集為，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.17.如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求拋物線方程；（2）求的最小值．18.已知函數(shù).（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）19.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：①當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，滿足的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)；②當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于