河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)等校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年高三年級(jí)9月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)考試說明：1.本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請將各題答案填在答題卡上.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.-13 B.0 C. D.13【答案】D【解析】【分析】先得到，再利用模長公式求解,【詳解】，故.故選：D2.已知，使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，得，B不是；對(duì)于C，，可能有，如，C不是；對(duì)于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D3.已知向量滿足，且，則（）A-9 B.-6 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得出向量再結(jié)合向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以故選：C.4.某校高三數(shù)學(xué)老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示：年齡人數(shù)126542下列說法正確的是（）A.這20人年齡的分位數(shù)的估計(jì)值是46.5B.這20人年齡的中位數(shù)的估計(jì)值是41C.這20人年齡的極差的估計(jì)值是55D.這20人年齡的眾數(shù)的估計(jì)值是35【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件提供的數(shù)據(jù)，可分別計(jì)算80%分位數(shù)，中位數(shù)（50%分位數(shù)），但無法計(jì)算眾數(shù)和極差.【詳解】因?yàn)?，?0%分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為m，則，解得，故A錯(cuò)誤；又因?yàn)?，所以中位?shù)（50%分位數(shù)）落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為n，則，解得，故B正確；有表格中數(shù)據(jù)可知極差不超過，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楸绢}無法確定年齡的具體數(shù)值，故無法判斷眾數(shù)的值，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是3，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題先設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率之和為3列出方程，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則直線斜率為，直線的斜率為，依據(jù)題意可知，，化簡得：，因?yàn)橹本€、的斜率存在，所以，所以，故選：A.6.已知，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，函數(shù)的圖象與y=gx的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定的定義域及表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)圖象，可得的范圍及關(guān)系，可求的最小值.【詳解】易知，x∈0,2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，x∈0,2和的圖象，如下圖：由解析式易知兩函數(shù)均關(guān)于x=1對(duì)稱，則，且交點(diǎn)位置與有關(guān).若，則，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，為；若，則，所以，在上有.綜上：的最小值為.故選：C7.已知正三棱臺(tái)，上下底面邊長分別為1和3，側(cè)面和底面所成角為，則棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正三棱臺(tái)的高，再利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算得解.【詳解】令分別是的中點(diǎn)，連接，設(shè)分別是正三角形和正三角形的中心，則，且，由平面平面，得，由平面，則平面，又平面，則，是棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，過作，垂足為，則，，所以三棱臺(tái)的的體積.故選：B8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，的單調(diào)性，判斷的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，易知在0,+∞上單調(diào)遞增.且，，所以；設(shè)，易知在0,+∞上單調(diào)遞增.且，，所以.綜上：.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，周期為，且滿足，則（）A.B.向右平移個(gè)單位變?yōu)榕己瘮?shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)周期以及對(duì)稱可得函數(shù)表達(dá)式，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)平移即可求解B.利用整體法即可求解CD.【詳解】由周期為，可得，故，由可得，故是的一個(gè)對(duì)稱中心，故，結(jié)合，故，進(jìn)而可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，向右平移個(gè)單位得到為偶函數(shù)，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，則或，,解得或，，當(dāng)，此時(shí)有和，故D正確，故選:BD10.已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與其到直線的距離相等，則（）A.曲線的軌跡方程為B.若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為5C.過點(diǎn)，恰有2條直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D.圓與曲線交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則四點(diǎn)圍成的四邊形的周長為12【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出曲線的軌跡方程，再逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，依題意，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，方程為，A正確；對(duì)于D，直線交圓于點(diǎn)，而，四邊形是矩形，周長為，D正確；對(duì)于B，顯然共線，垂直于直線，令點(diǎn)到直線的距離為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，因此的最小值為，B正確；對(duì)于C，過點(diǎn)與曲線僅只一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為，由消去得，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線僅中一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，顯然直線與拋物線僅只一個(gè)公共點(diǎn)，因此過點(diǎn)與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.時(shí)，是的極大值點(diǎn)B.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作的切線，有且只有一條D.存在，使得【答案】ACD【解析】【分析】求出極大值點(diǎn)判斷A；有三個(gè)零點(diǎn)，求出的范圍判斷B；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷C；取，求出函數(shù)圖象對(duì)稱中心計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是的極大值點(diǎn)，A正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，此方程有唯一解，因此過點(diǎn)可以作的切線，有且只有一條，C正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在上取得極大值，在處取得極小值，函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在處取得極大值，在上取得極小值，則最多一個(gè)零點(diǎn)，于是存在三個(gè)零點(diǎn)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，，令，則，，，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】本題利用等比數(shù)列的性質(zhì)或者基本量法計(jì)算數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因，所以，，從而，又，所以，所?故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用差角的正弦公式、正切化成正余弦求出，再利用和角的正弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，解得，所以.故答案為：14.為促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化全面發(fā)展，樹人中學(xué)開設(shè)了豐富多彩的課余選課活動(dòng).已知高一年級(jí)共100人開始選課，要求沒有人選到的課是一模一樣的.通過選課模擬測試，發(fā)現(xiàn)每人選課3門，不合要求，每人選課4門，符合要求.則年級(jí)總共開設(shè)__________門課.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題意可得且，即可根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)開設(shè)了門課，則且，由于，，故，故，故答案為：9四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式可求角.（2）利用余弦定理，結(jié)合條件，可求值，進(jìn)而求三角形的面積.【小問1詳解】因?yàn)椋河烧叶ɡ恚核裕?，因?yàn)椋?，而為三角形?nèi)角，故.【小問2詳解】由余弦定理：所以，即.又.所以.所以.16.已知和為橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可聯(lián)立求解方程，進(jìn)而由離心率公式求解.（2）由點(diǎn)到直線距離以及弦長公式，結(jié)合面積公式先表示出的面積，即可結(jié)合換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍．【小問1詳解】將和代入橢圓方程可得且，解得，故所求橢圓方程為：故離心率為，【小問2詳解】設(shè),，,，將，代入橢圓的方程，整理得，，所以點(diǎn)到直線的距離為，，，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)．的最大值為故17.如圖，在四棱錐中，等邊與等邊的邊長均為，.（1）若平面，求；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合等邊的邊長為2計(jì)算即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用空間向量求出面面角的余弦.【小問1詳解】在四棱錐中，由平面，平面平面，平面，則，又等邊的邊長為2，則，又，所以.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，由等邊與等邊的邊長均為2，得，而平面，則平面，平面，則平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，于是平面，由，，得，，即，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則，觀察圖形知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.18.某校社團(tuán)開展知識(shí)競賽活動(dòng)，比賽有兩個(gè)階段，每隊(duì)由兩名成員組成.比賽規(guī)則如下：階段由某參賽隊(duì)中一名隊(duì)員答2個(gè)題，若兩次都未答對(duì)，則該隊(duì)被淘汰，該隊(duì)得0分；若至少答對(duì)一個(gè)，則該隊(duì)進(jìn)入階段，并獲得5分獎(jiǎng)勵(lì).在階段由參賽隊(duì)的另一名隊(duì)員答3個(gè)題，每答對(duì)一個(gè)得5分，答錯(cuò)得0分，該隊(duì)的成績?yōu)?，兩階段的得分總和.已知某參賽隊(duì)由甲乙兩人組成，設(shè)甲每次答對(duì)的概率為，乙每次答對(duì)的概率為，各次答對(duì)與否相互獨(dú)立.（1）若，甲參加階段比賽，求甲乙所在隊(duì)的比賽成績不少于10分的概率；（2）①設(shè)甲參加階段比賽，求該隊(duì)最終得分的數(shù)學(xué)期望（用表示）；②，且，設(shè)乙參加階段比賽時(shí)，該隊(duì)最終得分的數(shù)學(xué)期望為，則時(shí)，求的最小值.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）得分不少于10分，是指階段至少答對(duì)1題，得5分，階段也至少答對(duì)1題，有得分.（2）①寫出的可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再求期望.②由，得到的關(guān)系，再利用基本不等式求的最小值.【小問1詳解】甲乙所在隊(duì)的比賽成績不少于10分的概率為：.【小問2詳解】①由題意，的值可能為0，5，10，15，20，且，，，，.所以的分布列為：05101520所以.②同理可知，由，又，所以.所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”）所以的最小值為：.19.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.如圖，是函數(shù)的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近的實(shí)數(shù)，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，則在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，同理在處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列.令.（1）當(dāng)時(shí)，用牛頓法求出方程的近似解；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，寫出與的關(guān)系式（無需證明），并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）令，已知是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，求證：.【答案】（1）（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）本題根據(jù)題干給出的牛頓法解高次方程，結(jié)合曲線上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為經(jīng)過該點(diǎn)的切線的斜率，從而求得切線方程，再求出該切線與橫軸的交點(diǎn)，采用逐步逼近的方法求得高次方程的近似解；（2）根據(jù)（1）的條件逐步求得，從而遞推出與的關(guān)系式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先求出，然后判斷單調(diào)性，最后得到，然后不妨設(shè)函數(shù)，，判斷其單調(diào)性，然后得到，得到，利用以及的單調(diào)性，得到，最后化簡，證畢.【小問1詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，，所以過點(diǎn)的切線方程為，即，令，得；又因?yàn)?，，所以過點(diǎn)的切線方程為，令，得.綜上得，，