黑龍江省鶴崗市蘿北縣高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析）

蘿北縣高級中學(xué)2024-2025學(xué)年開學(xué)考試（8月）高二上學(xué)期（數(shù)學(xué)）一、單選題（每題5分，40分）1.一艘海盜船從C處以30km/h的速度沿著南偏東40°的方向前進，在C點北偏東20°距離為30km的A處有一海警船，沿著南偏東10°的方向快速攔截，若要攔截成功，則海警船速度至少為（）A.30km/h B.40km/h C.50km/h D.30km/h【答案】D【解析】【分析】作出圖形，分析查處ABC是等腰三角形，從而得=30，時間易得．【詳解】如圖，設(shè)在B處兩船相遇，則由題意得，，則ABC是等腰三角形，則=30，所以海盜船需1小時到B處，則海警船1小時至少航行km，故選：D．2.函數(shù)的零點是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】先化簡函數(shù)，再求的根即得結(jié)果.【詳解】依題意，令得，，解得，.故選：A.3.規(guī)定投擲飛鏢3次為一輪,若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀,現(xiàn)采用隨機模擬實驗的方法估計某人投擲飛鏢的情況：先由計算器產(chǎn)生隨機數(shù)0或1,用0表示該次投標(biāo)未在8環(huán)以上,用1表示該次投標(biāo)在8環(huán)以上；再以每三個隨機數(shù)作為一組,代表一輪的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬實驗產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：１０１１１１０１１１０１０１０１００１０００１１１１１１１０００００１１０１０００１１１１０１１１０００００１０１１０１據(jù)此估計,該選手投擲飛鏢三輪,至少有一輪可以拿到優(yōu)秀的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出投擲飛鏢一輪能拿優(yōu)秀的概率，即可計算投擲飛鏢三輪，至少有一輪可以拿到優(yōu)秀的概率.【詳解】總的事件有20個，其中3次中至少兩次投中的事件有：101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101共12個，故投擲飛鏢一輪能拿優(yōu)秀的概率為，則投擲飛鏢三輪，至少有一輪可以拿到優(yōu)秀的概率為.故選：B.【點睛】本題考查古典概型的概率求解，解題的關(guān)鍵是先列出所有事件，求出投擲飛鏢一輪能拿優(yōu)秀的概率.4.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若方程，在區(qū)間上有四個不同的根，則（）A.-12 B.-8 C.-4 D.4【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意可得的最小正周期為，再畫出簡圖，結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可【詳解】，故函數(shù)的最小正周期為．又因為函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以可以粗略畫出簡圖，不妨設(shè)，由圖象可知，，所以．故選：B5.在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用圓錐側(cè)面積公式以及母線、底面半徑和高關(guān)系得到方程組即可解出圓錐底面半徑，再利用圓柱側(cè)面積公式即可求圓柱的高，最后再根據(jù)相關(guān)體積公式即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，因為圓錐的側(cè)面積為，所以，即.因為，所以聯(lián)立解得（負(fù)舍）.因為圓柱的側(cè)面積為，所以，即，解得，所以該氈帳的體積為.故選：A.6.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有4個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析當(dāng)時，的單調(diào)性，進而作出的圖像，令，，問題轉(zhuǎn)化為方程必有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)為，，結(jié)合圖像可得，，解得的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時，，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以時，，時，，作出的圖像如下：令，，所以方程必有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)為，，結(jié)合圖像可得，要有四個不等實數(shù)根，只需方程有三個實數(shù)解，則，方程有一個實數(shù)解，則，，所以，即，所以，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．7.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】有二次函數(shù)最多兩個零點，討論在區(qū)間分別取4、5、6個零點時的的取值范圍；再討論在區(qū)間分別取0、1、2個零點時的的取值范圍，最后進行組合即可.【詳解】?函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，且二次函數(shù)最多兩個零點?當(dāng)時，至少有四個跟，令，則解出，?，?，即，當(dāng)時：①若有4個零點，此時，即；②若有5個零點，此時，即；③若有6個零點，此時，即；當(dāng)時：，令，解得①若，沒有零點；②若，，有1個零點；③若，，且對稱軸當(dāng)時，即，有2個零點；當(dāng)時，即，有1個零點綜上所述，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點需要滿足或或解得故選:A【點睛】思路點睛：三角函數(shù)的零點個數(shù)判斷：以本題余弦函數(shù)為例，三角函數(shù)作為周期函數(shù)，在有限范圍內(nèi)的零點取值個數(shù)取決于中的取值個數(shù).二函數(shù)的零點個數(shù)判斷：主要根據(jù)二次函數(shù)中的取值范圍確定，若在有限范圍內(nèi)，還需要用對稱軸做輔助判斷零點是否在范圍中.8.已知為定義在R上且不恒為零的函數(shù)，若對，都有成立，則下列說法中正確的有（）個．①；②若當(dāng)時，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；③對，；④若，則.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①利用賦值法，令即可得證，所以①正確.②根據(jù)題意，取，，所以，所以②正確.③時由①可得③成立；當(dāng)時，由②得，利用累加法得，因此，所以，所以③正確．④令，，，因為，所以得，所以由③，利用等比數(shù)列求和公式，得，所以④錯誤．【詳解】令有，令有f1=0.所以①正確.，因為，所以，所以，又因為，且當(dāng)時，，所以.所以②正確.當(dāng)時由①可得③成立；當(dāng)時，由②得，所以，所以……，累加得，即，所以，所以③正確．令，，由①得，又因為，所以，由③得，所以，所以，所以④錯誤．故選：C二、多選題（每題6分，18分）9.聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)函數(shù)為，其中A影響音的響度和音長，影響音的頻率，響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大；音調(diào)與聲波的振動頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉．平時我們聽到的音樂都是由許多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是．則下列說法正確的有（）A.偶函數(shù)；B.的最小正周期可能為；C.若聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音的響度大；D.若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音低沉．【答案】CD【解析】【分析】對于A，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，可知A錯誤；對于B，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可知B錯誤；對于C，比較振幅的大小，可知C正確；對于D，求出頻率，比較大小，可知D正確.【詳解】對于A，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，因為，所以聲音甲的振幅大于，而純音的振幅等于，所以聲音甲的響度一定比純音響度大，故C正確；對于D，因為的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，頻率為，的頻率為，，所以聲音甲一定比純音更低沉．故D正確.故選：CD10.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是（單位：），環(huán)境溫度是（單位：），其中.則經(jīng)過分鐘后物體的溫度將滿足，其中為正常數(shù).現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻，正確的結(jié)論是（）A.B.若，則C.若，則其實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘的速率下降D.紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間少【答案】ACD【解析】【分析】由題知，進而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)運算等依次討論各選項求解即可.【詳解】解:由題知，對于A選項，因為為正常數(shù)，所以，故A選項正確；對于B選項，若，即，所以，則，故B選項錯誤；對于C選項，表示處的函數(shù)值的變化情況，若，所以實際意義是在第3分鐘附近，紅茶溫度大約以每分鐘的速率下降，故C選項正確；對于D選項，令，則，故是定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，由于，所以隨著時間的增加，下降速度再減小，由于，故當(dāng)下降溫度相同的時候，下降所需時間相對增加，故紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間少，故D選項正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)值域分析能取得最小值，最大值能取到0，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出范圍，從而得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，值域為，故能取得最小值，最大值能取到0．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．所以，BC符合要求.故選：BC.三、填空題（每題5分，15分）12.若，則使的角的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】作出的圖象可得答案.【詳解】作出圖象，根據(jù)圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)可得出在內(nèi)滿足條件的角的取值范圍.故答案為：.13.已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)已知條件和復(fù)數(shù)模的概念即可計算﹒詳解】設(shè)，，則，，則，即，即，∴，∵，∴﹒故答案為：﹒14.法國數(shù)學(xué)家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名．對而言，若其內(nèi)部的點P滿足，則稱P為的費馬點．如圖所示，在中，已知，設(shè)P為的費馬點，且滿足．則的外接圓直徑長為_________．【答案】【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的內(nèi)角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得PB的值,在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圓的直徑.【詳解】由已知，所以.在中，，故.在中，由正弦定理（*）而，代入（*）式得.在中，利用余弦定理，在中，利用正弦定理則的外接圓直徑長為故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查三角形的內(nèi)角和定理、特殊角的三角函數(shù)值、兩角差的正弦函數(shù)公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，屬于較難題．四、解答題（77分）15.已知函數(shù)，0?ω?4，且．（1）求ω的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值．【答案】（1），，（2）最小值－1；最大值2．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡可得，再由可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)值域可得答案．【小問1詳解】，由知，則，或，，所以，或，，又，則，所以，令，，則，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)為，；【小問2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)，即時，函數(shù)有最小值－1；當(dāng)，即時，函數(shù)有最大值2．16.已知某科技公司的某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）若臨界值，請估計該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機的芯片個數(shù)；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品?Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機?B型手機各1萬部的生產(chǎn)：方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．【答案】（1）（2），應(yīng)選擇方案二【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求解頻率，進而可求解，（2）分別計算兩種方案的費用，即可比較作答.【小問1詳解】臨界值時，I級品中該指標(biāo)大于60的頻率為，II級品中該指標(biāo)大于60的頻率為0.1故該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個II級品中應(yīng)用于型手機的芯片個數(shù)估計為：【小問2詳解】當(dāng)臨界值時，若采用方案一：I級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的概率為，可以估計10000部型手機中有部手機芯片應(yīng)用錯誤；II級品中該指標(biāo)大于臨界值的概率為，可以估計10000部型手機中有部手機芯片應(yīng)用錯誤；故可以估計芯片生產(chǎn)商的損失費用又采用方案二需要檢測費用共130萬元故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二17.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的解集；（2）若對任意的，存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，不等式化簡為，解不等式；（2）不等式等價于，轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最小值，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時，不等式即：，，故原不等式的解集為（2）對任意的，存在，不等式成立當(dāng)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時：①若，即，則，即，此時?12≤m≤0②若，即，則，即，此時綜上可得實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題重點考查根據(jù)雙變量不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，意在考查分類討論的思想和計算能力，屬于中檔題型，一般對任意的，存在，使不等式成立，即轉(zhuǎn)化為.18.已知函數(shù)（且）．（1）求的定義域；（2）若當(dāng)時，函數(shù)在(1,+∞)有且只有一個零點，求實數(shù)b的范圍；（3）是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)?shù)亩x域為時，值域為，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0結(jié)合分析不等式運算求解；（2）根據(jù)題意分析可知在上有且只有一個解，進而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性運算求解；（3）根據(jù)定義域和值域可得，且，結(jié)合單調(diào)性分析可知有兩個大于1相異實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)零點分布運算求解.【小問1詳解】由，得或．所以的定義域為．【小問2詳解】令，可知在(1,+∞)上為增函數(shù)，可得，且，可知的值域為，因為，則在定義域內(nèi)為減