1.3等比數(shù)列檢測(cè)題 B卷（綜合提升）-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期北師大版（2019）數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)

1.3等比數(shù)列檢測(cè)題B卷（綜合提升）一、單選題1．與的等比中項(xiàng)是（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列中，，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．163．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若=1，，則等于（）A． B． C． D．4．在數(shù)列中，，，則（）A．959 B．967 C．977 D．9975．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式等于（）A． B． C． D．6．十九世紀(jì)下半葉，集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我們可以構(gòu)造一個(gè)“四分集”，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為四段，去掉其中的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的三個(gè)區(qū)間，，分別均分為四段，并各自去掉第二個(gè)區(qū)間段，記為第二次操作；…如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為四段，同樣各自去掉第二個(gè)區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“四分集”.若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．12 B．11 C．10 D．97．設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列是等差數(shù)列，則非零實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C．3 D．4二、多選題9．(多選題)下列說(shuō)法正確的有（）A．等比數(shù)列中的項(xiàng)不能為0B．等比數(shù)列的公比的取值范圍是RC．若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則公比為1D．22，42，62，82，…成等比數(shù)列10．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則有（）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．11．在1261年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開(kāi)始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項(xiàng)和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列，記為，的前n項(xiàng)和記為，則下列說(shuō)法正確的是（）第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……A． B．的前n項(xiàng)和為 C． D．12．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3），記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．若，為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是D．若恒成立，則的最小值為三、填空題13．實(shí)數(shù)，滿足：，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則______．14．若數(shù)列滿足，則稱為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且則___________.15．已知是等比數(shù)列，公比大于1，且，.記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前60項(xiàng)的和的值為_(kāi)_____.16．設(shè)集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136個(gè)二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等.記這136個(gè)二元子集為B1，B2，B3，…B136，.設(shè)，定義S（B1）＝|x﹣y|，則S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝_____.（結(jié)果用數(shù)字作答）四、解答題17．已知等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).數(shù)列滿足，且..（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．1.已知數(shù)列中，,，設(shè).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.19．已知數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.20．已知等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的公差都為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，且，，成等差數(shù)列，等差數(shù)列的首項(xiàng)為1．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意均有恒成立，求的范圍．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，.（1）證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和.22．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù).（1）證明：；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案1．C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得結(jié)果.【詳解】與的等比中項(xiàng)是.故選：C.2．A【分析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，.故選：A3．C【分析】由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故，故為等比?shù)列且首項(xiàng)為1，公比為4，故，故選：C.4．C【分析】由遞推公式進(jìn)行迭代后再求和即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.5．B【分析】根據(jù)，由解得；由時(shí)，求解．【詳解】解：，時(shí)，，解得；時(shí)，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為．則，故選：．6．B【分析】利用題中的條件可知，每一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度成等比數(shù)列，即可解出．【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為，第二次操作去掉3個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，第三次操作去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，，第次操作去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，所以進(jìn)行次操作后，所有去掉區(qū)間長(zhǎng)度和為，由題意知，，故的最小值為11，故選：B．7．A【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件求出公比，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，將代人得，解得，則.故選：A8．C【分析】根據(jù)求出通項(xiàng)公式，利用可求出，求出，根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)可得.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，則，解得，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則通項(xiàng)公式不能出現(xiàn)次方項(xiàng)，所以，解得.

故選：C.9．AC【分析】由等比數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】A顯然正確；等比數(shù)列的公比不能為0，故B錯(cuò)；C顯然正確；由于，故不是等比數(shù)列，D錯(cuò)．故選：AC10．ABD【分析】根據(jù)求得，進(jìn)而求得以及判斷出是等比數(shù)列.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD11．BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再根據(jù)楊輝三角的特點(diǎn)確定在楊輝三角中的位置，通過(guò)與的關(guān)系求，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】從第一行開(kāi)始，每一行的數(shù)依次對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，為一個(gè)等比數(shù)列，，所以，故A錯(cuò)誤；的前n項(xiàng)和為，故B正確；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項(xiàng)數(shù)分別為構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)之和為的最大整數(shù)為11，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1被去掉，取的就是第12行中的第三項(xiàng)，，故C正確；，這11行中共去掉了22個(gè)1，，故D正確，故選：BCD．12．AD【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于較難題目．設(shè)第個(gè)圖形的邊數(shù)為，可得為等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，并求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到和的通項(xiàng)公式，即可對(duì)，作出判定；利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得的最小值，判斷C選項(xiàng)；根據(jù)的單調(diào)性和范圍求得單調(diào)性和范圍，從而求得的最小值，從而判斷D選項(xiàng)．【詳解】由題意可知，下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，

可得周長(zhǎng)的遞推關(guān)系式為，由圖知，

，選項(xiàng)A正確；

從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，

所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由，得，

計(jì)算得

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.

因?yàn)轭}中要求，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

根據(jù)選項(xiàng)B中的分析，，所以

即

設(shè)，則在上單調(diào)遞增.

所以時(shí)，

所以的最小值是.選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

13．12【分析】結(jié)合等差中項(xiàng)先求a，再結(jié)合等比性質(zhì)可求b.【詳解】由，，成等差數(shù)列可得a=6，則，6，成等比數(shù)列，即.故答案為：12.14．64【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】解：依題意可得，則數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為．∵，∴．故答案為：15．243【分析】第一步求出是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二步計(jì)算為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，列舉求值即可?！驹斀狻恳?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，，得解得或（舍去），由于，所以對(duì)應(yīng)區(qū)間為則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為所以有一項(xiàng)，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，所以有兩項(xiàng)，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，所以有三項(xiàng)即；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，所以有四項(xiàng)，；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為所以有五項(xiàng)，.所以故答案為：243.16．1835028【分析】由題意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】由題意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215）＝-16×20+-15×21+……+-2×214+216-215＝217×15+216-（2+22+……+215）-（16+15×21+……+2×214+215）＝217×15+216--（217-18）＝217×14+20＝1835028．故答案為：183502817．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等量關(guān)系，求解，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，分組求和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)?，所?因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得所以.（2）因?yàn)?，所以為等差?shù)列.因?yàn)?，所以公?故.所以18．（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2），【分析】（1）利用，變形得到，證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用第一問(wèn)的結(jié)論，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合的通項(xiàng)公式的形式，采用分組求和法求前n項(xiàng)和（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為（2）由第一問(wèn)可得：，所以，19．（1）（2）【分析】（1）由題意，，利用累乘法即可求解；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法即可求解.（1）解：由題意，，又，所以，所以.（2）解：由（1）可得，所以，記，則由得由得，故.20．（1），（2）【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列可求，從而可求和的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減法可求，從而可得，故可求的范圍．（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以：，整理得：，即，故，解得，所以，．（2）證明：（2）由（1）得：，故①，②，①②得：，故．因此的范圍為.21．（1）證明見(jiàn)詳解；，（2）【分析】（1）由條件得，即可證明為等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）取分別為0，1，2，3，4，5，可得對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，然后直接求和即可.（1）由得，即，又所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列則，即當(dāng)時(shí)，，又符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（2）若，則，得若，則，得若，則，得若，則，