1.3 交集、并集-2022-2023學年高一數學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

1.3交集、并集【考點梳理】考點一：并集考點二：交集【題型歸納】題型一：根據交集求集合或者參數問題1．（2022·四川瀘州·高一期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一）已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高一）已集合，集合，，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型二：根據并集求集合或者參數問題4．（2022·河南信陽·高一期末）設集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一）已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知集合或，，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三：Venn圖7．（2022·全國·高一單元測試）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數是20，則這三天都開車上班的職工人數的最大值是（

）A．6 B．5 C．7 D．88．（2022·全國·高一）圖1中的四塊區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分別表示下列四個集合：，，，，則圖2中的陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．9．（2022·全國·高一）記全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A． B． C． D．題型四：集合的應用10．（2019·陜西省商丹高新學校高一階段練習）商洛市數、理、化競賽時，高一某班有24名學生參加數學競賽，28名學生參加物理競賽，19名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有7名，只參加數、物兩科的有5名，只參加物、化兩科的有3名，只參加數、化兩科的有4名．若該班學生共有48名，則沒有參加任何一科競賽的學生有多少名（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2021·湖南·武岡市第二中學高一階段練習）舉辦校運會，某班參加田賽的學生有9人，參加徑賽的學生有14人，兩項都參加的有5人，那么該班參加本次運動會的人數共有（

）A．28 B．23 C．18 D．1612．（2021·江蘇·高一期中）某班有30人參加了“第十四個五年規(guī)劃的知識競賽”若答對第一題的有18人，答對第二題的有16人，兩題都答對的有8人，則一、二兩題都沒答對的有（

）A．3人 B．4人 C．5人 D．6人題型五：集合的交并補運算13．（2022·云南紅河·高一期末）若全集，集合，則（

）A． B． C． D．14．（2022·海南·嘉積中學高一期末）已知集合或，，則（

）A． B．C． D．15．（2021·新疆·沙灣縣第一中學高一期中）已知全集，集合，集合，則集合的真子集的個數為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．7個題型五：集合的交并補集合或參數問題16．（2021·湖南·周南中學高一階段練習）已知集合，集合（1）若，求實數m的取值范圍；（2）試判斷是否存在R，使得，并說明理由．17．（2022·全國·高一專題練習）設集合A={x∣?3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+?5=0}（1）若A∩B={2}，求實數a的值；（2）若U=R，A∩(B)=A.求實數a的取值范圍.18．（2021·江蘇·高一單元測試）已知集合，集合．現有三個條件：條件①，條件②，條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并求解下列問題：（1）若，求；（2）若______，求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個選擇的解答計分．【雙基達標】一、單選題19．（2022·全國·高一）設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．420．（2021·黑龍江·佳木斯一中高一）設集合，，則A． B． C． D．21．（2022·全國·高一）集合或，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．22．（2021·河北·順平縣中學高一）設，，若，求實數組成的集合的子集個數有A．2 B．3 C．4 D．823．（2021·四川省綿陽第一中學高一期中）已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或24．（2022·江蘇·高一專題練習）如圖，是全集，是的子集，則陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．25．（2022·浙江·臺州市書生中學高一開學考試）已知集合（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.26．（2020·浙江·金華市曙光學校高一期中）已知函數的定義域為集合，集合.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍；（3）若，求實數的取值范圍.【高分突破】27．（2022·江蘇·高一專題練習）已知非空集合滿足以下兩個條件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素個數不是中的元素，的元素個數不是中的元素，則有序集合對的個數為

A． B． C． D．28．（2021·重慶市求精中學校高一階段練習）已知全體實數集，集合，則（

）A． B． C． D．29．（2022·全國·高一課時練習）某班45名學生參加“3·12”植樹節(jié)活動，每位學生都參加除草?植樹兩項勞動.依據勞動表現，評定為“優(yōu)秀”?“合格”2個等級，結果如下表：等級項目優(yōu)秀合格合計除草301545植樹202545若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優(yōu)秀”的人數最多為（

）A．5 B．10 C．15 D．2030．（2022·全國·高一）已知，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2022·全國·高一單元測試）已知集合，，若，則實數的取值范圍是A． B． C． D．32．（2021·福建·仙游一中高一期中）已知全集，集合，滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．33．（2022·全國·高一單元測試）已知集合，集合，且，則實數的取值集合為（

）A． B．C． D．34．（2022·全國·高一單元測試）設集合，或，若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題35．（2022·全國·高一課時練習）設全集，集合，，則（

）A． B．C． D．集合的真子集個數為836．（2021·湖北·武漢中學高一階段練習）已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足，則下列關系一定正確的是（

）A． B．C． D．37．（2022·全國·高一單元測試）設集合，若，則實數a的值可以為（

）A． B．0 C．3 D．38．（2022·全國·高一單元測試）已知全集，集合，，則使成立的實數的取值范圍可以是（）A． B．C． D．39．（2022·全國·高一單元測試）由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素40．（2021·海南中學三亞學校（三亞市實驗中學）高一期中）設集合，，，，則下列選項中，滿足的實數的取值范圍可以是（）A． B．或 C． D．41．（2022·江蘇·高一單元測試）對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（

）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得三、填空題42．（2021·全國·高一課時練習）已知集合，，若則實數的值為________43．（2022·吉林松原·高一階段練習）已知集合，，且，則實數a的取值范圍是______________________.44．（2021·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則的取值范圍為__________．45．（2021·全國·高一專題練習）設集合，且，則實數的取值范圍是____.46．（2021·河南·鄧州市第一高級中學校高一階段練習）高二某班共有人，每名學生要從物理、化學、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇門進行學習.已知選擇物理、化學、生物的學生各有至少人，這三門學科均不選的有人.這三門課程均選的有人，三門中任選兩門課程的均至少有人.三門中只選物理與只選化學均至少有人，那么該班選擇物理與化學但未選生物的學生至多有________人.47．（2022·江蘇·高一單元測試）集合，，都是非空集合，現規(guī)定如下運算：且．假設集合，，，其中實數，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計算____________________________________．四、解答題48．（2021·河北·藁城新冀明中學高一階段練習）已知集合，集合.（1）求；（2）設集合，且，求實數的取值范圍.49．（2021·河北·順平縣中學高一階段練習）若集合，（Ⅰ）當時，求；（Ⅱ）若，求實數的取值范圍.50．（2021·全國·高一階段練習）已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍；（3）若，求實數的取值范圍．51．（2019·山西·懷仁市大地學校高中部高一）已知全集，集合，．求：（1），，；（2），；（3）設集合且，求的取值范圍；52．（2021·四川·成都外國語學校高一階段練習）已知集合，．（1）若，求實數a，b滿足的條件；（2）若，求實數m的取值范圍．53．（2022·全國·高一單元測試）已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，滿足，，求實數的取值范圍.參考答案：1．C【詳解】解：因為，，所以；故選：C2．A【詳解】解：因為，又，所以當時，，要使，則，即．故選：A．3．B【詳解】因為集合，集合，，所以.故選：B.4．D【詳解】，，∴.故選：D.5．D【分析】根據并集的定義計算即可.【詳解】因為，所以當時，的解集為，此時，顯然有.當時，的解集為，由得，所以.當時，的解集為，顯然有.綜上所述.故選：D.6．B【分析】利用數軸，根據集合的運算結果即可求解.【詳解】因為集合或，，，所以．故選：B．7．A【分析】根據題意，作出維恩圖，由數形結合列出方程求解即可.【詳解】作維恩圖，如圖所示，則周一開車上班的職工人數為，周二開車上班的職工人數為，周三開車上班的職工人數為，這三天都開車上班的職工人數為x.則，得，得，當時，x取得最大值6.故選：A8．D【分析】由集合的運算與Venn圖表示判斷．【詳解】由題意知題圖2中的陰影部分為：集合A與集合B的交集去掉屬于集合C的部分，即圖2中的陰影部分表示的集合為．故選：D．9．D【分析】根據題意和對圖的理解可知陰影部分所表示的集合是，結合并集和補集的概念與運算計算即可.【詳解】由圖知，陰影部分所表示的集合是，∵，，∴，故.故選：D10．A【分析】本題首先可根據題意確定只參加數學競賽、只參加物理競賽以及只參加化學競賽的學生人數，然后用學生總數減去參加比賽的學生人數即可得出結果.【詳解】因為有24名學生參加數學競賽，參加數、理、化三科競賽的有7名，參加數、物兩科的有5名，參加數、化兩科的有4名，所以只參加數學競賽的有名，因為有28名學生參加物理競賽，參加數、理、化三科競賽的有7名，參加數、物兩科的有5名，參加物、化兩科的有3名，所以只參加物理競賽的有名，因為有19名學生參加化學競賽，參加數、理、化三科競賽的有7名，參加物、化兩科的有3名，參加數、化兩科的有4名，所以只參加化學競賽的有名，則沒有參加任何一科競賽的學生有名，故選：A.【點睛】本題考查學生解決實際問題的能力，能否明確題意中給出的各個條件之間的關系是解決本題的關鍵，考查推理能力，體現了綜合性，是中檔題.11．C【分析】分析出只參加田賽的有4人，只參加徑賽的有9人，即可得解.【詳解】參加田賽的學生有9人，參加徑賽的學生有14人，兩項都參加的有5人，所以只參加田賽的有4人，只參加徑賽的有9人，所以參加本次運動會的人數共有18人.故選：C12．B【分析】結合交并補集的概念，結合題意即可求出結果.【詳解】設全班的同學組成全集，答對第一題的同學組成集合，答對第二題的同學組成集合，由題意可得中元素有18個，中元素有16個，中元素有8個，所以中元素的個數為個，所以中元素的個數為個，故一、二兩題都沒答對的有人，故選：B.13．D【分析】根據集合的補集和交集運算可得答案.【詳解】由題得，又，所以.故選：D.14．B【分析】先求，再由交集的運算的定義求.【詳解】因為或，所以，又，所以，故選：B.15．B【分析】先求出，再計算真子集個數即可.【詳解】由題意知：，則，則的真子集的個數為.故選：B.16．（1）；（2）不存在；理由見解析．【分析】（1）確定集合，由子集定義得不等式關系可得結論，注意分類討論；（2）先根據補集的概念求出，這時仍然注意應對B能否是空集討論，然后探究使成立時m應滿足的條件，也可結合數軸來分析和處理．【詳解】解：（1）由，解得，，，當時，有，解得；當時，有，解得，綜上，實數m的取值范圍為（2）由（1）可知，，當，即時，，；當，即時，或，由，得，即，綜上，不存在實數m，使得17．（1）或；（2）且且【解析】（1）由條件可知集合中包含元素2，所以代入求，并驗證是否滿足條件；（2）由條件得，分和三種情況討論，得到的取值范圍.【詳解】（1），由可知，，即，解得：或，當時，，此時，滿足，當時，，此時，滿足.所以實數的值是或；（2）U=R，A∩(B)=A，，則①當，即時，此時，滿足條件；②當時，，即，，不滿足條件；③當時，即時，此時只需，，將2代入方程得或，將1代入方程得，得，綜上可知，的取值范圍是且且【點睛】易錯點睛：1.當集合的元素是方程的實數根時，根據集合的運算結果求參數時，注意回代檢驗，否則會造成增根情況，當集合是區(qū)間形式表示時，注意端點值的開閉；2.當集合的運算結果轉化為集合的包含關系時，注意討論空集情況，容易忽略這一點.18．（1）；（2）選①：；選②：或；選③：．.【分析】求出集合，或．（1）時，求出集合，由此能求出．（2）選①：，則，若，則，若，列出不等式組，由此能求出的取值范圍．選②：，若，則，若，列出不等式組，由此能求出的取值范圍．選③：，則．列出不等式組，由此能求出的取值范圍．【詳解】集合，（1）若，，則（2）選①：，則，若，則，解得若，則，解得；綜上得；選②：若，則，解得若，則或解得或；綜上得或．選③：，則．則解得所以.19．B【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結合交集的結果得到關于a的方程，求解方程即可確定實數a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20．D【詳解】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.21．A【分析】根據，分和兩種情況討論，建立不等關系即可求實數的取值范圍．【詳解】解：，①當時，即無解，此時，滿足題意．②當時，即有解，當時，可得，要使，則需要，解得．當時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數的取值范圍是．故選：A．【點睛】易錯點點睛：研究集合間的關系，不要忽略討論集合是否為.22．D【分析】先解方程得集合A，再根據得，最后根據包含關系求實數，即得結果.【詳解】,因為，所以，因此，對應實數的值為，其組成的集合的子集個數有，選D.【點睛】本題考查集合包含關系以及集合子集，考查基本分析求解能力，屬中檔題.23．B【詳解】因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.24．C【分析】利用陰影部分所屬的集合寫出陰影部分所表示的集合．【詳解】解：由圖知，陰影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故陰影部分所表示的集合是.故選：C.25．（1）；（2）.【分析】（1）根據集合的運算法則計算；（2）由得，然后分類和求解．【詳解】（1）當時，中不等式為，即，∴或，則（2）∵，∴，①當時，，即，此時；②當時，，即，此時.綜上的取值范圍為.26．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出函數的定義域，即集合，將代入集合可得出集合，再利用集合的并集的定義得出集合；（2）由已知條件列不等式組可求出實數的取值范圍；（3）分和兩種情況，結合條件列不等式可求出實數的取值范圍.【詳解】（1）對于函數，有，解得，.當時，，因此，；（2），則有，解得，因此，實數的取值范圍是；（3）當時，即當時，，此時，，合乎題意；當時，即當時，由于，則或，解得或，此時.綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查集合的計算，以及利用集合的包含關系與交集運算求參數的取值范圍，解題時要充分利用數軸，結合已知條件列不等式（組）進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.27．A【分析】根據條件：A的元素個數不是A中的元素，B的元素個數不是B中的元素，分別討論集合A、B中元素的個數，列舉所有可能，即可得到結果．【詳解】根據條件：A的元素個數不是A中的元素，B的元素個數不是B中的元素1、當集合A只有一個元素時，集合B中有5個元素，且，此時僅有一種結果，；2、當集合A有兩個元素時，集合B中有4個元素，且，此時集合A中必有一個元素為4，集合B中必有一個元素為2，故有如下可能結果：（1），；（2），；（3），；（4），．共計4種可能．3、可以推測集合A中不可能有3個元素；4、當集合A中的4個元素時，集合B中的2個元素，此情況與2情況相同，只需A、B互換即可．共計4種可能．5、當集合A中的5個元素時，集合B中的1個元素，此情況與1情況相同，只需A、B互換即可．共1種可能．綜上所述，有序集合對（A，B）的個數為10．答案選A．【點睛】本題主要考查排列組合的應用，根據元素關系分別進行討論是解決本題的關鍵．28．C【分析】計算＝{x|x≤﹣1或x≥4}，B＝{y|y≥1}，再計算交集得到答案.【詳解】由R為全體實數集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，得＝{x|x≤﹣1或x≥4}，∵B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，∴＝{x|x≥4}．故選：C．29．C【分析】用集合表示除草優(yōu)秀的學生，表示植樹優(yōu)秀的學生，全班學生用全集表示，則表示除草合格的學生，則表示植樹合格的學生，作出Venn圖，易得它們的關系，從而得出結論．【詳解】用集合表示除草優(yōu)秀的學生，表示植樹優(yōu)秀的學生，全班學生用全集表示，則表示除草合格的學生，則表示植樹合格的學生，作出Venn圖，如圖，設兩個項目都優(yōu)秀的人數為，兩個項目都是合格的人數為，由圖可得，，因為，所以．故選：C．【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合的應用，解題關鍵是用集合表示優(yōu)秀學生，全體學生用全集表示，用Venn圖表示集合的關系后，易知全部優(yōu)秀的人數與全部合格的人數之間的關系，從而得出最大值．30．D【解析】根據并集的結果，可得集合B，進而得到參數的取值范圍；【詳解】解：∵，，∴∴．故選：D．31．C【分析】分別求出集合，利用可得兩個集合端點之間的關系，從而可求實數的取值范圍.【詳解】集合，集合，若，則，解得，故選C.【點睛】本題考查集合的并以及一元二次不等式的解法，屬于中檔題.32．C【分析】由題意作出Venn圖，再由集合的運算逐一判斷即可【詳解】全集，集合，滿足，繪制Venn圖，如下：對于A：，A錯誤；對于B：，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：；

D錯誤；故選：C33．A【分析】解出集合、，分析可知，可得出關于實數的等式，由此可求得實數的值.【詳解】由題意知集合，對于方程，解得，.因為，則.①當時，即時，成立；②當時，即當時，因為，則，解得.綜上所述，的取值集合為.故選：A.34．A【分析】根據給定條件按集合A是否為空集兩類列式計算得解.【詳解】因集合，若，有，解得，此時，于是得，若，因或，則由得：，解得：，綜上得：，所以實數的取值范圍為.故選：A35．AC【分析】根據集合交集、補集、并集的定義，結合集合真子集個數公式逐一判斷即可.【詳解】因為全集，集合，，所以，，，因此選項A、C正確，選項B不正確，因為集合的元素共有3個，所以它的真子集個數為：，因此選項D不正確，故選：AC36．CD【分析】采用特值法，可設，，，根據集合之間的基本關系，對選項逐項進行檢驗，即可得到結果.【詳解】令，，，滿足，但，，故A，B均不正確；由，知，∴，∴，由，知，∴，故C，D均正確.故選：CD.37．ABD【分析】先求出集A，B，再由得，然后分和兩種情況求解即可【詳解】解：，∵，∴，∴①時，；②時，或，∴或.綜上，或，或故選：ABD.38．ABC【分析】討論和時，計算，根據列不等式，解不等式求得的取值范圍，再結合選項即可得正確選項.【詳解】當時，，即，此時，符合題意，當時，，即，由可得或，因為，所以或，可得或，因為，所以，所以實數的取值范圍為或，所以選項ABC正確，選項D不正確；故選：ABC.39．ABD【分析】舉特例根據定義分析判斷，進而可得到結果．【詳解】令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數，顯然這是不可能的；令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.故選：ABD．40．CD【分析】根據可得或，解不等式可以得到實數的取值范圍，然后結合選項即可得出結果.【詳解】集合，，，，滿足，或，解得或，實數的取值范圍可以是或，結合選項可得CD符合.故選：CD.41．ABD【分析】根據新定義及交、并、補集運算，逐一判斷即可．【詳解】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現在中，因此，即選項A正確；對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；對于D選項，時，，，D正確；故選：ABD．42．1【詳解】由題意，顯然，所以，此時，滿足題意，故答案為1．點睛:（1）認清元素的屬性．解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．（2）注意元素的互異性．在解決含參數的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致錯誤．（3）防范空集．在解決有關等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時是否成立，以防漏解．43．【分析】由并集的定義及數軸表示可得解.【詳解】在數軸上表示出集合和集合,要使，只有.【點睛】本題主要考查了集合的并集運算，利用數軸找關系是解題的關鍵，屬于基礎題.44．或【詳解】由解得或，所以，因為，所以可能，分別分析，當即時，符合題意，再有根與系數的關系知，時，符合題意，不符合題意，故填或45．【解析】由題意，可得是集合的子集，按集合中元素的個數，結合根與系數之間的關系，分類討論即可求解.【詳解】由題意，可得是集合的子集，又，當是空集時，即方程無解，則滿足，解得，即，此時顯然符合題意；當中只有一個元素時，即方程只有一個實數根，此時，解得，則方程的解為或，并不是集合的子集中的元素，不符合題意，舍去；當中有兩個元素時，則，此時方程的解為，，由根與系數之間的關系，可得兩根之和為5，故；當時，可解得，符合題意.綜上的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：根據集合的運算求參數問題的方法：1、要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解；2、若集合元素是一一列舉的，依據集合間的關系，轉化為解方程（組）求解，此時注意集合中元素的互異性；3、若集合表示的不等式的解集，常依據數軸轉化為不等式（組）求解，此時需要注意端點值是否取到.46．8【解析】把學生60人看出一個集合，選擇物理科的人數組成為集合，選擇化學科的人數組成集合，選擇生物科的人數組成集合，根據題意，作出韋恩圖，結合韋恩圖，即可求解.【詳解】把學生60人看出一個集合，選擇物理科的人數組成為集合，選擇化學科的人數組成集合，選擇生物科的人數組成集合，記選擇物理與化學但未選生物的學生組成集合要使選擇物理和化學這兩門課程的學生人數最多，除這三門課程都不選的有15人，這三門課程都選的有10人，則其它個選擇人數均為最少，即得到單選物理的最少6人，單選化學的最少6人，單選化學、生物的最少6人，單選物理、生物的最少6人，單選生物的最少3人，以上人數最少52人，可作出如下圖所示的韋恩圖，故區(qū)