2.2.1 基本不等式的解釋和證明【課時教學設計】（賴海波） -高中數學新教材必修第一冊小單元教學+專家指導（視頻+教案）

2.2基本不等式第1課時基本不等式的解釋和證明教學內容基本不等式的含義和證明。（二）教學目標1.經歷基本不等式的發(fā)現(xiàn)歸納過程，能從具體中抽象出基本不等式，體會數學的一般性，發(fā)展學生數學抽象素養(yǎng)。2.經歷基本不等式的證明過程，能用分析法證明不等式，體會數學的嚴謹性，發(fā)展學生邏輯推理、數學運算素養(yǎng)。3.通過尋找基本不等式的幾何解釋，能理解基本不等式的幾何直觀，體會數形結合思想，發(fā)展直觀想象的素養(yǎng)；4.利用基本不等式求簡單的最值問題，能把握基本不等式的使用條件“一正二定三相等”，體會數學的靈活性，發(fā)展數學運算素養(yǎng)。（三）教學重點及難點1.重點：基本不等式的定義，證明和幾何解釋。2.難點:基本不等式的證明。（四）教學過程設計1.情境引入，提出問題（1）歐拉與羊圈的故事：小歐拉曾經因為星星的事情被教會學校開除，回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童。他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數學書。爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動工的時候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米(15+15+40+40=110)父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料;要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領地會小于原來的計劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說，只有稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情?”但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁。他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說：“那怎么成呢?那怎么成呢?這個羊圈太小了，太小了。"小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形。然后，小歐拉很自信地對爸爸說："現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了?！备赣H照著小歐拉設計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些?！驹O計意圖】講數學家故事，滲透德育文化，激發(fā)學生數學學習興趣和積極性。（2）回顧上一節(jié)課的內容——“重要不等式”：多媒體展示第24屆國際數學家大會的會標，介紹趙爽弦圖歷史淵源。師生活動：我們把會標抽象成在正方形中有4個全等的直角三角形，設直角三角形的兩條直角邊長為，那么正方形的邊長為。這樣4個直角三角形的面積和為，正方形的面積為，由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就等到一個不等式追問1：如果用代替，用代替，得到，即=1\*GB3①，當且僅當時，等號成立。我們稱不等式=1\*GB3①為基本不等式。具體演算，總結規(guī)律當分別取下列值時，基本不等式成立嗎？當，（2）當，（3）當。師生活動：學生親自運算檢驗，體會不等式的成立?！驹O計意圖】利用實際問題抽象出不等式模型，在通過字母代換等到基本不等式模式，最后用具體數值驗證，加深對基本不等式的認識。教師總結：其中a+b2叫做正數a,b的算術平均數，ab叫做正數a,b【設計意圖】通過分析基本不等式的結構特征得到基本不等式的代數解釋，加深對基本不等式的認識，多種方法下，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。公式證明，形成概念問題2.我們通過考察a2師生活動：學生可能根據兩個實數大小關系的基本事實，用作差比較法證明上式。教師在肯定學生的做法之后，給學生簡單介紹分析法并且引導學生用分析法寫出證明過程。教師:分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止。分析法解題過程如下:要證ab≤a+b2=1\*GB3①只要證2要證=2\?GB3②，只要證2ab?a?b≤0.=3\*GB3③要證=3\*GB3③，只要證?(a?b)2≤0=4\*GB3④要證=4\*GB3④，只要證(a?b)2≥0=5\*GB3⑤顯然，=5\*GB3⑤成立，當且僅當a=b時，=5\?GB3⑤中的等號成立。我們可以看到，只要把上面的過程倒過來，就可以直接推出基本不等式了。追問（1）：請同學們想一想上述證明中每一步推理的依據是什么？教師引導由=2\*GB3②?=1\*GB3①，由=3\*GB3③?=2\?GB3②,由=4\*GB3④?=3\?GB3③，由=5\*GB3⑤?=4\*GB3④的依據。教師總結：=2\*GB3②?=1\*GB3①（根據不等式性質，兩邊同乘以一個正數，所得不等式與原不等式同向）=3\*GB3③?=2\?GB3②（根據不等式性質，兩邊同時加上正數（a+b），所得不等式與原不等式同向=4\*GB3④?=3\?GB3③（運用完全平方差公式打開計=5\*GB3⑤?=4\*GB3④（根據不等式性質，兩邊同乘以一個負數，所得不等式與原不等式反向）顯然，=5\*GB3⑤成立，當且僅當a=b時，=5\?GB3追問（2）：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動：學生討論后回答。教師總結：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理）為止。追問（3）:根據我們的證明過程，說說分析法的證明格式是怎樣的？師生活動：學生思考后回答。教師總結：由于分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……”“只要證……”的格式，當推導到一個明顯成立的條件之后，指出顯然……成立?！驹O計意圖】作差比較是學生最有可能想到的方法，但教師還是需要介紹“執(zhí)果索因”的“分析法”。它從求證的不等式出發(fā)，逆向逐步探尋這個不等式成立需要具備的充分條件，其基本思想是:由未知探索需知，逐步推向已知。在數學中，條件探究題一般用分析法進行逆推來獲得正確答案，是思考問題的一般性方法。幾何解釋，加深理解問題3.如圖AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b,過點C做垂直于AB的弦DE，連接AD,BD，你能利用這個圖形得到基本不等式的幾何解釋嗎？師：前后4人小組，4分鐘時間討論交流。生：小組討論，選派小組代表上臺為同學展示交流成果，其他同學做補充。師：肯定小組交流成果。師：幾何畫板動態(tài)演示，使學生直觀感受變與不變.師：引導學生總結，半徑即為，，圓中直徑不小于任意一條弦，當且僅當弦過圓心時，二者相等?！驹O計意圖】學生自己發(fā)現(xiàn)基本不等式的幾何解釋相對較困難，給出幾何圖形后，引導學生將和與圖中的幾何元素建立起聯(lián)系，再觀察這些幾何元素在變化中表現(xiàn)得大小關系，從而得到基本不等式的幾何解釋，幾何畫板演示增強視覺直觀，數形結合。例題講解，示范鞏固前面我們知道了基本不等式的內容、證明方法和幾何解釋，下面我們利用基本不等式來解決一些簡單的最值問題.請看下面的例題。例1已知x>0,求追問1：本題中要求最小值的代數式有什么結構特點？是否可以利用基本不等式求x+1x師生活動：學生思考后回答。教師總結：本題中要求的代數式是x與1x和的形式，而且x?1x=1，由于x+1x是x與解：因為x>0，所以x+1x≥2x?因此所求的最小值是2。追問2：在上述解答過程中，是否必須說明“當且僅當x=1x，即師生活動：學生討論后回答。教師總結：這是為了說明“2”是x+1x的一個取值。那么請同學們再想一想，當y0<2時，師生活動：學生思考后回答。教師總結：當然是不能，因為x+1x的最小值，就是要求出一個y0追問3：通過本例的解答，你能說說滿足什么條件能夠利用基本不等式求最小值呢？師生活動：學生討論后回答。教師總結：如果兩個正數的積為定值，當這兩個數相等時，可以求得它們的和的最小值。【設計意圖】引導學生根據所求代數式的形式，判斷是否利用基本不等式解決問題，同時強調代數式的最值必須是代數式能取到的值，為學生求解代數式的最值問題提供示范（模型）。5.基礎訓練，檢測評價練習1.已知，則的最小值為（）A.1B.2C.4D.8練習2.已知且，則的最大值為（）B.1C.2D.4練習3.已知，求的最大值？師：最小值的含義是什么？學生思考后回答，教師總結，即求一個實數M，使所有值都大于等于M，并且能取到M。生：第一題可以利用基本不等式求得，首先滿足應用條件代入公式，求得，當且僅當=1時等號成立。師：引導學生在該題的基礎之上，對基本不等式進行變形，得到，總結得到“兩個正數積定和最小”。生：第二題符合基本不等式應用條件，代入公式求得，當且僅當=1時等號成立。師：引導學生對基本不等式進行變形得，總結得到“兩個正數和定積最大”。生：分析基本不等式的應用前提，即兩個正數，將，看作兩個整體，要求a,b同號。師：第三題是第二題的延伸拓展，能否用第二題的思路解決？【設計意圖】通過本例的教學，可以幫助學生理解如何直接應用基本不等式解決問題，設置三個題目，逐漸強化基本不等式的應用條件，并由學生親自發(fā)現(xiàn)和總結公式變形，形成求解最值問題的數學模型，進一步發(fā)展模型思想，整體思想.由題目出發(fā)，總結易錯和注意事項,加深學生對于基本不等式理解，增加學生獲得感，滿足感。凝煉模型，總結升華例2已知x，y都是正數，求證：（1）如果積xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2P（2）如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最小值1師生活動：師生一起分析后，鼓勵學生用自然語言把兩個問題連在一起說，能用自己的話表達也是對結論的進一步理解。并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善。證明：（1）因為x，y都是正數，所以x+y2≥xy,當積xy等于定值P時，x+y2≥P,所以（2）當和x+y等于定值S時，xy≤x+y2=S2,所以xy≤追問：通過本題，你能說說用基本不等式能夠解決什么樣的問題嗎？師生活動：學生思考后回答。教師總結：滿足兩個正數的積為定值，當這兩個數取什么值時，求它們的和的最小值，或者兩個正數的和為定值，當這兩個數取什么值時，求它們的積的最大值的問題，能夠用基本不等式解決?！驹O計意圖】通過問題鏈的解決，引導學生認識基本不等式“和式”與“積式”的轉化功能，歸納和提煉出最值定理．“模式識別”能起到定向訓練的作用，即訓練學生在遇到新問題時，善于識別問題的特征，準確地將其歸結為某種數學模型，盡快地明確解題思路，選擇解題方法。歸納小結什么是基本不等式？如何推導得到基本不等式？基本不等式的代數特征是什么？如何從幾何圖形上解釋？基本不等式的使用條件是什么？如何利用基本不等式解決最值問題？需要注意什么？本節(jié)課有哪些數學思想方法？師：引導同學們相互總結本節(jié)課的收獲和注意事項。生：踴躍發(fā)言，從知識層面和思想方法兩個角度總結本節(jié)課內容?！驹O計意圖】引導學生回顧總結學習內容和方法，梳理課堂內容，形成知識框架和思想方法體系。特別要注意引導學生會研究一個特殊代數對象的一般過程。作業(yè)布置：課本習題2.2第1題，第2題【設計意圖】鞏固新知