2.2 直線的方程-2021-2022學年高二數(shù)學《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

高二數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)直線和圓的方程2.2直線的方程【考點梳理】考點一直線的點斜式方程和斜截式方程類別點斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距考點二：直線的兩點式方程和截距式方程名稱兩點式截距式條件兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過原點考點三直線的一般式方程關于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關于x，y的二元一次方程．(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認為是關于x，y的二元一次方程，此時方程中y的系數(shù)為0.考點四直線的五種形式的方程形式方程局限點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標軸平行及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0無考點五直線各種形式方程的互化【題型歸納】題型一：與直線點斜式方程有關的問題1．與直線y＝x的斜率相等，且過點(－4，3)的直線方程為（）A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)2．已知，，，則過點且與線段垂直的直線方程為（）．A． B．C． D．3．若直線：與互相平行，且過點，則直線的方程為（）A． B．C． D．題型二：與直線的斜截式方程有關的問題4．若直線：與：平行，則直線在軸上的截距為（）A．2或 B．或 C．2 D．5．兩直線與(其中a為不為零的常數(shù))的圖象可能是（）A． B． C． D．6．直線過點，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（）A． B．C． D．題型三：直線的兩點式方程7．下列說法的正確的是（）A．經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為B．經(jīng)過定點的直線的方程都可以表示為C．不經(jīng)過原點的直線的方程都可以表示為D．經(jīng)過任意兩個不同的點的直線的方程都可以表示8．經(jīng)過兩點、的直線的方程是（）A． B．C． D．9．光線從點射出，到軸上的點后，被軸反射到軸上的點，又被軸反射，這時反射線恰好過點，則所在直線的方程是（）A． B． C． D．題型四：直線的截距式方程10．一束光線從點處射到y(tǒng)軸上一點后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是A． B．C． D．11．已知直線過點，且在縱坐標軸上的截距為橫坐標軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或12．在平面直角坐標系內(nèi)，經(jīng)過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于兩點，則面積最小值為()A．4 B．8 C．12 D．16題型五：直線的一般方程定點問題13．不論為何值，直線恒過定點A． B． C． D．14．已知直線恒過定點，點也在直線上，其中，均為正數(shù)，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．615．若直線與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2過定點（）A． B． C． D．題型六：由一般方程判斷直線的平行問題16．已知直線的方程為，直線的方程為，若，則A．或 B． C． D．17．若直線和直線平行，則的值為（）A． B． C．或 D．18．“”是“直線與直線平行”的A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件題型七：由一般方程判斷直線的垂直問題19．已知直線:，直線:，若，則（）A． B． C． D．20．“”是“直線與直線互相垂直”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件21．已知直線：和直線：，下列說明正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【雙基達標】一、單選題22．直線和直線的位置關系是（）A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不確定23．已知直線l經(jīng)過點，且與直線的傾斜角互補，則直線l的方程為（）A． B． C． D．24．經(jīng)過兩點，的直線的方程為（）A． B． C． D．25．直線過定點（）A． B． C． D．26．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則的方程為（）A． B． C． D．27．已知點，.若直線與線段相交，則的取值范圍是（）A． B． C． D．28．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A． B．C． D．29．是直線與直線互相垂直的（）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件30．一條光線沿直線入射到軸后反射，則反射光線所在的直線方程為（）.A． B．C． D．31．已知，直線上存在點，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題32．在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A． B．C． D．33．已知直線經(jīng)過點.則的最小值為（）A． B． C． D．34．直線經(jīng)過直線和直線的交點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A． B．C． D．35．已知直線與直線分別過定點，B，且交于點，則的最大值是（）A． B．5 C．8 D．1036．直線不過第二象限，則的取值范圍為（）A． B． C． D．37．若直線與垂直，則的方程的截距式為（）A． B．C． D．38．已知三個頂點分別為則邊上的高所在的直線方程為（）A． B．C． D．39．設直線l的方程為．若不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題40．下列說法正確的是（）A．截距相等的直線都可以用方程表示B．方程能表示平行y軸的直線C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過兩點的直線方程為41．若直線在軸上的截距為，則實數(shù)可能為（）A． B．C． D．42．直線y＝ax＋可能是（）A． B． C． D．43．已知直線，則下列說法正確的是（）A．直線過定點B．直線一定不與坐標軸垂直C．直線與直線一定平行D．直線與直線一定垂直44．下列說法正確的是（）A．直線必過定點（2，1）B．直線在軸上的截距為－2C．直線的傾斜角為120°D．若直線沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為三、填空題45．已知直線l：過定點P，則點P的坐標為________．46．的三頂點分別是，，，則邊上的高所在的直線的一般式方程是_______．47．如圖，射線，分別與軸正半軸成和角，過點作直線分別交，于，兩點，當?shù)闹悬c恰好落在直線上時，則直線的方程是______．48．下列命題：①當直線經(jīng)過兩點，，時，直線的斜率為②直線與軸交于一點，則直線在軸上的截距為③在軸和軸上截距相等的直線方程為④方程表示過點和的直線．其中說法中正確的命題番號是______．四、解答題49．求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點P(3，2)，且在兩坐標軸上的截距相等；（2）直線經(jīng)過點A(－，3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半；（3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，求直線MN的方程．50．求經(jīng)過直線ll∶2x-y+4=0與直線l2∶x-y+5=0的交點M，且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線x-2y-1=0平行；（2）與直線x+3y+1=0垂直.51．已知直線：（1）求證：不論為任何實數(shù)，直線恒過一定點，并求出定點坐標；（2）過點作一條直線，使夾在兩坐標軸之間的線段被點平分，求直線的方程.52．已知直線（1）求證：直線l經(jīng)過定點．（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．（3）若直線l不經(jīng)過第四象限，求實數(shù)k的取值范圍．【答案詳解】1．C2．D【詳解】解：因為，所以與垂直的直線的斜率為，所以過點且與線段垂直的直線方程為，即，故選：D3．C【詳解】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過點，所以的方程為：.故選：C.4．D【詳解】因為，所以且，解得，所以，即.所以直線在軸上的截距為.故選：D5．B【詳解】直線方程可化為，可得直線的斜率為，直線方程可化為，可得直線的斜率為，由此可知兩直線的斜率為同號，結合選項可得，只有選項B適合.故選：B.6．A【詳解】設所求直線方程為：，由題意得，且解得故，即.故選：A.7．D【詳解】A中的方程表示有斜率的直線，但過定點不一定有斜率，錯誤；B中的方程表示有斜率的直線，但過定點不一定有斜率，錯誤；C中的方程表示橫、縱截距不為0的直線，不過原點但可能垂直坐標抽，所以錯誤；D、經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示，說法正確．故選：D8．D【詳解】經(jīng)過兩點、的直線的方程為，即.故選：D.9．A【詳解】解：根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點關于軸的對稱點，點關于軸的對稱點，則所在直線的方程即為直線方程，由兩點是方程得直線方程為：，整理得：故選：A.10．B【詳解】由題得點關于y軸的對稱點在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.11．D【詳解】根據(jù)題意，直線分2種情況討論：①當直線過原點時，又由直線經(jīng)過點，所求直線方程為，整理為，②當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點的坐標得，解得，此時直線的方程為，整理為．故直線的方程為或.故選D．12．C【詳解】解:由題意設直線方程為,.由基本不等式知,

即(當且僅當,即時等號成立).又答案為C13．B【詳解】恒過定點，恒過定點，由解得即直線恒過定點.14．B【詳解】已知直線整理得：，直線恒過定點，即.點也在直線上，所以，整理得：，由于，均為正數(shù)，則,取等號時，即，故選：B.15．B【詳解】直線恒過定點(4,0)，其關于點(2,1)對稱的點為(0,2)，又由于直線與直線l2關于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2).16．C【詳解】因為，故，整理得到，解得或．當時，，，兩直線重合，舎；當時，，，兩直線平行，符合；故，選C．17．A【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：A.18．C【詳解】當時，直線，直線．此時，兩條直線平行．當，當時兩條直線重合，舍棄．因此．所以為充要條件．故選擇C19．B【詳解】因為l1⊥l2，所以，所以tanα=2，所以.故選：B．20．C【詳解】若直線與直線互相垂直，則，解得.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.21．C【詳解】若，則選項B、D都不成立；若，，則直線是一條直線，故選項A不正確；只有C正確．22．A解：當時，當時，，，則，則．綜上，知，故選：A．23．A【詳解】因為與直線的傾斜角互補，而直線的斜率為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為，即．故選：A24．D【詳解】，直線的方程為，故選：D25．C【詳解】直線方程可化為，由，解得，因此，直線過定點.故選：C.26．C【詳解】直線與直線垂直，且直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，化簡得.故選：C．27．D【詳解】直線恒過點，如圖，直線l從經(jīng)過點A時的直線CA繞點C逆時針旋轉到經(jīng)過點B時的直線CB時，直線l與線段AB都相交，并且斜率逐漸增大，即直線l斜率最小值為直線CA斜率，直線l斜率最大值為直線CB斜率，所以的取值范圍是.故選：D28．C【詳解】直線與直線垂直，設直線的方程為，直線經(jīng)過點，，即.直線的方程為.故選：C29．A【詳解】因為直線與直線互相垂直，所以，解得或，所以是直線與直線互相垂直的充分不必要條件.故選：A.30．B【詳解】令得，所以直線與軸的交點為，又直線的斜率為，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即.故選：B.31．D【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，則，所以，即，因為，所以，故選：D32．AA：時，，即；時，，即，故正確；B：時，，即；時，，即，故錯誤；C：時，，即；時，，即，故錯誤；D：時，，即；時，，即，故錯誤；故選：A.33．C【詳解】由題意知：，即，∴，而，∴，則當且僅當時等號成立，∴的最小值為8.34．A【詳解】聯(lián)立，解得，直線與直線垂直，則直線直線的斜率為，所以直線的方程為，整理可得.故選：A.35．D【詳解】因為，故，因為，故，因為，故，故，因為，故，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故選：D.36．C【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.37．C因為與垂直，所以，解得，則的方程為，即.故選：C.38．A由已知可得，則邊上的高所在的直線斜率，則可得直線的方程為，即.故選：A.39．B【詳解】解：將直線方程化為斜截式方程得，因為不經(jīng)過第一象限，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：B40．BD解：對于A，截距相等為0的直線都不可以用方程表示，故錯誤；對于B，當時，方程表示平行y軸的直線，故正確；對于C，經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程不能寫成，故錯誤；對于D，，直線的斜率存在，可寫成，故正確；故選：BD．41．BC【詳解】由題意可知，當，即且時，令，得在軸上的截距為，即，所以或，故選：BC.42．AB【詳解】因為a≠0，所以C錯；當a＞0時，＞0，不過第四象限，故A對；當a＜0時，＜0，不過第一象限，故D錯，B對．故選：AB43．AD【詳解】對于A:整理為：，恒過定點(-1,0)，故A正確；當時，直線與軸垂直，故B錯誤；當時，兩直線重合，故C錯誤；因為，故直線與直線一定垂直，故D正確，故選：AD.44．ACD【詳解】，所以點在直線上，A正確；對，令，得，直線在軸上截距為2，B錯誤；直線的斜率為，傾斜角為，C正確；設直線方程為，沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后得，即它就是，所以，所以，D正確．故選：ACD．45．化為，因直線l恒過定點，即無論m取何值等式都成立，即與同時成立，由，解得，所以點P的坐標為．故答案為：46．【詳解】設BC邊上的高為AD，則，，，，解得．邊上的高所在的直線方程為，即．故答案為：．47．由題意可得，，所以直線的方程：，直線的方程：，設，，所以的中點，由點在直線上，且三點共線得：解得：，所以又，所以，所以直線的方程是：，即，故答案為：.48．①④對于①，因為直線經(jīng)過兩點，，時，所以直線的斜率為，故①正確；對于②，截距不是距離，是點的縱坐標，其值可正可負．故②不正確；