2.2 基本不等式-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

2.2基本不等式【考點梳理】考點一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當且僅當a＝b時，等號成立．考點二：用基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值應(yīng)注意x，y是正數(shù)；(①如果xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.【題型歸納】題型一：基本不等式的內(nèi)容及其注意1．下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．已知，，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．3．現(xiàn)有以下結(jié)論：①函數(shù)的最小值是；②若、且，則；③的最小值是；④函數(shù)的最小值為.其中，正確的有（

）個A． B． C． D．題型二：由基本不等式比較不等式的大小4．若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P6．設(shè)，其中、是正實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．題型三：基本不等式求積的最大值7．若a，b都為正實數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．設(shè)正實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．下列說法正確的是（

）A．若，則函數(shù)的最小值為3B．若，，，則的最小值為5C．若，，，則xy的最小值為1D．若，，，則的最小值為題型四：基本不等式求和的最小值10．設(shè)，，且，則的最大值為（

）．A． B． C． D．11．已知，則的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．612．已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）①

②的最小值為16

③的最小值為8

④的最小值為2A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④題型五：二次商式的最值問題13．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．14．已知正實數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．15．函數(shù)（）的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：基本不等式“1”的妙用16．若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．若一組數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)、方差分別為，，且，則的最小值為（

）A．10 B． C． D．2018．已知點E是的中線上的一點（不包括端點）．若，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9題型七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題19．已知實數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．21．設(shè)，，，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型八：對勾函數(shù)最值問題22．下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（

）A．若，則的最大值為 B．函數(shù)的最小值為2C．已知，則的最小值為D．若正數(shù)滿足，則的最小值是323．下列函數(shù)中，最小值是的是（

）A． B．C． D．24．若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型九：基本不等式的實際問題的應(yīng)用25．已知，都是正數(shù)，則下列命題為真命題的是（

）A．如果積等于定值，那么當時，和有最大值B．如果和等于定值，那么當時，積有最小值C．如果積等于定值，那么當時，和有最小值D．如果和等于定值，那么當時，積有最大值26．兩直立矮墻成二面角，現(xiàn)利用這兩面矮墻和籬笆圍成一個面積為的直角梯形菜園墻足夠長，則所用籬笆總長度的最小值為（

）A．16m B．18mC． D．27．數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個三角形的三邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個三角形的周長為12，，則此三角形面積的最大值為（

）A．4 B． C． D．題型十：基本不等式的綜合應(yīng)用28．（1）已知，求的最大值．（2）已知且，求的最小值．29．為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.(1)當時，求海報紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？30．證明下列不等式，并討論等號成立的條件：(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則；(4)若，則；(5)對任意實數(shù)和，．【雙基達標】一、單選題31．若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．8132．已知，則下列說法正確的是（

）A．有最大值0 B．有最小值為0C．有最大值為－4 D．有最小值為－433．已知x，y＞0，當x+y＝2時，求的最小值（

）A． B． C． D．34．已知，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件35．已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．436．已知正數(shù)x、y滿足x+=4，則xy的最大值為_______.37．已知，且，則的最小值為____________.38．（1）已知，求的最小值，并求取到最小值時的值；（2）設(shè)且，求證：【高分突破】一：單選題39．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．440．若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．41．已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．a(chǎn)b的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為42．已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．2743．已知，，，下列不等式正確的個數(shù)有（

）①，②，③，④.A．1 B．2 C．3 D．444．下列說法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時，，當且僅當即時，取得最小值845．設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．46．十六世紀中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引人對不等式的發(fā)展影響深遠．若不相等的兩個正實數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①②③④A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題47．設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．48．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．函數(shù)的最小值為2C．若，則的最大值為2D．若，，且，則的最小值為449．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算中項，幾何中項以及調(diào)和中項畢達哥拉斯哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中，算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同，而今我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)，的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式（，）叫做基本不等式，下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則的最小值為C．若，，，則的最小值為D．若，，，則的最小值為250．下列命題中正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，51．設(shè)a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么不成立的是（

）A．a(chǎn)＋b有最小值2(＋1) B．a(chǎn)＋b有最大值(＋1)2C．a(chǎn)b有最大值＋1 D．a(chǎn)b有最小值2(＋1)52．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．若，則D．若實數(shù)a，b滿足，則的最小值為2三、填空題53．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為5，則的最小值為___________.54．已知，，且，則的最小值為________.55．若一個三角形的三邊長分別為，記，則此三角形面積，這是著名的海倫公式.已知的周長為，則的面積的最大值為___________.56．已知，則的最小值為__________．四、解答題57．2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=4?.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件(產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2022年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？58．如圖所示，園林設(shè)計師計劃在一面墻的同側(cè)，用彩帶圍成四個相同的矩形區(qū)域，即如圖小矩形，且其面積為．（注：靠墻的部分不用彩帶）(1)要使圍成四個矩形的彩帶總長不超過m，求的取值范圍；(2)當圍成四個矩形的彩帶總長最小時，求和的值，并求彩帶總長的最小值．59．已知集合，集合，設(shè)集合．(1)求；(2)當時，求函數(shù)的最小值．60．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求的最小值；(2)求證：．61．已知均為正實數(shù)，且滿足證明：(1)；(2)．62．（1）已知，且，求的最小值；（2）已知是正數(shù)，且滿足，求的最小值.63．（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案詳解】1．A【詳解】對：基本不等式適用于兩個正數(shù)，當，均為負值，此時，當且僅當，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；對：，當且僅當，即時取等號，但，則等號取不到，故的用法有誤；對：，，，當且僅當，即時取等號，故的用法有誤；故使用正確的個數(shù)是0個，故選：.2．D【解析】【分析】利用基本不等式可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，由基本不等式可得，A錯；對于B選項，因為，所以，所以，，故，B錯；對于C選項，因為，，由基本不等式可得，所以，，C錯；對于D選項，因為，，由不等式的性質(zhì)可得，則，所以，，D對.故選：D.3．B【解析】取，可判斷①的正誤；利用基本不等式可判斷②③④的正誤.【詳解】對于①，當時，，①錯誤；對于②，若，且，說明，，則，當且僅當時取等號，顯然成立，②正確；對于③，，當且僅時取等號，即，顯然這樣的不存在，所以結(jié)論不正確，③錯誤；對于④，因為，所以，函數(shù)的最大值為，所以結(jié)論不正確，④錯誤.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.4．D【解析】【分析】根據(jù)不等式串可判斷選項A錯誤，B錯誤，D正確.利用基本不等式可得C錯誤.【詳解】對于選項A：∵，當且僅當時取等號，∴A錯誤；對于選項B：，，∴B錯誤；對于選項C：，因為∴C錯誤；對于選項D：∵，當且僅當時取等號，∴，D正確；故選：D5．B【解析】【分析】結(jié)合基本不等式、差比較法確定正確選項.【詳解】依題意，根據(jù)基本不等式可知，，，所以.所以，即.故選：B6．B【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出與的大小關(guān)系.【詳解】因為、是正實數(shù)，且，則，，因此，.故選：B.7．D【解析】【分析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，都為正實數(shù)，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D8．C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可求得最值.【詳解】由基本不等式可得，即，解得，當且僅當，即，時，取等號，故選：C.9．D【解析】【分析】選項A：將函數(shù)變形再利用基本不等式進行判斷最值即可，選項B：由基本不等式進行判斷即可，選項C：結(jié)合換元法與基本不等式求最值進行判斷即可，選項D：對式子進行變形得到，再利用基本不等式進行判斷即可．【詳解】解：選項A：，當且僅當時可以取等號，但題設(shè)條件中，故函數(shù)最小值取不到3，故A錯誤；選項B：若，，，則，當且僅當時不等式可取等號，故B錯誤；選項C：當且僅當時取等號，令，，解得，即，故xy的最大值為1，故C錯誤；選項D：，，，當且僅當時取等號，又因為，故時等號成立，即最小值可取到，

故D正確．故選：D．10．B【解析】【分析】先化簡，由，結(jié)合基本不等式，求得，進而求得的最大值.【詳解】∵，，，當且僅當，時取等號，∴．故選：B．11．A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解．【詳解】∵，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值是5．故選：A．12．C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)和基本不等式、導(dǎo)數(shù)求最值判斷各命題．【詳解】，，則，所以；，，當且僅當，即時等號成立，所以最小值是16；，當且僅當，即時等號成立，的最小值是9；，則＝，設(shè)，則，所以時，，遞減，時，，遞增，所以，所以的最小值是2，正確命題的序號是①②④．故選：C．13．C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以函數(shù)的值域為．故選：C．14．D【解析】【分析】利用基本不等式可求，當且僅當時等號成立，化簡已知即可求解.【詳解】解：因為，又因為，所以，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.15．B【解析】【分析】將函數(shù)化簡變形為，然后利用基本不等式求解即可【詳解】解：因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B16．B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以，的最小值為.故選：B17．D【解析】【分析】求出，再利用基本不等式求解.【詳解】解：由題意得所以.所以，(當且僅當時取等號)故選：D.18．C【解析】【分析】先根據(jù)向量共線可知，表達出和的關(guān)系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.【詳解】解：由題意得：點E是的中線上的一點（不包括端點）,則由共線向量定理可知：設(shè)當且僅當，即時取等號，故的最小值為.故選：C19．B【解析】【分析】由，得出，進一步得到的最小值，再根據(jù)不等式恒成立，得出求出c的取值范圍．【詳解】解：，，當且僅當時“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．20．B【解析】【分析】分離參數(shù)，求不含參數(shù)這一邊的最小值即可求解．【詳解】，，若不等式恒成立，恒成立，當且僅當時取等號．，即的最大值為．故選：B．21．B【解析】【分析】化簡得，再利用基本不等式可得的最小值，由題意可得，即可得到所求范圍．【詳解】解：，，，則，當且僅當，，，上式取得等號，由不等式恒成立，可得，故選：B22．A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求出最值即可判斷.【詳解】對A，若，則，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，故A正確；對B，因為，所以，所以，當且僅當，即等號成立，故函數(shù)最小值為3，故B錯誤；對C，因為，所以，當且僅當，即等號成立，故的最小值為2，故C錯誤；對D，由可得，因為，可得，則，當且僅當，即等號成立，所以的最小值是4，故D錯誤.故選：A.23．B【解析】【分析】應(yīng)用特殊值及基本不等式判斷各選項的最小值是否為即可.【詳解】A：當取負數(shù)，顯然函數(shù)值小于，不符合；B：由基本不等式得：(當且僅當時取等號)，符合；C：當時，，不符合；D：同A，當取負數(shù)，顯然函數(shù)值小于，不符合；故選：B.24．C【解析】【分析】運用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的最值進行求解即可.【詳解】令，所以，設(shè)，，函數(shù)在時，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，所以函數(shù)在時，最大值為，要想不等式在區(qū)間上有解，只需，故選：C25．D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式計算求出和的最小值與積的最大值，進而依次判斷選項即可.【詳解】由題意知，，A：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故A錯誤；B：，則，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故B錯誤；C：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故C錯誤；D：，則，有，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故D正確；故選：D26．B【解析】【分析】設(shè)未知數(shù)后根據(jù)題意表示，由基本不等式求解【詳解】設(shè)，設(shè)籬笆長度為y，則，，梯形的面積為，整理得，當，即時等號成立，所以籬笆總長度最小為18m．故選：B27．C【解析】【分析】由題意得，，代入化簡后利用基本不等式可求得答案【詳解】由題意得，，則，當且僅當時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為．故選：C28．（1）1；（2）2．【解析】【分析】（1）由基本不等式求出的最小值后可得所求最大值．（2）湊出積為定值后由基本不等式求得最小值．【詳解】（1），則，，當且僅當，即時等號成立．所以的最大值為1．（2）因為且，所以，當且僅當，即時等號成立．所以所求最小值為2．29．(1)(2)當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出梯形長的底邊，再分別求出，，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．(1)宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，則梯形長的底邊，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，，，故海報面積為．(2)直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，海報寬，海報長，故，當且僅當，即，故當海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．30．(1)證明見解析，當且僅當時等號成立；(2)證明見解析，當且僅當時，等號成立．(3)證明見解析，當且僅當時，等號成立．(4)證明見解析，當且僅當時，等號成立．(5)證明見解析，當且僅當時等號成立．【解析】【分析】（1）直接利用作差法對關(guān)系式進行變換，進一步求出結(jié)果．（2）利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．（3）利用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的運用及整體思想的應(yīng)用求出結(jié)果．（4）利用分類討論思想的應(yīng)用和均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．（5）利用關(guān)系式的變換和均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．(1)證明：由于，當時，，所以，即，所以，當且僅當時，等號成立．(2)證明：因為，所以，當且僅當時，等號成立．(3)證明：因為，所以，，所以，當且僅當，即時，等號成立．(4)證明：因為，當時，，當且僅當時，等號成立．當時，，當且僅當時，等號成立．綜上可得，則，當且僅當時，等號成立．(5)證明：對任意實數(shù)和，所以．當且僅當時等號成立．31．D【解析】【分析】由基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法得出最小值.【詳解】由題意得，得，解得，即，當且僅當時，等號成立．故選：D32．B【解析】【分析】由均值不等式可得，分析即得解【詳解】由題意，，由均值不等式，當且僅當，即時等號成立故，有最小值0故選：B33．C【解析】【分析】由，再展開化簡，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】由題，，當且僅當，即，即時取等號故選：C34．A【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由題意得，所以（當且僅當，即，時，等號成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A35．A【解析】【分析】利用基本不等式可求解.【詳解】由題意可得．因為，，所以，則，當且僅當，時，等號成立．故選：A36．8【解析】【分析】根據(jù)，利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，當且僅當，即時，取等號，所以xy的最大值為8.故答案為：8.37．##2.5【解析】【分析】將變形為，利用基本不等式求得答案.【詳解】由題意得：，當且僅當時取得等號，故答案為：38．（1）當時，有最小值7；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）通過配湊，使得原式滿足積為定值，然后由基本不等式可得；（2）巧用“1”，將不等式左邊乘以，展開后使用基本不等式可證.【詳解】解：（1）因為，所以，由基本不等式，得，當且僅當，即時，等號成立．所以當時，有最小值7．（2）因為，由基本不等式，得，當且僅當，即時，等號成立．又由解得，所以當時，等號成立，所以成立．39．B【解析】【分析】經(jīng)轉(zhuǎn)化可得，，條件均滿足，即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當且僅當，時取等號，所以的最小值為.故選：B.40．B【解析】【分析】將函數(shù)等價為，再利用基本不等式即可求出答案.【詳解】因為.所以.當且僅當“”即時取“=”.故選：B.41．C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集與方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達定理，求得，，可判定A正確；結(jié)合基本不等式和“1”的代換，可判斷B正確，C錯誤，D正確.【詳解】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因為，，所以，可得，當且僅當時取等號，所以的最大值為，所以B正確；由，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為，所以C錯誤；由，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以D正確．故選：C．42．B【解析】【分析】由題意可得，化簡后利用基本不等式可求得答案【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，，等號成立．所以的最小值為25，故選：B43．D【解析】【分析】由于，得，根據(jù)基本不等式對選項一一判斷即可．【詳解】因為，，，所以，得，當且僅當時取等號，②對；由，當且僅當時取等號，①對；由得，所以，當且僅當時取等號，③對；由，當且僅當時取等號，④對故選：D44．C【解析】【分析】利用基本不等式及其對勾函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】對于選項,只有當時，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對于選項,，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對于選項,，則正確；對于選項,當時，，當且僅當時，即，等號成立，則不正確.故選：.45．B【解析】【分析】將拼湊為，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，即，∴，當且僅當，且時，即，時等號成立.故選：.46．D【解析】【分析】妙用1可得①；直接使用基本不等式可得②；利用基本不等式先證，然后可得③；不等式兩邊同加，然后可得④.【詳解】，因為，所以，①正確；，得，因為，所以，②正確；因為，所以，即，所以，③正確；因為，所以，所以，即，④正確.故選：D47．ABD【解析】【分析】利用基本不等式，分別判斷ACD，再利用做差比較法，判斷B.【詳解】因為，所以，當且僅當且時取等號，故A一定成立由做差比較法,，可知成立故B一定成立．因為所以，當且僅當時取等號，所以不一定成立，故C不成立．因為4，當且僅當時取等號，故D一定成立.故選：ABD48．AC【解析】【分析】對于A，利用基本不等式判斷，對于B，舉例判斷，對于C，利用換元法求解，對于D，利用基本不等式判斷【詳解】對于A，因為，，所以，所以，當且僅當時取等號，所以A正確，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，由，得，令，則，因為，所以，所以的最大值為2，所以C正確，對于D，因為，，且，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當且僅當時取等號，所以的最小值為，所以D錯誤，故選：AC49．AD【解析】【分析】A.根據(jù)，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；B.令，得到，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；C.由，得到，利用基本不等式求解判斷.D.令，得到，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷.【詳解】A.因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，故正確；B.因為，，，令，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；C.因為，，，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，故錯誤；D.令，則，，則，而，當且僅當，即時，等號成立，故正確；故選：AD50．ABCD【解析】【分析】直接使用基本不等式可判斷ACD；根據(jù)，使用基本不等式可判斷B.【詳解】A中，因為，由基本不等式可知成立；B中，因為，所以，所以，所以成立；C中，因為，由基本不等式可知成立；D中，因為，由基本不等式可得成立.故選：ABCD51．BCD【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式得不等式，解不等式得結(jié)果.【詳解】對于A，B，,當且僅當時取等號，即有最小值，（無最大值）當且僅當時取得，故選項A正確，B不正確；對于C，D，，，，當時取等號，解得，ab有最小值，故D不正確；由于ab有最小值為，故最大值不可能是，故C不正確.故選：BCD52．CD【解析】【分析】取可判斷A；構(gòu)造借助均值不等式可判斷B；構(gòu)造借助均值不等式可判斷C；令，則，借助均值不等式可判斷D【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，∵，∴，，∴（當且僅當，即時取等號），即的最小值為4，B錯誤；對于C，∵，∴，，又，（當且僅當，即時取等號），C正確；對于D，令，則，∴（當且僅當時取等號），即的最小值是2．D正確．故選：CD53．##0.5【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最小值可得，改寫為，然后目標式乘以展開后，利用基本不等式可得.【詳解】因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處有最小值，從而有，所以，又，所以當且僅當，即時，取等號.即的最小值為.故答案為：54．12【解析】【分析】，展開后利用基本不等式可求．【詳解】∵，，且，∴，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為12．故答案為：12．55．##【解析】【分析】由條件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.【詳解】由題意，由