3.4.1 判定空間直線、平面的位置關(guān)系 講義-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版(2020)選擇性必修第一冊(cè)

學(xué)生版第3章空間向量及其應(yīng)用3.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.4.1判定空間直線、平面的位置關(guān)系本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、理解直線的方向向量和平面的法向量；（重點(diǎn)）2、能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系，能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；（重點(diǎn)）3、能用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理：線面位置關(guān)系的判斷與證明；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：求直線的方向向量和平面的法向量；3、直觀想象：方向向量、法向量的應(yīng)用；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P107－P109的內(nèi)容，思考以下問題：1、直線的方向向量和平面的法向量；2、線線、線面、面面平行與垂直的充要條件；【知識(shí)梳理】空間向量常?？蔀榻鉀Q立體幾何中的有關(guān)問題提供簡捷方便的方法；本節(jié)繼續(xù)介紹空間向量在立體幾何中的一些應(yīng)用；1、直線的方向向量直線的方向向量：與直線平行的任何非零向量；2、平面的法向量：平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量；用向量方法解決有關(guān)直線和平面的問題，一般先把相應(yīng)的問題化為關(guān)于上述這些向量的問題然后加以解決．建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系常常是有效的輔助手段；特別是在需要數(shù)值求解的問題上；3、兩條直線平行、垂直的充要條件兩條直線平行的充要條件是它們的方向向量平行；兩條直線垂直的充要條件是它們的方向向量垂直；4、直線和平面垂直的充要條件直線和平面垂直的充要條件是直線的方向向量為平面的法向量；5、不在平面上的一條直線和平面平行的充要條件不在平面上的一條直線和平面平行的充要條件是直線的方向向量垂直于平面的法向量；6、兩個(gè)平面垂直的充要條件兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量垂直；7、兩個(gè)平面平行的充要條件兩個(gè)平面平行的充要條件是它們的法向量平行；【思考】1、直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一？【解析】2、若一個(gè)平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個(gè)平面的法向量共線，則這兩個(gè)平面是否垂直？【解析】3、直線的方向向量在確定直線時(shí)起到什么作用？【解析】；4、兩條平行直線的方向向量有什么關(guān)系？【解析】【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①直線l的方向向量是唯一的；（）②若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反；（）③一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們是共線向量；（）④若向量，為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行；（）⑤若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行；（）【提示】；【答案】；【解析】【說明】本題主要考查了直線的方向向量與平面的法向量的定義、表示及其應(yīng)用；注意與空間位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理綜合應(yīng)用；2、若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為（）A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)3、已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，5，3)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量可表示為________．4、直線l的方向向量＝(－1，1，1)，平面α的法向量為＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則x的值為【題型探究】題型一、對(duì)直線的方向向量的理解及其應(yīng)用例1、（1）已知直線l1的一個(gè)方向向量為(－7，3，,4)，直線l2的一個(gè)方向向量為(x，y，8)，且l1∥l2，則x＝________，y＝________.（2）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0，1)，B(2，6，3)，P是直線AB上一點(diǎn)，且滿足AP∶PB＝3∶2，則直線AB的一個(gè)方向向量為________，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【說明】本題考查了理解直線的方向向量、表示及求法；1、應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè)，哪個(gè)易求求哪個(gè)；2、利用直線上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線的方向向量可以確定直線的位置，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線上任一點(diǎn)的位置；題型二、對(duì)平面的法向量的理解及其應(yīng)用例2、如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SBA與平面SCD的法向量．.【說明】本題考查了理解平面法向量、表示及求法；1、利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟2．求平面法向量的三個(gè)注意點(diǎn)（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí)，要選取不共線的兩個(gè)向量．（2）取特值：在求的坐標(biāo)時(shí)，可令x，y，z中一個(gè)取特殊值，得另兩個(gè)值，就是平面的一個(gè)法向量．（3）注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)，一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0；題型三、利用空間向量證明線線平行例3、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)；求證：四邊形AEC1F是平行四邊形；【說明】本題考查了用好空間向量及其坐標(biāo)表示，判斷、證明空間線線平行與垂直；1、兩直線的方向向量共線(垂直)時(shí)，兩直線平行(垂直)；否則兩直線相交或異面；2、直線的方向向量與平面的法向量共線時(shí)，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí)，直線在平面內(nèi)或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直；3、兩個(gè)平面的法向量共線(垂直)時(shí)，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直；題型四、利用空間向量證明線面、面面平行例4、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)；求證：MN∥平面A1BD.【說明】本題考查了利用平面法向量證明平行；1、向量法證明線面平行的三個(gè)思路（1）設(shè)直線l的方向向量是，平面α的法向量是，則要證明l∥α，只需證明a⊥，即；（2）根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可；（3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量，那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可；2、證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為，平面β的法向量為，則α∥β?；注意：在用向量法處理問題時(shí)，若幾何體的棱長未確定，應(yīng)如何處理？【提示】可設(shè)幾何體的棱長為1或a，再求點(diǎn)的坐標(biāo)；題型五、利用空間向量證明三垂線定理三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直例5、已知、分別是平面的垂線、斜線，是在平面上的射影，；則；【提示】；【證明】【說明】用空間向量證明三垂線定理：視角新，證法多，書寫簡捷；同學(xué)們不妨據(jù)此嘗試“一題多解”；題型六、向量法證明垂直問題例6、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE.【說明】1、證明線線垂直常用的方法：證明這兩條直線的方向向量互相垂直；2、證明線面垂直常用的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；（2）證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直；3、證明面面垂直常用的方法（1）轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；（2）證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；【素養(yǎng)提升】1、用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置（1）在直線l上給定一個(gè)定點(diǎn)A和它的一個(gè)方向向量，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，則有eq\o(AP,\s\up15(→))＝t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))(eq\o(AB,\s\up15(→))＝)，上面三個(gè)向量等式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程；向量稱為該直線的方向向量；；(2)線段AB的中點(diǎn)M的向量表達(dá)式eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．2、平面的法向量及其應(yīng)用平面的法向量：如果向量的基線與平面α垂直，則向量叫做平面α的法向量或說向量與平面α垂直；3、用向量方法證明平行與垂直設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為，，兩個(gè)平面α1，α2的法向量分別為，，則有下表：平行垂直l1與l2∥⊥l1與α1⊥∥α1與α2∥⊥【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、已知直線l過A(3，2，1)，B(2，2，2)，且＝(2，0，x)是直線l的一個(gè)方向向量，則x＝()A．2B．－2C．3D．－32、若直線l的方向向量＝(1，0，2)，平面α的法向量為＝(－2，0，－4)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l?α D．l與α斜交3、已知不重合的平面α，β的法向量分別為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，則平面α與β的位置關(guān)系是________．4、設(shè)直線l1的方向向量為＝(3，1，－2)，l2的方向向量為＝(－1，3，0)，則直線l1與l2的位置關(guān)系是________．5、若直線l的方向向量為＝(－1,2,3)，平面α的法向量為＝(2，－4，－6)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是________．B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量＝(2，3，1)，＝(5，6，4)，則該平面的一個(gè)法向量為()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)7、若直線l1的方向向量＝(1，3x，－2)，直線l2的方向向量＝(－2，2y，5)，且l1⊥l2，則xy＝________.8、已知A(1，0，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，則平面ABC的法向量為9、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一個(gè)法向量．10、在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.【教師版】第3章空間向量及其應(yīng)用3.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.4.1判定空間直線、平面的位置關(guān)系本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問題簡便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問題來處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問題為代數(shù)問題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、理解直線的方向向量和平面的法向量；（重點(diǎn)）2、能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系，能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；（重點(diǎn)）3、能用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1、邏輯推理：線面位置關(guān)系的判斷與證明；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：求直線的方向向量和平面的法向量；3、直觀想象：方向向量、法向量的應(yīng)用；【自主學(xué)習(xí)】問題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P107－P109的內(nèi)容，思考以下問題：1、直線的方向向量和平面的法向量；2、線線、線面、面面平行與垂直的充要條件；【知識(shí)梳理】空間向量常常可為解決立體幾何中的有關(guān)問題提供簡捷方便的方法；本節(jié)繼續(xù)介紹空間向量在立體幾何中的一些應(yīng)用；1、直線的方向向量直線的方向向量：與直線平行的任何非零向量；2、平面的法向量：平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量；用向量方法解決有關(guān)直線和平面的問題，一般先把相應(yīng)的問題化為關(guān)于上述這些向量的問題然后加以解決．建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系常常是有效的輔助手段；特別是在需要數(shù)值求解的問題上；3、兩條直線平行、垂直的充要條件兩條直線平行的充要條件是它們的方向向量平行；兩條直線垂直的充要條件是它們的方向向量垂直；4、直線和平面垂直的充要條件直線和平面垂直的充要條件是直線的方向向量為平面的法向量；5、不在平面上的一條直線和平面平行的充要條件不在平面上的一條直線和平面平行的充要條件是直線的方向向量垂直于平面的法向量；6、兩個(gè)平面垂直的充要條件兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量垂直；7、兩個(gè)平面平行的充要條件兩個(gè)平面平行的充要條件是它們的法向量平行；【思考】1、直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一？【解析】不唯一，直線的方向向量(平面的法向量)有無數(shù)個(gè)，它們分別是共線向量．2、若一個(gè)平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個(gè)平面的法向量共線，則這兩個(gè)平面是否垂直？【解析】垂直3、直線的方向向量在確定直線時(shí)起到什么作用？【解析】（1）非零性：直線的方向向量是非零向量；（2）不唯一性：直線l的方向向量有無數(shù)多個(gè)，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量；（3）給定空間中的任一點(diǎn)A和非零向量，就可以確定唯一一條過點(diǎn)A且平行于向量的直線；4、兩條平行直線的方向向量有什么關(guān)系？【解析】設(shè)直線l，m的方向向量分別為，，則l∥m??＝λ【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①直線l的方向向量是唯一的；（）②若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反；（）③一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們是共線向量；（）④若向量，為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行；（）⑤若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行；（）【提示】理解直線的方向向量與平面的法向量及空間位置關(guān)系的相關(guān)定理；【答案】①×；②√；③√；④√；⑤√；【解析】對(duì)于①，與直線l平行或共線的任何向量都可作為l的方向向量，所以，①是假命題；對(duì)于②，由定義；②是真命題對(duì)于③，由定義；③是真命題對(duì)于④，由定義與線面垂直的性質(zhì)；④是真命題對(duì)于⑤，由定義與異面直線所成角的定義；⑤是真命題【說明】本題主要考查了直線的方向向量與平面的法向量的定義、表示及其應(yīng)用；注意與空間位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理綜合應(yīng)用；2、若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為（）A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)【答案】A；【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，4，6)＝2(1，2，3)；3、已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，2，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(4，5，3)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量可表示為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))【解析】設(shè)平面的法向量為＝(x，y，z)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))·a＝0，,\o(AC,\s\up8(→))·a＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0.))令z＝1，得y＝－1，x＝eq\f(1,2)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))故平面ABC的一個(gè)單位法向量為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).]4、直線l的方向向量＝(－1，1，1)，平面α的法向量為＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則x的值為【答案】±eq\r(2)【解析】線面平行時(shí)，直線的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±eq\r(2)；【題型探究】題型一、對(duì)直線的方向向量的理解及其應(yīng)用例1、（1）已知直線l1的一個(gè)方向向量為(－7，3，,4)，直線l2的一個(gè)方向向量為(x，y，8)，且l1∥l2，則x＝________，y＝________.（2）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0，1)，B(2，6，3)，P是直線AB上一點(diǎn)，且滿足AP∶PB＝3∶2，則直線AB的一個(gè)方向向量為________，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【提示】（1）利用兩直線的方向向量共線求解；（2）eq\o(AB,\s\up8(→))即是直線AB的一個(gè)方向向量，利用eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）－14，6；（2）(0，6，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(18,5)，\f(11,5)))；【解析】（1）由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共線，所以eq\f(x,－7)＝eq\f(y,3)＝eq\f(8,4)，解得x＝－14，y＝6.（2）eq\o(AB,\s\up8(→))＝(0，6，2)是直線AB的一個(gè)方向向量；由AP∶PB＝3∶2，得eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up8(→))；設(shè)P(x，y，z)，則(x－2，y，z－1)＝eq\f(3,5)(0，6，2)，即x－2＝0，y＝eq\f(18,5)，z－1＝2·eq\f(3,5)，解得x＝2，y＝eq\f(18,5)，z＝eq\f(11,5)，所以直線AB的一個(gè)方向向量是(0，6，2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(18,5)，\f(11,5)))；【說明】本題考查了理解直線的方向向量、表示及求法；1、應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個(gè)，哪個(gè)易求求哪個(gè)；2、利用直線上的一個(gè)已知點(diǎn)和直線的方向向量可以確定直線的位置，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算確定直線上任一點(diǎn)的位置；題型二、對(duì)平面的法向量的理解及其應(yīng)用例2、如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SBA與平面SCD的法向量．【提示】因?yàn)榕c平面垂直的向量為平面的法向量，所以先觀察圖中有無垂直于平面的直線，若有，利用直接法求出；若沒有，設(shè)出法向量，再利用待定系數(shù)法求解；【解析】∵AD，AB，AS是三條兩兩垂直的線段，∴以A為原點(diǎn)，以eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AS,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))是平面SBA的法向量，設(shè)平面SCD的法向量＝(1，λ，u)，有⊥eq\o(DC,\s\up8(→))，⊥eq\o(DS,\s\up8(→))，則·eq\o(DC,\s\up8(→))＝(1，λ，u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))＝eq\f(1,2)＋λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).·eq\o(DS,\s\up8(→))＝(1，λ，u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))＝－eq\f(1,2)＋u＝0，∴u＝eq\f(1,2)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2))).【說明】本題考查了理解平面法向量、表示及求法；1、利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟2．求平面法向量的三個(gè)注意點(diǎn)（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí)，要選取不共線的兩個(gè)向量．（2）取特值：在求的坐標(biāo)時(shí)，可令x，y，z中一個(gè)取特殊值，得另兩個(gè)值，就是平面的一個(gè)法向量．（3）注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)，一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0；題型三、利用空間向量證明線線平行例3、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)；求證：四邊形AEC1F是平行四邊形；【提示】注意結(jié)合題設(shè)考慮建系利用向量坐標(biāo)化證之；【證明】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(FC1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(EC1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，∵eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(FC1,\s\up8(→))，eq\o(EC1,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))∥eq\o(FC1,\s\up8(→))，eq\o(EC1,\s\up8(→))∥eq\o(AF,\s\up8(→))，又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形；【說明】本題考查了用好空間向量及其坐標(biāo)表示，判斷、證明空間線線平行與垂直；1、兩直線的方向向量共線(垂直)時(shí)，兩直線平行(垂直)；否則兩直線相交或異面；2、直線的方向向量與平面的法向量共線時(shí)，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時(shí)，直線在平面內(nèi)或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直；3、兩個(gè)平面的法向量共線(垂直)時(shí)，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直；題型四、利用空間向量證明線面、面面平行例4、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)；求證：MN∥平面A1BD.【提示】本題根據(jù)題設(shè)，結(jié)合空間向量及其表示；可以考慮：視角1、證明與平面的法向量垂直；視角2、在平面找一向量與平線；視角3、證明可以用平面中的兩個(gè)不共線的向量線性表示；【證明】方法1、如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，于是eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(1,1,0)，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).設(shè)平面A1BD的法向量為＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(DA1,\s\up8(→))，,n⊥\o(DB,\s\up8(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up8(→))＝x＋z＝0，,n·\o(DB,\s\up8(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個(gè)法向量為＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up8(→))·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥.∴MN∥平面A1BD.方法2、eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\o(D1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴MN∥平面A1BD.方法3、eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up8(→))＋\o(BA,\s\up8(→))))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1B,\s\up8(→))＋\o(BA,\s\up8(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B,\s\up8(→)).即eq\o(MN,\s\up8(→))可用eq\o(A1B,\s\up8(→))與eq\o(DB,\s\up8(→))線性表示，故eq\o(MN,\s\up8(→))與eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))是共面向量，故MN∥平面A1BD；【拓展1】本例中條件不變，試證明平面A1BD∥平面CB1D1；【證明】由例題解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，則eq\o(CD1,\s\up8(→))＝(0，－1,1)，eq\o(D1B1,\s\up8(→))＝(1,1,0)，設(shè)平面CB1D1的法向量為＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥\o(CD1,\s\up8(→)),m⊥\o(D1B1,\s\up8(→))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CD1,\s\up8(→))＝－y1＋z1＝0，,m·\o(D1B1,\s\up8(→))＝x1＋y1＝0，))令y1＝1，可得平面CB1D1的一個(gè)法向量為＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－1)．所以＝－，所以∥，故平面A1BD∥平面CB1D1.【說明】本題考查了利用平面法向量證明平行；1、向量法證明線面平行的三個(gè)思路（1）設(shè)直線l的方向向量是，平面α的法向量是，則要證明l∥α，只需證明a⊥，即；（2）根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可；（3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量，那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可；2、證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為，平面β的法向量為，則α∥β?；注意：在用向量法處理問題時(shí)，若幾何體的棱長未確定，應(yīng)如何處理？【提示】可設(shè)幾何體的棱長為1或a，再求點(diǎn)的坐標(biāo)；題型五、利用空間向量證明三垂線定理三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直例5、已知、分別是平面的垂線、斜線，是在平面上的射影，；則；【提示】注意通過引入直線的方向向量構(gòu)建與向量的聯(lián)系；【證明】由；如圖示，不妨取直線的方向向量為，因?yàn)?，即，，即；又由已知，?jù)圖，而，則；反之亦然；【說明】用空間向量證明三垂線定理：視角新，證法多，書寫簡捷；同學(xué)們不妨據(jù)此嘗試“一題多解”；題型六、向量法證明垂直問題例6、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE.【提示】不妨根據(jù)題設(shè)：建系，設(shè)點(diǎn)，確定相關(guān)向量的坐標(biāo)，判斷下列間關(guān)系，確定對(duì)應(yīng)的空間位置關(guān)系；【證明】根據(jù)AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P(0，0，1)；（1）因?yàn)?，∠ABC＝60°，所以，△ABC為正三角形，所以，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).設(shè)D(0，y,0)，由AC⊥CD，得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，所以，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，所以，eq\o(AE,\s\up8(→))⊥eq\o(CD,\s\up8(→))，即AE⊥CD.（2）方法1：因?yàn)椋琍(0，0，1)，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))⊥eq\o(AE,\s\up8(→))，即PD⊥AE.因?yàn)椋琫q\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.所以，PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.方法2：eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，則z＝－eq\r(3)，所以，＝(0,2，－eq\r(3))．因?yàn)椋琫q\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，顯然eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),3)n.所以，eq\o(PD,\s\up8(→))∥，所以，eq\o(PD,\s\up8(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE；【說明】1、證明線線垂直常用的方法：證明這兩條直線的方向向量互相垂直；2、證明線面垂直常用的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；（2）證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直；3、證明面面垂直常用的方法（1）轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；（2）證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；【素養(yǎng)提升】1、用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置（1）在直線l上給定一個(gè)定點(diǎn)A和它的一個(gè)方向向量，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，則有eq\o(AP,\s\up15(→))＝t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋t或eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→))(eq\o(AB,\s\up15(→))＝)，上面三個(gè)向量等式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程；向量稱為該直線的方向向量；；(2)線段AB的中點(diǎn)M的向量表達(dá)式eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．2、平面的法向量及其應(yīng)用平面的法向量：如果向量的基線與平面α垂直，則向量叫做平面α的法向量或說向量與平面α垂直；3、用向量方法證明平行與垂直設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為，，兩個(gè)平面α1，α2的法向量分別為，，則有下表：平行垂直l1與l2∥⊥l1與α1⊥∥α1與α2∥⊥【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、已知直線l過A(3，2，1)，B(2，2，2)，且＝(2，0，x)是直線l的一個(gè)方向向量，則x＝()A．2B．－2C．3D．－3【答案】B【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－1,0,1)，由題意知，∥eq\o(AB,\s\up8(→))，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,x＝λ，))∴λ＝－2，x＝－2；2、若直線l的方向向量＝(1，0，2)，平面α的法向量為＝(－2，0，－4)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l?α D．l與α斜交【答案】B【解析】∵＝(－2,0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2，∴∥，∴l(xiāng)⊥α；3、已知不重合的平面α，β的法向量分別為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，則平面α與β的位置關(guān)系是________．【答案】平行；【解析】∵＝－3，∴∥，故α∥β；4、設(shè)直線l1的方向向量為＝(3，1，－2)，l2的方向向量為＝(－1，3，0)，則直線l1與l2的位置關(guān)系是________．【答案】垂直【解析】∵·＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴⊥，∴l(xiāng)1⊥l2.；5、若直線l的方向向量為＝(－1,2,3)，平面α的法向量為＝(2，－4，－6)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是________