3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（七大題型）（原卷版）

3．3．2拋物線的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能通過拋物線的方程推出它的簡單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.（1）掌握拋物線的幾何性質(zhì).（2）會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.知識(shí)點(diǎn)01拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時(shí)，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱拋物線（）關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對(duì)稱軸．頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線（）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．離心率：．拋物線（）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因?yàn)橥ㄟ^拋物線（）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（）A．焦點(diǎn)在y軸上B．焦點(diǎn)在x軸上C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6D．由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為知識(shí)點(diǎn)02拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上方，過A、B分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則（

）A．B．若，則A的縱坐標(biāo)為4C．若，則直線AB的斜率為D．以為直徑的圓與直線AB相切于F知識(shí)點(diǎn)03焦半徑公式設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】【即學(xué)即練3】（2023·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)第四象限的點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，若，則（

）A．-4 B． C． D．-32知識(shí)點(diǎn)04直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）．2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn)．（2）直線的斜率存在．設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，即二次方程（或）解的個(gè)數(shù)．①若，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．【即學(xué)即練4】（2023·全國·高二課堂例題）（1）求過定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程.（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合.知識(shí)點(diǎn)05直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【即學(xué)即練5】（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€的方程為，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，（

）A． B．3 C． D．2【方法技巧與總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為．焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上題型一：拋物線的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·山東聊城·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為2的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若經(jīng)過點(diǎn)，則線段的長為10.C．線段的中點(diǎn)在直線上D．以線段為直徑的圓一定與軸相交例2．（多選題）（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)在x軸上B．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于10C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于D．由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)可能為例3．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)到定點(diǎn)比它到定直線：的距離小1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)， D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離變式1．（多選題）（2023·甘肅蘭州·高二?？计谀╆P(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸變式2．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離變式3．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）過點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有幾條？例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知點(diǎn)和拋物線，求過點(diǎn)A且與拋物線C相切的直線l的方程．例6．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線C：y=x2-2x+3，直線l：x-y-4=0，在曲線C上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最短，并求出最短距離.變式4．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.變式5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的方程為，直線l過定點(diǎn)，斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？題型三：中點(diǎn)弦問題例7．（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.例8．（2023·陜西商洛·高二?？计谀┲本€：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.變式6．（2023·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．變式7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線C上一點(diǎn)，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．變式10．（2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.題型四：焦半徑問題例10．（2023·全國·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．4 B． C．8 D．例12．（2023·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．變式11．（2023·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．變式13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式14．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式16．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．變式17．（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12變式18．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過B作l的垂線交l于點(diǎn)D，若的面積為，則（

）A．3 B． C．2 D．變式19．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12題型五：弦長問題例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作兩條直線與拋物線相切于點(diǎn)A，B，則弦長等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2例14．（2023·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┤鐖D，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則（

）

A．2 B． C．5 D．變式20．（2023·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率大于零的直線與及拋物線的所有公共點(diǎn)從左到右分別為點(diǎn)，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10變式21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角是的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．8 B． C． D．16變式22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，則（

）A． B． C． D．變式24．（2023·寧夏銀川·高二銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．9 B．7 C．6 D．5變式25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則（

）A． B．1 C．2 D．變式26．（2023·云南昆明·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線，直線經(jīng)過焦點(diǎn)交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．題型六：定點(diǎn)定值問題例16．（2023·全國·高二課堂例題）過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，則與的數(shù)量關(guān)系如何?并證明你的結(jié)論．例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對(duì)稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．例18．（2023·寧夏銀川·高二銀川九中校考階段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.變式27．（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是拋物線上異于的兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點(diǎn)．變式28．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB分別于y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.變式30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點(diǎn)，試問直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.變式31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，若記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且．求證直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型七：最值問題例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，(1)求的方程；(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．例20．（2023·湖南株洲·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C：（）與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn).(1)拋物線C的方程；(2)求的最小值.例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．變式32．（2023·陜西寶雞·校考一模）設(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求p；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值.變式33．（2023·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．變式34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求；(2)設(shè)圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.變式35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為且.(1)求拋物線的方程；(2)過直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.變式36．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的兩條直線分別交曲線于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．8 D．23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線：上一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．157．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為軸正半軸上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．80二、多選題9．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點(diǎn)到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點(diǎn)10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且與軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為（

）A． B． C． D．11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C．