3.1.1函數(shù)的概念及其表-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)3.1.1：函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)解讀：函數(shù)的概念.（理解）函數(shù)的定義域.（掌握）函數(shù)的值域.（理解）區(qū)間的概念.（了解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：函數(shù)的概念是初中函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的全新的現(xiàn)代定義方式（利用集合語(yǔ)言定義函數(shù)），相對(duì)來(lái)說(shuō)比較抽象，學(xué)習(xí)時(shí)要注意對(duì)概念的理解、三要素的把握、數(shù)形結(jié)合，重點(diǎn)理解定義中的“任意性、存在性、唯一性”，要通過(guò)適量的練習(xí)加以鞏固，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打牢基礎(chǔ).此部分題目靈活多變，要學(xué)會(huì)舉一反三，領(lǐng)悟核心要素.知識(shí)導(dǎo)圖：教材全解知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義（變量說(shuō)）一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就稱是自變量，是的函數(shù).2.函數(shù)的現(xiàn)代定義（對(duì)于關(guān)系說(shuō)）一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.例1-1：下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合A到集合B的函數(shù)的為，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示：答案：A不是B是C不是D是E不是變式訓(xùn)練：由下列式子是否確定是的函數(shù)？（1）；（2）（3）答案：（1）不能確定；（2）能確定；（3）不能確定.知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素由函數(shù)的概念知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.1.定義域函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.在函數(shù)關(guān)系的表述中，函數(shù)的定義域有時(shí)可以忽略，這時(shí)就約定這個(gè)函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)關(guān)系式有意義的實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合.在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域還要受到自變量實(shí)際意義的制約.2.對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”.按照這一“程序”，從定義域A中任何取一個(gè)，可得到值域中唯一的與之對(duì)應(yīng).同一“”可以“操作”不同形式的變量.3.值域函數(shù)值域是函數(shù)值的集合，通常一個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，它的值域也就隨之確定了.例2-2：下列說(shuō)法不正確的是（）定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系后，函數(shù)值域也就確定了函數(shù)的定義域是無(wú)限集，則值域也是無(wú)限集若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素對(duì)于不隨著的變化而變化，所以也成立.答案：B例2-3：下列說(shuō)法正確的是（）函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域和值域可以是空集函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就確定了答案：C例2-4：下表表示是的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A.B.RC.D.答案：D例2-5：下列函數(shù)的定義域不是R的是（）B.C.D.答案：C例2-6：已知函數(shù)；求求答案：（1）；（2）知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的相等只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才相等，即是同一個(gè)函數(shù).例3-7：下列表示同意函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：B知識(shí)點(diǎn)4：區(qū)間區(qū)間的概念：設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，，規(guī)定分別叫做閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間；叫做半開(kāi)半閉區(qū)間；叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).注意點(diǎn)：區(qū)間符號(hào)內(nèi)的兩個(gè)字母或數(shù)之間用“，”隔開(kāi).讀作無(wú)窮大，它是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù).開(kāi)區(qū)間（）與平面上的點(diǎn)（）要區(qū)分開(kāi)，在讀題時(shí)注意結(jié)合上下文加以區(qū)別.

（4）在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示端點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，用空心點(diǎn)表示端點(diǎn)不在區(qū)間內(nèi).例4-8：用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）=；（2）=；（3）；（4）R=；（5）；（6）.答案：（1）（2）（3）（4）（5）[-5，-1]（6）例4-9：求解下列問(wèn)題區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求及該區(qū)間.區(qū)間的右端點(diǎn)為3，求及該區(qū)間.答案：（1），區(qū)間為；（2），區(qū)間為例4-10：設(shè)集合則（）A.B.C.D.答案：D重難拓展知識(shí)點(diǎn)5：抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.抽象函數(shù)的概念沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)的概念若函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镃，則當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)為與在D上的復(fù)合函數(shù).3.抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域理解抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域，要明確以下幾點(diǎn)：函數(shù)的定義域是指的取值所組成的集合；函數(shù)的定義域是指的取值范圍，而不是的范圍；，，三個(gè)函數(shù)中的，，在對(duì)應(yīng)關(guān)系在下的范圍相同；已知的定義域?yàn)锳，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知的范圍（值域）為A，求出的取值范圍；已知的定義域?yàn)锽，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知中的的取值范圍B，求出的范圍（值域），此范圍就是的定義域.例5-11：下列函數(shù)中，是符合函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：B例5-12：函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)定義域的任意都有，如，則的值為（）B.C.D.答案：C題型與方法題型1：一元二次不等式的解法例13：（多選題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是從集合A到集合B的函數(shù)的有（）.A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8A=Z，B={-1,1}，n為奇數(shù)時(shí)，，n為偶數(shù)時(shí)，A=B={1,2,3}，A=B=答案：ABD題型2：求函數(shù)值例14：已知求和求若，求.答案：（1）6（2）（3）例15：已知函數(shù)對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都有求的值；若，求的值.答案：（1）（2）題型3：函數(shù)的定義域問(wèn)題1.已知解析式求函數(shù)的定義域：（1）（2）（3）（4）答案：變式訓(xùn)練：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A.B.C.D.答案：C2.求實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域例17：如圖，用長(zhǎng)為1的鐵絲做一個(gè)下部為矩形、上部為半圓的框架，若半圓的半徑為，求此框架?chē)傻拿娣e與的函數(shù).答案：3.求抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域（1）已知的定義域，求的定義域例18：已知函數(shù)則的定義域?yàn)?答案：（2）已知的定義域，求的定義域例19：已知的定義域[0,3]，則的定義域?yàn)?答案：[-1,8]（3）已知的定義域，求的定義域例20：若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?答案：（4）求運(yùn)算型抽象函數(shù)的定義域例21：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)的定義域.答案：當(dāng)，函數(shù)的定義域?yàn)?變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ?A.B.C.D.答案：B4.定義域的逆向問(wèn)題例22：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,6]，則的值為,的值為.答案：-13例23：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的值為.答案：0題型4：函數(shù)的值域問(wèn)題1.求函數(shù)的值域例24：求下列函數(shù)的值域（2）（3）（4）答案：（1）{2,3,4,5,6}；（2）；（3）；（4）例25：函數(shù)的值域?yàn)?答案：4.下列函數(shù)中值域是的是（）A.B.C.D.答案：C2.函數(shù)值域的逆向問(wèn)題例26：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1,9]，則m的值為;n的值為.答案：55易錯(cuò)提醒易錯(cuò)1：求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡(jiǎn)解析式致誤例27：函數(shù)的定義域?yàn)?

答案：易錯(cuò)2：用換元法求值域時(shí)，忽略中間變量的取值范圍致錯(cuò)例28：函數(shù)的值域?yàn)?答案：易錯(cuò)3：誤認(rèn)為與中“”含義相同例29：已知的定義域?yàn)閇1,2]，則的定義域?yàn)?答案：感知高考考向1：函數(shù)的概念例32：定義在R上的函數(shù)滿足，若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，=.答案：考向2：函數(shù)的定義域例33：函數(shù)的定義域是.答案：[-1,7]考向3：函數(shù)值例35：設(shè)函數(shù).已知，且，則實(shí)數(shù),b=.答案：-21基礎(chǔ)鞏固：1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.2.已知函數(shù)則的值是（）A.-1B.0C.1D.23.下列函數(shù)，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢.B.C.D.4.與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.B.C.D.5.函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.6.若函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,2]，則函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.7.已知等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)關(guān)于腰長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式為，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.RB.C.D.8.已知函數(shù)，則的值域是（）A.B.C.D.能力提升9.若函數(shù)與函數(shù)是相等函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）.A.B.C.D.10.的值域?yàn)椋ǎ?A.B.C.D.11.已知定義在R上函數(shù)的值域也是R，并且對(duì)任意，都有，則等于（）.A.0B.1C.20202D.202012.已知若的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的最大值為（）.A.0B.1C.2D.413.（多選題）已知集合，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠構(gòu)成