2020-2021學年江蘇省泰州市姜堰中學高一下學期期初數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年江蘇省泰州市姜堰中學高一下學期期初數(shù)學試題一、單選題1．設集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合，，所以，故選：B.2．關于的不等式的解集為（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】不等式化為即可求出.【詳解】將不等式化為，解得或，故不等式的解集為或.故選：C.3．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件【答案】D【分析】的值域為，據(jù)此可判斷A錯誤；若,則，則B錯誤；是的充分不必要條件，則C錯誤；若,,則，因此D正確.【詳解】對于A,的值域為,故不存在,使得,故A錯誤；對于B,若,則,故B錯誤；對于C,時，當，不成立，故是的充分不必要條件,故C錯誤；對于D,若,,則，即,是的充分條件，故D正確；故選：D.4．如圖，將地球近似看作球體，設地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度（當?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取負值），為該地的緯度?已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即.北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北緯，若某天的正午時刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（）A．北緯 B．南緯C．北緯 D．南緯【答案】B【分析】首先根據(jù)題意理解太陽高度角、該地緯度、太陽直射緯度的概念，然后由太陽高度角可得結果.【詳解】由題可知，天安門廣場的太陽高度角，由華表的高和影長相等可知，所以.所以該天太陽直射緯度為南緯，故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的解題關鍵是理解太陽高度角、該地緯度、太陽直射緯度的概念，從而進行計算.5．已知則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導公式化簡得，再由同角三角函數(shù)的關系得出．【詳解】因為所以即，所以故選：B．6．億萬年來，夜晚活動的蛾子等昆蟲都是靠月光和星光來導航，因為天體距離很遠，這些平行光可以作為參照做直線飛行（飛蛾飛行路線與這些平行光的夾角保持一致）.但自從人類學會使用火，這些人造光源距離很近，光線呈放射狀，可憐的蛾子開始倒霉了.蛾子還以為按照光線的固定角飛行就是直線飛行，結果越飛越近最后自投羅網(wǎng)，自取滅亡.這就是飛蛾撲火的原因.已知飛行時滿足，，其中表示飛蛾與火種的距離，表示飛蛾圍繞火種飛行角度，表示飛行路線與光的夾角，如圖已知時，為米；時，為1米，由此可以推斷角的正切值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得：，，兩式相除，結合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出b的近似值，再由，可得選項.【詳解】由題意得：，，兩式相除得，兩邊同時取自然對數(shù)得，所以，，故選：B.7．函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【分析】先已知得再運用基本不等式可得選項.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，即所以==()·)=+5≥2+5=4+5=9，當且僅當即時，取等號.所以的最小值是9.故選：B.8．已知，，，則下列大小關系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，，據(jù)此可得答案.【詳解】因為，，,又，所以，，，所以.故選：D.二、多選題9．關于函數(shù)，下列結論正確的是（）A．圖像關于軸對稱 B．圖像關于原點對稱C．在上單調(diào)遞增 D．恒大于0【答案】BC【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域直接判斷可得選項.【詳解】解:函數(shù)定義域為,，函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確，A不正確；當時，,在單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；當時,，故D不正確，故選：BC.10．下列關于平面向量的說法中正確的是（）A．已知，均為非零向量，則存在唯一的實數(shù)，使得B．若向量，共線，則點，，，必在同一直線上C．邊長為的正方形中D．若點為的重心，則【答案】AD【分析】利用向量共線的概念即可判斷A正確，B錯誤；利用向量的加法法則和向量的模的計算可判斷C錯誤，利用三角形重心的結論即可判斷D正確，問題得解.【詳解】對于選項A，由平面向量平行的推論可得其正確；對于選項B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點，，，不必在同一直線上，故B錯誤；對于選項C，邊長為的正方形中，故C錯誤；對于選項D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.故選：AD.11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關于點對稱B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【分析】由圖象求出函數(shù)解析式，然后結合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項．【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期，所以，當時，函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，故函數(shù).對于A，，故A不正確；對于B，當時，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；對于C，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，故C錯誤；對于D，將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，即D正確.故選：BD．【點睛】思路點睛：本題考查由圖象求三角函數(shù)的解析式，考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)．解題思路是圖象中最高點或最低點求得，由零點或最值點求出周期從而得，再由點的坐標求得，得函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．12．華為5G通信編碼的極化碼技術方案基于矩陣的乘法，如：，其中，.已知定義在R上不恒為0的函數(shù)，對任意有：且滿足，則（）A． B． C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】AD【分析】創(chuàng)新題型，利用新知識矩陣定義求出，再賦值可得解【詳解】，，令,則，令,則，，令,則，，令,則，，故選：AD【點睛】利用奇偶性解題的類型及方法(1)求解析式：利用奇偶性將待求值轉化到方程問題上，進而得解．(2)求參數(shù)值：在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足或偶函數(shù)滿足列等式，根據(jù)等式兩側對應相等確定參數(shù)的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)列式求解，若不能確定則不可用此法．三、填空題13．函數(shù)則________________．【答案】16【分析】直接利用分段函數(shù)化簡求解函數(shù)值即可得結果.【詳解】因為函數(shù)，則，故答案為：16.14．設在△中，為邊上的中線，為的中點，若，則__________【答案】【分析】把，作為基底，直接表示出，得到，再利用向量相等得到m，n的值即可求出.【詳解】由題意，，，，.故答案為：.15．中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖（2），在半圓（半徑為20cm）中作出兩個扇形和，用扇環(huán)形（圖中陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形的面積為，扇形的面積為，當時，扇形的現(xiàn)狀較為美觀，則此時扇形的半徑為__________cm【答案】【分析】根據(jù)已知條件和扇形的面積公式可求得答案.【詳解】設，半圓O的半徑為r，扇形OCD的半徑為，，所以，即，所以，所以，又，所以，故答案為：.16．若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【分析】觀察等式可得，可知有三個不同的非零點，再對該方程分類討論，并結合導數(shù)研究方程的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因為函數(shù)有四個不同的零點，所以關于的方程有四個不同的零點，因為，所以有三個不同的非零點，則，當時，，即，設，，所以函數(shù)在恒單調(diào)遞減，即的值域為，所以至多一個負根；當時，，即，設，，所以函數(shù)在恒單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，當最多有兩個根，所以有三個不同的非零點，則，解得，故答案為：．【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，關鍵在于利用導數(shù)研究單調(diào)性，得出函數(shù)的值域，從而解決零點問題.四、解答題17．計算：（1）（2）已知，求【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算可得答案；（2）由已知得，再將原式化為正弦、余弦齊次式，利用同角三角函數(shù)關系式化為正切，代入可得答案.【詳解】解：（1）原式==；（2），所以.18．設函數(shù)的定義域為集合A，值域為集合．（1）求的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域求得集合A，再由函數(shù)的奇偶性的定義得出函數(shù)的奇偶性，由此求得函數(shù)值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得集合B，根據(jù)兩集合的關系，建立不等式求得a的取值范圍.【詳解】解：（1）,由得，函數(shù)的定義域為，其定義域關于原點對稱，又，為奇函數(shù).所以=0；（2）函數(shù)在上，，，，或，解得或，實數(shù)的取值范圍為.19．已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)是上的減函數(shù)，證明見解析；（2）或．【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性定義證明；（2）由單調(diào)性化簡不等式后由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出結論．【詳解】（1）函數(shù)是上的減函數(shù)，證明如下：設，則，∵，∴，即，又，∴，即，∴是上的減函數(shù)．（2）由已知，即為，∵是上的減函數(shù)．∴，解得或．20．年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當年產(chǎn)量不足千件時，(萬元).當年產(chǎn)量不小于千件時，(萬元).每件商品售價為萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤(萬元)關于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）當年產(chǎn)量為千件時，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元.【分析】（1）可得銷售額為萬元，分和即可求出；（2）當時，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值，當，利用基本不等式求出最值，再比較即可得出.【詳解】解：（1）因為每件商品售價為萬元，則千件商品銷售額為萬元，依題意得：當時，，當時，，所以；（2）當時，，此時，當時，即萬元.當時，，此時，即萬元，由于，所以當年產(chǎn)量為千件時，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元.【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)模型的應用，解題的關鍵是理解清楚題意，正確的建立函數(shù)關系，再求最值時，需要利用函數(shù)性質(zhì)分段討論比較得出.21．已知函數(shù)（其中，，）的圖象與x軸的交于A，B兩點，A，B兩點的最小距離為，且該函數(shù)的圖象上的一個最高點的坐標為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求證：存在大于的正實數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題可得，周期為，則可求出，由可解得；（2）問題可化為在區(qū)間有解，再求解不等式即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，，故函數(shù)的周期為，故，故，，則，即，，，；（2）證明：因為，故當時，，原不等式可化為，又因為，則，要使得在有解，只需在區(qū)間有解，代入得：，當解得，即，時，此時與區(qū)間與區(qū)間的交集為空集，當，即，時，令得時，滿足，又因為，故只需，原不等式在區(qū)間有解.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)不等式有解問題，解題的關鍵是將問題轉化為在區(qū)間有解，從而求解.22．已知函數(shù)，（且均不為1，）（1）當，時，解關于的不等式；（2）當是三角形的三邊長且滿足，且時，試判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）1個，答案見解析.【分析】（1）由題設易知，討論、，結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）將問題轉化為判斷解的個數(shù)，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有，結合條件易知函數(shù)的定義域為，令得，由的單調(diào)性得，進而轉化為在上零點的個數(shù)，判斷的單調(diào)性結合零點存在性定理，可知零點的個數(shù)，即為零點