4.4.2 第2課時(shí) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版必修第一冊(cè)）

4.4.2第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(重點(diǎn)).2.能運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題(重、難點(diǎn)).1.數(shù)形結(jié)合2.數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】1.對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是由y＝f(x)與y＝g(x)復(fù)合而成，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為____；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為___.對(duì)于對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝logaf(x)來(lái)說(shuō)，函數(shù)y＝logaf(x)可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷．另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域．2.數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域?qū)τ谛稳鐈＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；(2)解f(x)>0，求出函數(shù)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用y＝logau的單調(diào)性求解．【小試牛刀】1．函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)2．已知函數(shù)f(x)＝2eqlog\s\do8(\f(1,2))x的值域?yàn)閇－1,1]，則函數(shù)f(x)的定義域是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) B．[－1,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq\r(2)，＋∞)【經(jīng)典例題】題型一比較對(duì)數(shù)值的大小例1比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).[跟蹤訓(xùn)練]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)()A.loga5.1<loga5.9 B.logeq\f(1,2)2.1>logeq\f(1,2)2.2C.log1.1(a＋1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2題型二對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．2．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]及其里層函數(shù)μ＝g(x)與外層函數(shù)y＝f(μ)的單調(diào)性之間的關(guān)系(見(jiàn)下表).函數(shù)單調(diào)性y＝f(μ)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)μ＝g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y＝f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)例2求函數(shù)y＝log0.3(3－2x)的單調(diào)區(qū)間；例3討論函數(shù)f(x)＝loga(3x2－2x－1)的單調(diào)性．注意：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須首先考慮函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集．[跟蹤訓(xùn)練]2(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)（2）函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,3)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型三對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性注意：判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要注意求函數(shù)的定義域，函數(shù)具有奇偶性，其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．例4已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并加以證明．[跟蹤訓(xùn)練]3設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)題型四對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域1.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域：求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域，一方面，要抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求其值域(多采用換元法)．2．對(duì)于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．例5求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(3＋2x－x2)．[跟蹤訓(xùn)練]4函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)題型五解對(duì)數(shù)不等式注意：兩類對(duì)數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時(shí)，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.例6已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，則x的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[跟蹤訓(xùn)練]5不等式logeq\f(1,2)(2x＋3)<logeq\f(1,2)(5x－6)的解集為()A.(－∞，3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c2．函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值為1，則a＝____.3.函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(x2－6x＋11)的值域?yàn)開_______.4.函數(shù)f(x)＝log2x2的單調(diào)遞增區(qū)間是________.5.判斷函數(shù)f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)的奇偶性.

【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】增函數(shù)減函數(shù)【小試牛刀】1.C[解析]由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)知識(shí)易知0<a<1.2.A[解析]由－1≤2eqlog\s\do8(\f(1,2))x≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2).【經(jīng)典例題】例1解(1)因?yàn)閥＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log31.9<log32.(2)因?yàn)閘og23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ>loga3.14；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaπ<loga3.14.綜上所得，當(dāng)a>1時(shí)，logaπ>loga3.14；當(dāng)0<a<1時(shí)，logaπ<loga3.14.[跟蹤訓(xùn)練]1B對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍和1大小的關(guān)系不確定，無(wú)法確定指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，故A不成立；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橐詄q\f(1,2)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以成立；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)橐?.1為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以不成立；對(duì)于選項(xiàng)D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故選B.例2解(1)由3－2x>0，解得x<eq\f(3,2)，設(shè)t＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，∵函數(shù)y＝log0.3t是減函數(shù)，且函數(shù)t＝3－2x是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝log0.3(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，即函數(shù)y＝log0.3(3－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間.例3[解析]由3x2－2x－1>0，得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>1或x<－eq\f(1,3)}．當(dāng)a>1時(shí)，若x>1，∵y＝logau為增函數(shù)，又u＝3x2－2x－1為增函數(shù)，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)．若x<－eq\f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1為減函數(shù)，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)．當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logau為減函數(shù)，若x>1，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為減函數(shù)，若x<－eq\f(1,3)，則f(x)＝loga(3x2－2x－1)為增函數(shù)．[跟蹤訓(xùn)練]2（1）D解析要使函數(shù)有意義，則：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4，＋∞)，故選D.(2)解令t＝3x2－ax＋7，則y＝logeq\f(1,3)t單調(diào)遞減，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增且t>0.因?yàn)閠＝3x2－ax＋7的對(duì)稱軸為x＝eq\f(a,6)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤－1，,10＋a>0，))解得－10<a≤－6，故a的取值范圍為(－10，－6].例4[解析](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1<x<1.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．[跟蹤訓(xùn)練]3A[解析]由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，且f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝ln(eq\f(2,1－x)－1)，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，選A．例5[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定義域?yàn)镽.∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域?yàn)閧y|y≥2}．(2)設(shè)u＝3＋2x－x2，則