4.4 數(shù)學(xué)歸納法-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊(cè))第四章：數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫(xiě)如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n＝n0時(shí)結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．【題型歸納】題型一：數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式1．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明．2．（2020·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立？并說(shuō)明你的結(jié)論.題型二：數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題3．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除．4．（2021·河南·高二月考（理））用兩種方法證明：能被49整除．題型三：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1＝，前n項(xiàng)和Sn＝an.（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.題型四：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式7．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）求證：，n∈N*．8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）試用數(shù)學(xué)歸納法證明.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng)C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng)10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正偶數(shù)n均有，在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)時(shí)命題成立B．假設(shè)時(shí)命題成立C．假設(shè)時(shí)命題成立D．假設(shè)時(shí)命題成立11．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n≥2)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了兩項(xiàng)，，又減少了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)12．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得項(xiàng)為（）A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a413．（2021·陜西·咸陽(yáng)百靈學(xué)校高二期中（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：14．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立B．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立C．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立D．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立15．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝（）A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d16．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時(shí)，左式為，當(dāng)時(shí)，左式為，則應(yīng)該是（）A． B．C． D．17．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．18．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（）A．若成立，則成立 B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立 D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立【高分突破】一：?jiǎn)芜x題19．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時(shí)，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于（）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k20．（2020·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立A． B． C． D．21．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意偶數(shù)，能被整除時(shí)，其第二步論證應(yīng)該是（）A．假設(shè)（為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證時(shí)命題也成立B．假設(shè)（為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證時(shí)命題也成立C．假設(shè)（為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證時(shí)命題也成立D．假設(shè)（為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證時(shí)命題也成立22．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）現(xiàn)有命題“，，用數(shù)學(xué)歸納法去探究此命題的真假情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件后才是真命題，否則為假命題D．存在一個(gè)很大的常數(shù)，當(dāng)時(shí)，此命題為假命題23．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式()時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是24．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng) B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng) D．增加、，且減少一項(xiàng)25．（2021·安徽省肥東縣第二中學(xué)高二月考（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到等式左邊需增添的項(xiàng)是（）A．B．C．D．26．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法（）A．過(guò)程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確二、多選題27．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（）A．若成立，則成立B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立28．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）如果命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立.則下列結(jié)論正確的是（）A．若對(duì)成立，則對(duì)所有正整數(shù)都成立B．若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立C．若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立D．若對(duì)成立，則對(duì)所有自然數(shù)都成立29．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（）A．p(k)對(duì)k＝528成立B．p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C．p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D．p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立30．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，則可得當(dāng)時(shí)命題也成立，若已知當(dāng)時(shí)命題不成立，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，命題不成立B．當(dāng)時(shí)，命題可能成立C．當(dāng)時(shí)，命題不成立D．當(dāng)時(shí)，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)時(shí)命題成立，則對(duì)任意，命題都成立三、填空題31．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，推證當(dāng)?shù)仁揭渤闪r(shí)，只需證明等式____________成立即可．32．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為_(kāi)_______.33．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，證明不等式f(2n)>時(shí)，f(2k＋1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)數(shù)是______.34．（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N*)的過(guò)程如下：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何n∈N*，等式都成立.上述證明的錯(cuò)誤是________.35．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_(kāi)______.四、解答題36．（2020·安徽省明光中學(xué)高二月考（理））已知數(shù)列滿足，.（1）求，，，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式（不需證明）；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.37．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.38．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中且.（1）求；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明．39．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.40．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明【答案詳解】1．【詳解】證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式成立，由（1）（2）可知，對(duì)一切等式成立.2．存在a=3，b=11，c=10使等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，證明見(jiàn)解析.【詳解】假設(shè)存在常數(shù)a，b，c，使等式對(duì)于一切正整數(shù)n成立，令n=1，2，3得整理得解得令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.于是對(duì)于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)于一切都成立，過(guò)程如下：當(dāng)n=1時(shí)，已得等式成立.假設(shè))時(shí)，等式成立，即Sk=(3k2+11k+10)，則n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=[k(3k+5)+12(k+2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10]，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.根據(jù)可以斷定，對(duì)于一切等式都成立.所以存在a=3，b=11，c=10使等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.3．【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，能被整除；假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除，即，那么當(dāng)時(shí)，能被整除；綜上所述：能被整除.4．【詳解】證明：方法一：因?yàn)闉檎麛?shù)，所以能被49整除．方法二：（1）當(dāng)時(shí)，，能被49整除．（2）假設(shè)當(dāng)，能被49整除，那么，當(dāng)，．因?yàn)槟鼙?9整除，也能被49整除，所以能被49整除，即當(dāng)時(shí)命題成立，由（1）（2）知，能被49整除．5．，證明見(jiàn)解析【分析】利用遞推關(guān)系式得出數(shù)列的前項(xiàng)，猜想，再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，可得．由，可得．同理可得，，．歸納上述結(jié)果，猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．（1）當(dāng)時(shí)，③式左邊，右邊，猜想成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，③式成立，即，那么，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想對(duì)任何都成立．6．（1）a2=，a3＝，a4＝（2）an＝，證明見(jiàn)解析【分析】（1）用賦值法即可求解；（2）結(jié)合（1）的答案猜想出an，再數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.（1）∵a1＝，前n項(xiàng)和Sn＝an，∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.（2）猜想an＝，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＝·ak＝，Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，∴＋ak＋1＝·ak＋1，∴·ak＋1＝，∴ak＋1＝，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立.由①②可知，對(duì)一切n∈N*都有an＝成立.7．證明見(jiàn)解析【分析】由已知結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法即可求解【詳解】證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，因?yàn)椋?，所以原不等式成立．（2）假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立，即有，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＜．因此，欲證當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式成立，只需證明成立，即證，從而轉(zhuǎn)化為證，也就是證．又＝k2＋k＋1－＝＞0，從而．于是當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式也成立．由（1）（2）可知，當(dāng)n是一切正整數(shù)時(shí)，原不等式都成立．8．證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可證明．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，左邊＝，右邊＝，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即，當(dāng)時(shí)，∵∴．即，所以，當(dāng)時(shí)，不等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立，故原不等式成立．9．D【分析】寫(xiě)出與時(shí)左邊的式子，對(duì)比即可求解【詳解】由題意知：時(shí)，左邊為，當(dāng)時(shí)，左邊為，增加項(xiàng)為：共項(xiàng).故選：D10．C【分析】依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可；【詳解】解：因?yàn)橐C明的是對(duì)任意正偶數(shù)n均有等式成立，所以在驗(yàn)證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)時(shí)命題成立．故選：C．11．C【分析】將n＝k、n＝k＋1代入不等式左邊，比較兩式即可求解.【詳解】n＝k時(shí)，左邊為＋＋…＋，①n＝k＋1時(shí)，左邊為＋＋…＋＋＋，②比較①②可知C正確.故選：C12．C【分析】將n＝1代入即得.【詳解】由知，當(dāng)時(shí)，等式的左邊是.故選：C.13．答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可證出．【詳解】①當(dāng)時(shí)，左邊＝，右邊，左邊＝右邊；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么，當(dāng)時(shí)，，即等式也成立，綜上，對(duì)一切，等式恒成立．14．B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，即可判斷選項(xiàng).【詳解】第二步假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立.故選：B.15．C【分析】只需把公式中的n換成k即可．【詳解】假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.故選:C16．B【分析】根據(jù)題意表示出和，然后代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.17．B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行驗(yàn)證，即可求解.【詳解】因?yàn)?，故?shù)學(xué)歸納法應(yīng)驗(yàn)證的情況，即.故選：B.18．D【分析】根據(jù)題中的信息，結(jié)合不等號(hào)的方向可判斷A、C的正誤；再根據(jù)題意可得若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有f(k)≥k+1成立，據(jù)此可對(duì)B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A、C與已知條件不等號(hào)方向不同，故A、C錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有f(k)≥k+1成立，故B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時(shí)，均有成立.故選：D.19．C【分析】根據(jù)題意，寫(xiě)出的表達(dá)式，然后求差即得，注意表達(dá)式的起始項(xiàng)、終止項(xiàng)和中間項(xiàng)的變化.【詳解】因?yàn)閒(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，則f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故選：C.20．B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義可得出結(jié)論.【詳解】若已假設(shè)（為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)橹荒苋∨紨?shù)，所以還需要證明成立．故選：B．21．D【分析】根據(jù)題意可得為偶數(shù)，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟即可得出答案.【詳解】因?yàn)闉檎紨?shù)，所以第二步的假設(shè)應(yīng)寫(xiě)為：假設(shè)（為正整數(shù)）時(shí)命題成立，再證時(shí)命題也成立，即當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，能被整除，再證時(shí)，能被整除.故選：D.22．B【分析】直接用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【詳解】①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，即時(shí)，等式成立；②假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式成立．綜上，對(duì)任意，等式恒成立，故選：B．23．D【分析】根據(jù)題意可知可以判定A錯(cuò)誤；根據(jù)n=k+1和n=k時(shí)不等式左邊的式子的變化情況作差可以判定BCD.【詳解】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立，所以不正確；因?yàn)椋詮摹暗健弊筮呅枰黾拥拇鷶?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確.故選:D.24．D【分析】理解數(shù)學(xué)歸納法到步驟，結(jié)合不等式的差異確定增減項(xiàng)即可.【詳解】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時(shí)，不等式成立，則有：成立，那么時(shí)，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項(xiàng)故選：D25．C【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，共個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，當(dāng)時(shí)，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項(xiàng)是.故選：C.26．D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義即可判斷答案.【詳解】在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè).故選:D.27．AD【詳解】對(duì)于A：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對(duì)于B：若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，故D正確.故選：AD28．BC【詳解】由題意可知，若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立；若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立.故選：BC29．AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正確錯(cuò)誤.【詳解】由題意知p(k)對(duì)k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD30．AD【詳解】如果當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立，與題設(shè)矛盾，即當(dāng)時(shí)，命題不成立，A正確；如果當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)命題成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得當(dāng)時(shí)命題成立，與題設(shè)矛盾，B不正確；當(dāng)時(shí)，該命題可能成立也可能不成立，如果當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得對(duì)任意，命題都成立，C不正確，D正確.故選：AD31．【分析】首先假設(shè)時(shí)成立，然后再寫(xiě)出時(shí)需證明的等式，兩式相比較即可得出答案.【詳解】假設(shè)時(shí)成立，即成立，當(dāng)時(shí)，，故只需證明“”成立即可．故答案為：.32．Sn＝【詳解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.故答案為：Sn＝33．2k【分析】由f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，然后寫(xiě)出f(2k)和f(2k＋1)進(jìn)行比較可得答案【詳解】觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(wàn)(2k)多了2k項(xiàng).故答案為：2k34．未用歸納假設(shè)【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的方法與步驟即可得出答案.【詳解】本題在由n＝k成立，證n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.故答案為：未用歸納假設(shè)35．【分析】當(dāng)時(shí)可確定表達(dá)式左側(cè)增加的項(xiàng)和右側(cè)的形式，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為.故答案為：.36．（1），，，（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，，，2，，可求得，繼而可求得，，由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：（2）證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：易證①當(dāng)時(shí)，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，去推證時(shí)，結(jié)論也成立即可.【詳解】（1）由，得；由，得；由，得；由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：.（2）先證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，，成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立．即，那么當(dāng)時(shí)，即當(dāng)