人教版高中數(shù)學精講精練必修二6.2 平面向量的運算（精講）（解析版）

6.2平面向量的運算（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一平面向量的線性運算【例1-1】（2022·全國·高一課時練習）化簡（1）（2）；（3）＋．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）【例1-2】（2022·全國·高一課前預習）計算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）=.（2）=【一隅三反】1．（2022·湖南·高一課時練習）化簡：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).【解析】(1).(2).(3).(4).(5).(6).2．（2022·全國·高一課時練習）化簡：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．3．（2022·全國·高一專題練習）已知向量，，，求作和.【答案】詳見解析【解析】由向量加法的三角形法則作圖：由向量三角形加減法則作圖：考點二共線定理【例2】（2022·全國·高一課時練習）設，是兩個不共線的向量，如果，，.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定的值，使和共線；(3)若與不共線，試求的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【解析】（1）證明：因為，所以與共線.因為與有公共點B，所以A，B，D三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使.因為，不共線，所以所以.（3）假設與共線，則存在實數(shù)m，使.因為，不共線，所以所以.因為與不共線，所以.【一隅三反】1．（2022·浙江·高一期中）已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為與平行，所以存在實數(shù)，使得，即，又為不共線，所以，解得.故選：B.2．（2022·全國·高一專題練習）判斷向量是否共線(其中,是兩個非零不共線的向量):(1);(2);(3).【答案】(1)共線；(2)共線；(3)不共線.【解析】(1)因，則有，所以共線.(2)因，，則，所以共線.(3)假設，則，即，因不共線，于是得，此方程組無解，因此不存在實數(shù)，使得，所以不共線.3．（2022·全國·高一課時練習）設兩個非零向量與不共線．(1)若，，，求證：，，三點共線；(2)試確定實數(shù)，使和同向．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）證明：因為，，，所以．所以，共線．又因為，有公共點，所以，，三點共線．（2）解：因為與同向，所以存在實數(shù)，使，即．所以．因為，是不共線的兩個非零向量，所以，解得，或，又因為，所以．考點三數(shù)量積【例3-1】（2022·湖北省天門中學高一階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，所以，故選：A【例3-2】（2022·內(nèi)蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，即，又，，解得，，所以.故選：C【例3-3】．（2022·全國·高一課時練習）已知向量，滿足，，，則_________.【答案】【解析】由可得，，即，解得：，所以．故答案為：．【例3-4】（2021·山東·高一階段練習）在中，，若D為BC中點，則為_________．【答案】【解析】，所以，故，，兩式相減得，所以，所以＝.故答案為：【一隅三反】1．（2022·上海市）已知向量滿足的夾角為，則的值是_____．【答案】【解析】，即，即，解得或（舍）.故答案為：3.2．（2022·上海市曹楊中學高一期末）已知向量與的夾角為，記且，則_____．【答案】【解析】且，，即又向量與的夾角為，，解得，，，又，所以故答案為：3．（2022·上海市控江中學高一期末）已知向量滿足且，則在方向上的數(shù)量投影為______.【答案】【解析】，，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：4．（2022·全國·高一課時練習）已知單位向量，滿足，若向量，則＝【答案】【解析】因為，是單位向量，所以，又因為，，所以，，所以，因為，所以5．（2021·云南·昭通市昭陽區(qū)第一中學高二月考（文））已知向量與的夾角為，且，，設，，則向量在方向上的投影為___________．【答案】2【解析】與的夾角為，且，,又，，設,在方向上的投影為在方向上的投影為故答案為：2考點四取值范圍【例4-1】（2022·湖北）若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，且,當同向時，取得最小值，；當反向時，取得最大值，；當不共線時，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、滿足，，則在方向上的數(shù)量投影的最小值是______.【答案】2【解析】因為在方向上的數(shù)量投影為，所以當最小時，數(shù)量投影取得最小值.設，則.因為，則當時，有最小值6.所以，在方向上的數(shù)量投影的最小值是.故答案為：2.【一隅三反】1．（2022·上海崇明·）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】正六邊形ABCDEF中，過點B作于，則又即，故的取值范圍為故答案為：2．（2022·上海）如圖，已知正六邊形ABCDEF邊長為1，點P是其內(nèi)部一點，（包括邊界），則的取值范圍為______【答案】【解析】由正六邊形的性質(zhì)得：，則，，，而表示在上的投影，當點P在C處時，投影最大為，當點P在F處時，投影最小為0，所以的取值范圍為，