人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二10.1 隨機(jī)事件與概率（精講）（解析版）

10.1隨機(jī)事件與概率（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一隨機(jī)事件的判斷【例1】（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（

）①未來(lái)某年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰好取?號(hào)簽；④任取，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①未來(lái)某年8月18日，北京市不下雨，屬于隨機(jī)事件；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰，屬于不可能事件；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽，屬于隨機(jī)事件；④任取，則，屬于必然事件；所以屬于隨機(jī)事件的有①③，即隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是.故選：B【一隅三反】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)事件：①明天上海的天氣有時(shí)有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】由題意可知，①明天上海的天氣有時(shí)有雨為隨機(jī)事件；②東邊日出西邊日落為必然事件；③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；④守株待兔為隨機(jī)事件，故必然事件有1個(gè)，故選：B2（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列事件中，屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號(hào)是______.①明天是陰天；

②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③明天吳淞口的最高水位是4.5米；

④三角形中，大角對(duì)大邊．【答案】①③【解析】對(duì)于①③，明天的事是未來(lái)才發(fā)生的事，具有不確定性，故①③屬于隨機(jī)現(xiàn)象；對(duì)于②，由得，顯然在實(shí)數(shù)域方程無(wú)解，故②屬于不可能事件；對(duì)于④，由正弦定理易知在三角形中，大角對(duì)大邊．故④屬于確定事件；綜上：屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號(hào)是①③.故答案為：①③.3．（2023·高一單元測(cè)試）下列事件：①空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；②367個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日在同一天；③6個(gè)人的生日在不同月份；④擲兩次骰子，點(diǎn)數(shù)和不小于2；⑤兩條異面直線所成角為鈍角.其中，______是不確定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填寫序號(hào)）.【答案】

①③

②④

⑤【解析】因?yàn)榭臻g中不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以事件①可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故①是不確定事件；因?yàn)槊磕暧?65天或366天，所以事件②一定發(fā)生，故②是必然事件；事件③可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故③是不確定事件；因?yàn)閿S兩次骰子，點(diǎn)數(shù)和的可能結(jié)果是：2，3，…，12，所以事件④一定發(fā)生，故④是必然事件；因?yàn)閮蓷l異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，所以事件⑤不可能發(fā)生，故⑤是不可能事件．故答案為：①③，②④，⑤．4．（2022秋·安徽馬鞍山）在100件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，給出下列事件：①在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級(jí)品；②在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級(jí)品；③在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級(jí)品；④在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級(jí)品，其中__________是隨機(jī)事件.（如果沒(méi)有，請(qǐng)?zhí)睢盁o(wú)”；如果有，請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）【答案】①③【解析】對(duì)于①，因?yàn)?00件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級(jí)品是橢機(jī)事件，對(duì)于②，因?yàn)?00件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級(jí)品是不可能事件，對(duì)于③，因?yàn)?00件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級(jí)品是隨機(jī)事件，對(duì)于④，因?yàn)?00件產(chǎn)品中，有95件一級(jí)品，5件二級(jí)品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級(jí)品是必然事件，故答案為：①③.考點(diǎn)二有限樣本空間【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫出“2個(gè)球都是白球”這一事件所對(duì)應(yīng)的子集.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】（1）分別記白球?yàn)?，2，3號(hào)，黑球?yàn)?，5號(hào)，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1號(hào)球和2號(hào)球]（2）“2個(gè)球都是白球”這一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.【一隅三反】1．（2022秋·山東濟(jì)寧）做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用表示結(jié)果，其中表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).寫出：(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)；(3)指出事件的含義.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為【解析】（1）樣本空.（2）由（1）知：這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)共有個(gè).（3）由可知：事件表示拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為.2．（2022·課時(shí)練習(xí)）先后兩次擲一枚均勻的骰子，觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù)．(1)寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間；(2)用集合表示事件A：點(diǎn)數(shù)之和為3；事件B：點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)4．【答案】(1)Ω，；(2)，．【解析】(1)用表示第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出2點(diǎn)，其他的樣本點(diǎn)用類似的方法表示，則可知所有樣本點(diǎn)均可表示成的形式，其中都是中的數(shù)．因此，樣本空間Ω，；(2)根據(jù)題意，，．3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)寫出“得到的點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)”這一事件所包含的樣本點(diǎn)；(4)說(shuō)出事件所表示的實(shí)際意義．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)(3)(4)得到的點(diǎn)是第三象限內(nèi)的點(diǎn).【解析】(1)樣本空間為：(2)由知這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)為.(3)得到的點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)”這一事件所包含的樣本點(diǎn)為.(4)事件表示得到的點(diǎn)是第三象限內(nèi)的點(diǎn).考點(diǎn)三事件的關(guān)系與運(yùn)算【例3-1】（2022秋·陜西榆林）某人射擊一次，設(shè)事件A：“擊中環(huán)數(shù)小于8”；事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于8”；事件C：“擊中環(huán)數(shù)不小于8”，事件D：“擊中環(huán)數(shù)不大于9”，則下列關(guān)系正確的是（

）A．A和B為對(duì)立事件 B．B和C為互斥事件C．A和C為對(duì)立事件 D．B與D為互斥事件【答案】C【解析】由題意可知：設(shè)事件A：“擊中環(huán)數(shù)小于8”與事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于8”是互斥事件但不是對(duì)立事件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于8”與事件C：“擊中環(huán)數(shù)不小于8”，能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；事件A：“擊中環(huán)數(shù)小于8”與事件C：“擊中環(huán)數(shù)不小于8”是對(duì)立事件，故C選項(xiàng)正確；事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于8”與事件D：“擊中環(huán)數(shù)不大于9”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【例3-2】（2022春·北京通州·高一統(tǒng)考期末）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)不大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于5”；“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；“點(diǎn)數(shù)為i”，其中.下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．與互斥 D．與互為對(duì)立【答案】B【解析】因事件含有“點(diǎn)數(shù)為2”的基本事件，而事件不含這個(gè)基本事件，A不正確；事件含有3個(gè)基本事件：“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為3”，“點(diǎn)數(shù)為5”，即，B正確；事件與都含有“點(diǎn)數(shù)為6”的基本事件，與不互斥，C不正確；事件與不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，與不對(duì)立，D不正確.故選：B【一隅三反】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在試驗(yàn)E“從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和”中，事件A表示“這2個(gè)數(shù)的和大于4”，事件B表示“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，則和中包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（

）A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1【答案】C【解析】試驗(yàn)E的樣本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．其中事件A中所含的樣本點(diǎn)為（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個(gè)；事件B中所含的樣本點(diǎn)為（1，3），（2，4），共2個(gè)．所以事件中所含的樣本點(diǎn)為（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5個(gè)；事件中所含的樣本點(diǎn)為（2，4），共1個(gè)．故選：C．2．（2022上海徐匯）設(shè)M，N為兩個(gè)隨機(jī)事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．是必然事件 B．是必然事件C．與一定為互斥事件 D．與一定不為互斥事件【答案】A【解析】因?yàn)镸，N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示（第一種情況）（第二種情況）無(wú)論哪種情況，均是必然事件．故A正確．如果是第一種情況，不是必然事件，故B不正確，如果是第一種情況，與不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第二種情況，與一定為互斥事件，故D不正確.故選：A.考點(diǎn)四古典概型【例4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列不是古典概型的是（

）A．在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)B．任意拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)C．已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個(gè)，從中任意取出1個(gè)球，觀察球的顏色D．從南京到北京共有n條長(zhǎng)短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率【答案】B【解析】選項(xiàng)A中，在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，且該試驗(yàn)包含的基本事件其有6個(gè)，故A符合古典概型；選項(xiàng)B中，由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故B不是古典概型；選項(xiàng)C中，該試驗(yàn)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；選項(xiàng)D中，滿足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．故選：B【例4-2】（2023·陜西西安）12月4日20時(shí)09分，神舟十四號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，神舟十四號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功.經(jīng)歷了120天全生命周期的水稻和擬南芥種子，也一起搭乘飛船返回艙從太空歸來(lái).我國(guó)在國(guó)際上首次完成水稻“從種子到種子”全生命周期空間培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)，在此之前國(guó)際上在空間只完成了擬南芥、油菜、豌豆和小麥“從種子到種子”的培養(yǎng).若從水稻、擬南芥、油菜、豌豆和小麥這5種種子中隨機(jī)選取2種，則水稻種子被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)水稻、擬南芥、油菜、豌豆和小麥分別為，則共有：10種情況，滿足條件的有4種情況，則.故選：D【一隅三反】1．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（

）（1）從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；（2）從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；（3）在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；（4）向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性”．第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；第3個(gè)概率模型不是古典概型，在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，不滿足“有限性”；第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等．故選：A.2．（2023春·江西）袋中裝有四個(gè)大小完全相同的小球，分別寫有“中?華?道?都”四個(gè)字，每次有放回地從中任取一個(gè)小球，直到寫有“道”?“都”兩個(gè)字的小球都被取到，則停止取球．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)取球停止時(shí)的概率，具體方法是：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2，3分別代表“中?華?道?都”四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果．現(xiàn)經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232

321

230

023

231

021

122

203

012231

130

133

231

031

123

122

103

233由此可以估計(jì)，恰好取球三次就停止的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知，所有事件的結(jié)果數(shù)有18種，其中滿足恰好取球三次時(shí)“道”?“都”兩個(gè)字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3種，記“恰好取球三次就停止”為事件，所以.故答案為：C3．（2023貴州六盤水）當(dāng)前疫情防控形勢(shì)依然復(fù)雜嚴(yán)峻，為進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的防控意識(shí)，某校讓全體學(xué)生充分了解疫情的防護(hù)知識(shí)，提高防護(hù)能力，做到科學(xué)防護(hù)，組織學(xué)生進(jìn)行了疫情防控科普知識(shí)線上問(wèn)答，共有100人參加了這次問(wèn)答，將他們的成績(jī)（滿分100分）分成五組依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值；(2)試估計(jì)這100人的問(wèn)答成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)采用按比例分配的分層抽樣的方法，從問(wèn)答成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取13人作為疫情防控知識(shí)宣講使者，再?gòu)牡谒慕M和第五組的使者中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求這2人來(lái)自不同組的概率.【答案】(1)(2)75，73.5(3)【解析】（1）依題意可得：，解得：；（2）根據(jù)頻率分布直方圖知：眾數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)的估計(jì)值為，所以這100人的問(wèn)答成績(jī)的眾數(shù)與平均數(shù)的估計(jì)值分別為75，73.5..（3）由題可知，在問(wèn)答成績(jī)，，三組中，人數(shù)之比為7:5:1，現(xiàn)采用分層抽樣從中抽取13人，所以三組中每組各抽學(xué)生人數(shù)分別為7，5，1.分別記中所抽取的5人編號(hào)依次為1，2，3，4，5.中所抽取的1人編號(hào)為.所以從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為：，，，共15個(gè)樣本點(diǎn).其中這2人來(lái)自不同組（記為事件）的樣本點(diǎn)有5個(gè)，所以.所以這2人來(lái)自不同組的概率為.考點(diǎn)五概率的性質(zhì)【例5-1】（2022春·上海黃浦·高一上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)?？计谀┮阎录嗀與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定為0，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，而不一定?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，不一定是對(duì)立事件，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故D正確.故選：D.【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若事件為兩個(gè)互斥事件，且，有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【解析】事件為兩個(gè)互斥事件，，，故①正確；事件為兩個(gè)互