專題01勾股定理-備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編(北師大版)(原卷版+解析)

專題01勾股定理一．勾股定理（2022春?柳州期末）如圖，在中，，，，則A．12 B．13 C．14 D．15（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，以的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若，則圖中陰影部分的面積為A．3 B． C． D．（2022春?鄖陽區(qū)期末）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑，口杯內(nèi)部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是．A．9 B．10 C．11 D．12（2022春?瓊海期末）勾股定理是中國(guó)幾何的根源，中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)如下圖形：在中，，圖中以、、為邊的四邊形都是正方形，并且經(jīng)測(cè)量得到三個(gè)正方形的面積分別為225、400、，則的值為A．25 B．175 C．600 D．625（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，在三角形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為A．15 B． C．9 D．（2022春?北京期末）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)的直角三角形（如圖演化而成的．如果圖2中的，那么的長(zhǎng)為A． B．4 C．3 D．二．勾股定理的證明（2022春?綦江區(qū)期末）勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是A．B． C． D．（2021秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用，表示直角三角形的兩直角邊，請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是A． B． C． D．（2021春?撫順期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是A． B． C． D．（2020春?高唐縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為48，小正方形的面積為6，則的值為A．60 B．79 C．84 D．90（2020春?乳山市期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形．連接，相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)．若，則的值是．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．三．勾股定理的逆定理（2022春?靖西市期末）在中，若，則A． B． C． D．不能確定（2022春?普蘭店區(qū)期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是A．6，7，8 B．5，6，7 C．4.5，6，7.5 D．4，5，6（2021秋?濱?？h期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是A．1，，2 B．5，12，13 C．5，6，7 D．7，24，25（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．6，8，11（2022春?鳳泉區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，不是直角三角形的是A．，， B． C． D．（2021秋?萊陽市期末）下列不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．（2022春?廉江市期末）下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長(zhǎng)的是A．，，2 B．5，7，11 C．9，12，15 D．15，20，25四．勾股數(shù)（2021秋?常寧市期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13（2021秋?揭西縣期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．1，，2 B．0.3，0.4，0.5 C．8，15，17 D．5，6，7（2022春?曲靖期末）觀察下面幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；請(qǐng)你根據(jù)規(guī)律寫出第⑤組勾股數(shù)是．（2022春?寧江區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，7，8 D．5，12，13（2022春?來賓期末）閱讀理解：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方和，即，那么稱為廣義勾股數(shù)，則下面的四個(gè)結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是A．②④ B．①②④ C．①② D．①④五．勾股定理的應(yīng)用（2022春?惠州期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為A． B． C． D．（2022春?夏津縣期末）如圖，長(zhǎng)為的橡皮筋放置在軸上，固定兩端和，然后把中點(diǎn)向上拉升至點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了A． B． C． D．（2022春?棗陽市期末）一個(gè)門框的尺寸如圖所示，下列長(zhǎng)寬型號(hào)（單位：的長(zhǎng)方形薄木板能從門框中通過的是A． B． C． D．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高．若這支鉛筆長(zhǎng)為，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是A． B． C． D．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個(gè)水池，水面的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁茿．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺（2021秋?中牟縣期末）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從點(diǎn)處推開雙門，雙門間隙的長(zhǎng)度為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)到門檻的距離都為1尺尺寸），則的長(zhǎng)是A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸六．平面展開-最短路徑問題（2022春?郾城區(qū)期末）如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，最短路程是．A． B． C．120 D．130（2022春?長(zhǎng)壽區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為和，高為．若一只螞蟻從點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為．（2021秋?麥積區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為．（杯壁厚度不計(jì)）（2021秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)處有一滴糖漿，容器外點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)距底部，請(qǐng)問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）A． B． C． D．（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是3米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是米．（2022春?威寧縣期末）如圖，在中，，，則邊上的高的長(zhǎng)為A．4 B． C． D．5（2022春?景縣期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，如果的面積為1，則它的周長(zhǎng)為A． B． C． D．（2021秋?船山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中，如圖從點(diǎn)到點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離的走法共有A．1種 B．2種 C．3種 D．4種（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則的值為．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．（2022春?灞橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）求邊的長(zhǎng)．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．（2021秋?密山市校級(jí)期末）已知：如圖1，中，，為中點(diǎn)，、分別交于，交于，且．（1）如果，求證：；（2）如圖2，如果，（1）中結(jié)論還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2022春?韓城市期末）已知：如圖，四邊形，，，，，且．求四邊形的面積．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，若．求：的面積．（2022春?永定區(qū)期末）如圖，一架梯子長(zhǎng)13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米？（2022春?慈溪市期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墻面處，另一端在地面處，墻角記為點(diǎn)．（1）若米，米．①竹竿的頂端沿墻下滑1米，那么點(diǎn)將向外移動(dòng)多少米？②竹竿的頂端從處沿墻下滑的距離與點(diǎn)向外移動(dòng)的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請(qǐng)說明理由；如果可能，請(qǐng)求出移動(dòng)的距離（保留根號(hào)）．（2）若，則頂端下滑的距離與底端外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請(qǐng)說明理由；若不等，請(qǐng)比較頂端下滑的距離與底端外移的距離的大小．（2021秋?隨縣期末）如圖1所示，長(zhǎng)方形是由兩個(gè)正方形拼成的，正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線為，長(zhǎng)方形對(duì)角線為．一只螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)．（1）求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)（只能按箭頭所示的三條路線走），并說明理由；（2）如果把右邊的正方形沿翻轉(zhuǎn)得到如圖2所示的正方體相鄰的兩個(gè)面（實(shí)線表示），則螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)是多少？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出路線圖，若與圖中的線段有交點(diǎn)，則要標(biāo)明并說明交點(diǎn)的準(zhǔn)確位置．（可測(cè)量猜想判斷）專題01勾股定理一．勾股定理（2022春?柳州期末）如圖，在中，，，，則A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可．【解答】解：在中，，由勾股定理得：．故選：．（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，以的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若，則圖中陰影部分的面積為A．3 B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：，則，故選：．（2022春?鄖陽區(qū)期末）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑，口杯內(nèi)部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是．A．9 B．10 C．11 D．12【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再比較大小即可．【解答】解：如圖，連接，由題意知，，，由勾股定理得，，，，故選：．（2022春?瓊海期末）勾股定理是中國(guó)幾何的根源，中華數(shù)學(xué)的精髓，諸如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關(guān)系，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)如下圖形：在中，，圖中以、、為邊的四邊形都是正方形，并且經(jīng)測(cè)量得到三個(gè)正方形的面積分別為225、400、，則的值為A．25 B．175 C．600 D．625【分析】由勾股定理得：，直接代入計(jì)算即可．【解答】解：在中，，由勾股定理得：，，．故選：．（2021秋?市北區(qū)期末）如圖，在三角形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為A．15 B． C．9 D．【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知和等腰三角形的性質(zhì)得出和，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，的長(zhǎng)即為所求，，為的中點(diǎn)，，，，在中，由勾股定理得：，，，解得故選：．（2022春?北京期末）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)的直角三角形（如圖演化而成的．如果圖2中的，那么的長(zhǎng)為A． B．4 C．3 D．【分析】，根據(jù)勾股定理可得，，找到的規(guī)律，即可計(jì)算的長(zhǎng)．【解答】解：，由勾股定理可得，，，，．故選：．二．勾股定理的證明（2022春?綦江區(qū)期末）勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是A． B． C． D．【分析】勾股定理有兩條直角邊，一條斜邊，共三個(gè)量，根據(jù)勾股定理的概念即可判斷．【解答】解：在選項(xiàng)中，由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，，整理可得，選項(xiàng)可以證明勾股定理，在選項(xiàng)中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，選項(xiàng)可以證明勾股定理，在選項(xiàng)中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，選項(xiàng)可以說明勾股定理，在選項(xiàng)中，大正方形的面積等于四個(gè)矩形的面積的和，，以上公式為完全平方公式，選項(xiàng)不能說明勾股定理，故選：．（2021秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用，表示直角三角形的兩直角邊，請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是A． B． C． D．【分析】由題意，①②可得記為③，①③得到由此即可判斷．【解答】解：由題意，①②可得③，，①③得，，①③④正確，②錯(cuò)誤．故選：．（2021春?撫順期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是A． B． C． D．【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．【解答】解：、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．（2020春?高唐縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為48，小正方形的面積為6，則的值為A．60 B．79 C．84 D．90【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長(zhǎng)為，再根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解答】解：由圖可知，，，，．故選：．（2020春?乳山市期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形．連接，相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)．若，則的值是．【分析】先證明，得出．設(shè)，則，，再由勾股定理得出，即可得出答案．【解答】解：四邊形為正方形，，，，，，又，，，，，，．設(shè)，為，的交點(diǎn)，，，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，，，，，故答案為：．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．【分析】證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用四邊形面積等于和的面積之和，化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．【解答】解：由圖可得：正方形的面積四邊形的面積和的面積之和，即，，整理得：．三．勾股定理的逆定理（2022春?靖西市期末）在中，若，則A． B． C． D．不能確定【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案．【解答】解：，，．故選：．（2022春?普蘭店區(qū)期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是A．6，7，8 B．5，6，7 C．4.5，6，7.5 D．4，5，6【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：、，，，，7，8不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故不符合題意；、，，，，6，7不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故不符合題意；、，，，，6，7.5能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故符合題意；、，，，，5，6不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故不符合題意；故選：．（2021秋?濱?？h期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是A．1，，2 B．5，12，13 C．5，6，7 D．7，24，25【分析】利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．6，8，11【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形，逐一判定即可．【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；、，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．（2022春?鳳泉區(qū)校級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，不是直角三角形的是A．，， B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：、，是直角三角形，不符合題意；、，，即是直角三角形，不符合題意；、，，，即是直角三角形，不符合題意；、，，，，，即不是直角三角形，符合題意．故選：．（2021秋?萊陽市期末）下列不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方或最大角是否是即可．【解答】解：、由，可得，故是直角三角形，不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；、，，故不是直角三角形，符合題意；、，，故是直角三角形，不符合題意；故選：．（2022春?廉江市期末）下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長(zhǎng)的是A．，，2 B．5，7，11 C．9，12，15 D．15，20，25【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：．，，，以，，2為邊的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，以5，6，11為邊的三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；．，，，以9，12，15為邊的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，以15，20，25為邊的三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．四．勾股數(shù)（2021秋?常寧市期末）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：、，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)正確；、，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，三邊是整數(shù)，同時(shí)能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．（2021秋?揭西縣期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．1，，2 B．0.3，0.4，0.5 C．8，15，17 D．5，6，7【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方，從而得出答案．【解答】解：，，2不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；，是勾股數(shù)；，不是勾股數(shù)；故選：．（2022春?曲靖期末）觀察下面幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；請(qǐng)你根據(jù)規(guī)律寫出第⑤組勾股數(shù)是12，35，37．【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是，第二個(gè)是：，第三個(gè)數(shù)是：．根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可解答．【解答】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是；第二個(gè)是：；第三個(gè)數(shù)是：．所以第⑤組勾股數(shù)是12，35，37．故答案為：12，35，37．（2022春?寧江區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，7，8 D．5，12，13【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)判定即可．【解答】解：、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，符合題意；故選：．（2022春?來賓期末）閱讀理解：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方和，即，那么稱為廣義勾股數(shù)，則下面的四個(gè)結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是A．②④ B．①②④ C．①② D．①④【分析】根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確；②，是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯(cuò)誤；④設(shè)，，則，或時(shí)，兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積不一定是廣義勾股數(shù)，如2和2都是廣義勾股數(shù)，但，4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯(cuò)誤，依次正確的是①②．故選：．五．勾股定理的應(yīng)用（2022春?惠州期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)少走的路長(zhǎng)為，計(jì)算即可．【解答】解：由勾股定理得，，少走的路長(zhǎng)為，故選：．（2022春?夏津縣期末）如圖，長(zhǎng)為的橡皮筋放置在軸上，固定兩端和，然后把中點(diǎn)向上拉升至點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可求出、的長(zhǎng)，則即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離．【解答】解：根據(jù)題意得：，，，則在中，，；根據(jù)勾股定理得：；所以；即橡皮筋被拉長(zhǎng)了；故選：．（2022春?棗陽市期末）一個(gè)門框的尺寸如圖所示，下列長(zhǎng)寬型號(hào)（單位：的長(zhǎng)方形薄木板能從門框中通過的是A． B． C． D．【分析】解答此題先要弄清題意，只要求出門框?qū)蔷€的長(zhǎng)再與已知薄木板的寬相比較即可得出答案．【解答】解：薄木板不能從門框內(nèi)通過．理由如下：連接，則與、構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得．只有薄木板能從門框內(nèi)通過，故選：．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高．若這支鉛筆長(zhǎng)為，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)度．然后求其差．【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：，，在中：，所以，．則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度在之間．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)符合題意．故選：．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個(gè)水池，水面的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁茿．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺【分析】先設(shè)水池的深度為尺，則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為尺，根據(jù)勾股定理可得方程，再解即可．【解答】解：設(shè)水池的深度為尺，由題意得：，解得：，所以．即：這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁?7尺．故選：．（2021秋?中牟縣期末）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從點(diǎn)處推開雙門，雙門間隙的長(zhǎng)度為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)到門檻的距離都為1尺尺寸），則的長(zhǎng)是A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸【分析】取的中點(diǎn)，過作于，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解答】解：取的中點(diǎn)，過作于，如圖2所示：由題意得：，設(shè)寸，則（寸，寸，寸，寸，在中，，即，解得：，（寸，寸，故選：．六．平面展開-最短路徑問題（2022春?郾城區(qū)期末）如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，最短路程是．A． B． C．120 D．130【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【解答】解：如圖所示，它的每一級(jí)的高為，寬，長(zhǎng)，．答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程是，故選：．（2022春?長(zhǎng)壽區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為和，高為．若一只螞蟻從點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為13．【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：，．故答案為：13．（2021秋?麥積區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為15．（杯壁厚度不計(jì)）【分析】將杯子側(cè)面展開，建立關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，連接，則即為最短距離，．故答案為：15．（2021秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)處有一滴糖漿，容器外點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)距底部，請(qǐng)問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）A． B． C． D．【分析】將容器側(cè)面展開，建立關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【解答】解：將容器的側(cè)面展開，如圖所示：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，由題意得：，，，，，由勾股定理得：．故選：．（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是3米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是米．【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接、，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，過作于，連接，米，米，米，米，（米．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．（2022春?威寧縣期末）如圖，在中，，，則邊上的高的長(zhǎng)為A．4 B． C． D．5【分析】過作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出底邊上的高的長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，再以為底，利用三角形的面積計(jì)算出邊上的高即可．【解答】解：過作于點(diǎn)，，是等腰三角形，，，在中，，，，解得．故選：．（2022春?景縣期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，如果的面積為1，則它的周長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得；然后利用勾股定理、三角形的面積求得的值，則易求該三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，．又的面積為1，，則．，（舍去負(fù)值），，即的周長(zhǎng)是．故選：．（2021秋?船山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中，如圖從點(diǎn)到點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離的走法共有A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】如圖所示，找出從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離的走法即可．【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如圖所示，最短路程長(zhǎng)為，則從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離的走法共有3種，故選：．（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則的值為110．【分析】可得出和，變形可得結(jié)果．【解答】解：由題意得，，，，，，故答案為：110．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期末）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．【分析】證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用四邊形面積等于和的面積之和，化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．【解答】解：由圖可得：正方形的面積四邊形的面積和的面積之和，即，，整理得：．（2022春?灞橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）求邊的長(zhǎng)．（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．【分析】利用勾股定理求解的長(zhǎng)，再分3中情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算可求解．【解答】解：在中，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖1，則，，在中，，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖2，則；當(dāng)時(shí)，如圖3，則；，綜上，的值為或10或16．（2021秋?密山市校級(jí)期末）已知：如圖1，中，，為中點(diǎn)，、分別交于，交于，且．（1）如果，求證：；（2）如圖2，如果，（1）中結(jié)論還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，通過證明，即可得出答案；（2）延長(zhǎng)至，使，連接、，根據(jù)（1）通過證明，即可得出答案．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．，，．，，．，．又，．．（3分）（2）成立．證明：延長(zhǎng)至，使，連接、．，，．，．．．又，，．（7分）（說明：本題提供的兩種證法對(duì)（1）、（2）兩問均適用）（2022春?韓城市期末）已知：如圖，四邊形，，，，，且．求四邊形的面積．【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．【解答】解：連接．，