人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二第8章 立體幾何初步 章末測試（提升）（解析版）

第8章立體幾何初步章末測試（提升）考試時間：120分鐘滿分：150分單選題(每題只有一個選擇為正確答案，每題5分，8題共40分)1．（2022秋·四川）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中邊上的中線的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用斜二測畫法將直觀圖還原如圖，易知此時，，又由軸得軸，故，不妨設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以在中，，即中邊上的中線的長度為.故選：A..2．（2023吉林長春）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【解析】由正弦定理得,△外接圓直徑為，得r=3.設(shè)球心到平面的距離為，則.∴三棱錐的外接球半徑為.故選：C3．（2023上海浦東新·）用一個平面截正方體，截面圖形可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角梯形C．有兩個內(nèi)角相等的五邊形 D．正七邊形【答案】C【解析】用一個平面截正方體，截面圖形可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形.對于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角三角形.如圖所示的截面三角形.設(shè)，所以，，.所以由余弦定理得：所以為銳角.同理可求：為銳角，為銳角.所以為銳角三角形.故A錯誤；對于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.故B錯誤；對于C：如圖示的截面圖為五邊形，并且有兩個角相等.故C正確；對于D：因?yàn)檎襟w有六個面，所以一個平面截正方體，邊數(shù)最多為6.所以D錯誤.故選：C4．（2023山東煙臺）米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為、，側(cè)棱長為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克【答案】C【解析】設(shè)該正棱臺為，其中上底面為正方形，取截面，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，且，，，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得，又因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)椋字?，故四邊形為矩形，則，，所以，，故該正四棱臺的高為，所以，該米斗的體積為，所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為.故選：C.5．（2022秋·廣西）在中，，，現(xiàn)以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中點(diǎn)為，則可看作兩個直角三角形和，將以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于將和，分別以直角邊和為軸旋轉(zhuǎn)，可得到兩個同底等高的圓錐構(gòu)成的組合體.∵，，∴，，，圓錐的底面圓面積，高為，體積，故所求旋轉(zhuǎn)體體積為．故選：D.6．（江西省吉安市2023屆）已知是圓錐的一條母線，是底面圓的一條直徑，為正三角形，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，延長交圓于，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，則為與所成的角，不妨設(shè)圓的半徑為，則，，因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，，則，在中，，由余弦定理可得，所以，．故選：A．7．（2022秋·黑龍江大興安嶺地）如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，有下列四個結(jié)論：①與是異面直線；②，，相交于一點(diǎn)；③；④平面．其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】對于①，因?yàn)?，，所以，又，所以與是相交直線，則①不正確；對于②，設(shè)，面面，面面，所以平面，平面，又面面，所以，，相交于一點(diǎn)，②正確；對于③，令，連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，則為平行四邊形，所以，而，所以③不正確；對于④，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，④正確．綜上所述，②④正確，故選：B．8．（2021秋·吉林長春）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中錯誤的是（

）A．EF平面B．C．EF與AD1所成角為60°D．EF與平面所成角的正弦值為【答案】C【解析】對于A，連接BD1，在中，E、F分別為D1D、DB的中點(diǎn)，則EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正確；對于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正確；對于C，由，得EF與AD1所成角為.在中，，所以，所以EF與AD1所成角不為60°，故C錯誤；對于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，在中，，所以，故D正確．故選：C．多選題（每題至少有兩個選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022秋·云南）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1甲)，圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】ACD【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；圓臺的母線長，所以圓臺的高，故A正確；圓臺的體積，故B錯誤；圓臺的表面積，所以C正確；由于圓臺的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，即D正確.故選：ACD.10．（2022·云南）如圖，在三棱柱中，已知點(diǎn)G，H分別在，上，且GH經(jīng)過的重心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，且B、C、G、H四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C． D．平面平面【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)槠矫妗纹矫鍭BC，平面平面，平面平面，所以∥，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以∥，，所以∥，所以A正確，對于B，由選項(xiàng)A可知∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以B正確，對于C，因?yàn)椤?，∥，所以∥，因?yàn)镚H經(jīng)過的重心，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椤?，所以四邊形為梯形，且與為腰，所以與必相交，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面與平面相交，所以D錯誤，故選：ABC11．（2022秋·江西宜春）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（

）A．長方體的表面積為20B．長方體的體積為6C．沿長方體的表面從A到的最短距離為D．沿長方體的表面從A到的最短距離為【答案】BC【解析】長方體的表面積為，A錯誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面和側(cè)面展開，

則有，即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時的最短距離是；如圖（3）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是；如圖（4）所示，將側(cè)面和底面展開，

則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是.因?yàn)椋匝亻L方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確.故選：BC.12．（2022秋·江西撫州）如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．M，N，A，B四點(diǎn)共面 B．直線與平面相交C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為2【答案】BCD【解析】A：連接，如下圖面，而面，面，所以M，N，A，B四點(diǎn)不共面，錯誤；B：若為中點(diǎn)，連接，N為棱的中點(diǎn)，由長方體性質(zhì)知：，顯然面，若面，而面，顯然有矛盾，所以直線與平面相交，正確；C：若分別是中點(diǎn)，連接，由長方體性質(zhì)易知：，而，故，即直線和所成的角為，由題設(shè)，易知，即△為等邊三角形，所以為，正確；D：若分別是中點(diǎn)，顯然，易知共面，所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，而面面，長方體中，，如下圖，為和面夾角的平面角，，正確.故選：BCD三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2022秋·上海黃浦）如圖，在三棱柱中，，，，側(cè)棱的長為1，則該三棱柱的高等于________【答案】【解析】過作平面、直線的垂線，交點(diǎn)分別為O，D，E，連接OD、OC、OE，則即為三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四邊形為矩形，在直角三角形和中，，，側(cè)棱的長為1，則，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案為：.14．（2022秋·安徽六安）正三棱錐的側(cè)棱長為，為的中點(diǎn)，且，則三梭錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】為中點(diǎn)，，，，，又，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，又三棱錐為正三棱錐，側(cè)面為全等的等腰直角三角形，三棱錐為如圖所示的棱長為的正方體的一角，該正方體的外接球即為三棱錐的外接球，正方體外接球半徑，所求外接球表面積.故答案為：.15．（2022·四川雅安）如圖，在長方體中，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱上靠近的三等分點(diǎn)，直線BE與平面所成角為.給出以下4個結(jié)論：①平面；

②；③平面平面；

④B，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.【答案】①②③【解析】設(shè)，連接，則，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故①正確；連接，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，所以，又，，所以，故②正確；由題可知平面，所以為直線BE與平面所成角，即，則，，所以，又平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故③正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，則B，E，F(xiàn)確定平面，由，可得，又點(diǎn)是棱上靠近的三等分點(diǎn)，所以平面，故④錯誤，所以所有正確結(jié)論的序號為①②③.故答案為：①②③.16．（2022秋·遼寧）正方體的棱長為1，點(diǎn)P是內(nèi)不包括邊界的動點(diǎn)，若，則線段AP長度的最小值為___________.【答案】【解析】與相交于，連接，，，，，，故平面，，故平面，P是內(nèi)不包括邊界的動點(diǎn)，故在上，當(dāng)時，最小中，，，根據(jù)等面積法：.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2022春·上海浦東新）已知在直角三角形中，，（如圖所示）(1)若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.(2)一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離.【答案】(1)(2)【解析】（1）在直角三角形中，由即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為.（2）由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點(diǎn)的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形，最短距離就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，，在中，由余弦定理得.18．（2023·云南）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：平面.(2)當(dāng)平面，求出點(diǎn)的位置，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)M，點(diǎn)M為PD上靠近P點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析.【解析】（1）取中點(diǎn)為，連接，在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，面面，平面；（2）連接，相交于，連接，面，面面面，，，即存在點(diǎn)M，M為PD上靠近P點(diǎn)的三等分點(diǎn).19．（2022秋·廣西玉林）如圖，已知正三棱柱的底面邊長是2，D是側(cè)棱的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面所成的角為45°．(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)求二面角A－BD－C的正切值；(3)求點(diǎn)C到平面ABD的距離．【答案】(1)(2)3(3)【解析】（1）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為x，取BC中點(diǎn)E，連接AE，∵是正三角形，∴，又底面?zhèn)让?，且兩平面交線為BC，∴側(cè)面．連接ED，則∠ADE為直線AD與側(cè)面所成的角，∴∠ADE＝45°，在中，，解得，∴此正三棱柱的側(cè)棱長為．（2）過E作于F，連接AF，∵側(cè)面，∴，可知，∴∠AFE為二面角A－BD－C的平面角．在中，，又BE＝1，，∴．又，∴在中，．（3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交線為AF．過E作于G，則平面ABD．∴EG的長為點(diǎn)E到平面ABD的距離．在中，．∵E為BC中點(diǎn)，∴點(diǎn)C到平面ABD的距離為．20．（2022天津）如圖，在四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，平面.(1)證明：平面(2)求證：平面平面(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】（1）∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴平行四邊形為正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，∴∴為二面角的平面角，從而，所以，作于，連接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以為直線與平面所成角，在直角中，，，，∴，因?yàn)槊?，面，所以，在直角中，，，?/p>