第06講圓(原卷版+解析)

第06講圓【知識梳理】一．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．三．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．四．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【考點剖析】一．圓的認識（共4小題）1．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，則∠ACD＝度．2．（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．直徑是圓中最長的弦，有4條 B．長度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的8倍 D．已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上3．（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π4．（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（）A． B． C． D．二．點與圓的位置關系（共7小題）5．（2022秋?上城區(qū)期末）已知⊙O的面積為25π，若PO＝5.5，則點P在．6．（2022秋?諸暨市期末）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（）A．0＜r＜6 B．0＜r≤6 C．r＞6 D．r≥67．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若⊙O的半徑為5cm，平面上有一點A，OA＝6cm，則點A與⊙O的位置關系是點A在⊙O（填“內(nèi)、上、外”）8．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O為圓心，為半徑作圓，則在⊙O外的點是（）A．M B．N C．P D．Q9．（2023?紹興模擬）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b，求點P到直線y＝kx+b的距離d可用公式d＝計算．根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，⊙C的圓心C的坐標為（1，1），半徑為1，直線l的表達式為y＝﹣2x+6，P是直線l上的動點，Q是⊙C上的動點，則PQ的最小值是．10．（2023?平湖市一模）平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設ON＝t（1＜t＜2），點P的坐標為（﹣4，0）．將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關于點N的對稱點Q，連接PQ．當點M在⊙O上運動時，PQ長度的最大值與最小值的差為．（用含t的式子表示）11．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C是⊙M上的三個點，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）圓心M的坐標為；（2）判斷點D（4，﹣3）與⊙M的位置關系．三．確定圓的條件（共4小題）12．（2022秋?永康市校級月考）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊13．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）14．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）確定一個圓（填“能”或“不能”）．15．（2021秋?秀洲區(qū)校級期中）將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．四．三角形的外接圓與外心（共7小題）16．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑為2cm，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為（）A．2cm B．2cm C．cm D．2cm17．（2022秋?越城區(qū)期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．518．（2023?濱江區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓半徑長是．19．（2022?海曙區(qū)校級開學）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．20．（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半徑；（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。?1．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．22．（2022?鄞州區(qū)校級開學）如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，2），點P是△AOB外接圓上一點，且∠AOP＝45°，OP與AB交于C點．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）求OC及AC的長；（3）求OP的長及點P的坐標．

【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）已知點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，則點A到圓心的距離可能是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．（2023秋·浙江·九年級期末）已知點P到圓心O的距離為3，若點P在圓外，則的半徑可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·浙江·九年級專題練習）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江·九年級專題練習）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點可以確定一個圓，則以下P點坐標不滿足要求的是（

）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）5．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學教育集團?？茧A段練習）的外心在三角形的一邊上，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷6．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．57．（2023·浙江·模擬預測）如圖，是的外接圓，則點O是的（

）A．三條高線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點8．（2023春·浙江·九年級開學考試）下列命題中，是真命題的是（

）A．長度相等的兩條弧是等弧B．順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是菱形C．正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D．三角形的內(nèi)心到這個三角形三個頂點的距離相等9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）已知點是數(shù)軸上一定點，點是數(shù)軸上一動點，點表示的實數(shù)為，點所表示的實數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點在外，則的值可能是（）.A． B． C． D．10．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，是斜邊上的中線，以為直徑作，設線段的中點為P，則點P與的位置關系是（

）A．點P在內(nèi) B．點P在上C．點P在外 D．點P不在內(nèi)二、填空題11．（2022秋·九年級單元測試）下列說法中正確的有__（填序號）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等??；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點，，的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為_______．13．（2023春·浙江·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為，C為坐標平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接的最大值為_____．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，延長至點，使，現(xiàn)以點為圓心，以為半經(jīng)畫弧，與直線交于點，則的長為______．15．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以點B為圓心，長為半徑作弧，交直線于點P，連結，則的度數(shù)是______．16．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，點A，B，C在⊙O上，，，則_____．17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，P是上的動點，交半圓于點C，已知，則的最大值是______．

18．（2021秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點P是鈍角的外心，點A、B、P的坐標分別為，，，若第一象限的點C橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，則點C的坐標為______．三、解答題19．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，，交于點，且，求弧的度數(shù)．20．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格，的頂點均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)在圖①中，作出的重心G．(2)在圖②中，作出的外心O．21．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）在88的方格中，已知的各頂點都在格點上(1)如圖，請僅用一把無刻度的直尺按要求作圖（請直接用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作圖，不要求寫作法）．找出外接圓的圓心．(2)若，試求的半徑．22．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是由邊長為1的小正方形構成的6×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，經(jīng)過A、B、C、D四個格點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程中起輔助作用的用虛線表示，畫圖結果用實線表示，并用黑色水筆描黑）(1)如圖1，判斷圓心O______（填“是”或“不是”）在格點上，并在圖1中標出格點O；(2)在圖1中畫出的切線（G為格點）；(3)在圖2中畫出的中點E；23．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．請按要求畫格點線段EF（端點在格點上），且EF分別交線段AB，AC于點G，H．(1)在圖1中作出∠AHG＝∠C．(2)在圖2中作出∠AGH＝∠C．24．（2021秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與x軸正半軸交于點，與y軸交于點，點P是線段上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點C，交直線于點D．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在和中，當其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時，求點P的坐標；(3)若的外接圓恰好經(jīng)過點A，求此時點C的坐標．25．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸是直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當為直角三角形時，求的值；(3)如圖2，為的外接圓，在點的運動過程中，點也隨之運動變化，請你探究：在時，求點經(jīng)過的路徑長度．

第06講圓【知識梳理】一．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．三．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．四．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【考點剖析】一．圓的認識（共4小題）1．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，則∠ACD＝10度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角及三角形內(nèi)角和定理可求得∠BCD的度數(shù)，從而不難求得∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°∴∠B＝50°∵BC＝CD∴∠B＝∠BDC＝50°∴∠BCD＝80°∴∠ACD＝10°．【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角．2．（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．直徑是圓中最長的弦，有4條 B．長度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的8倍 D．已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上【分析】根據(jù)圓的相關概念進行分析即可．【解答】解：A、直徑是圓中最長的弦，有無數(shù)條，故該選項不符合題意；B、在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，故該選項不符合題意；C、如果⊙A的周長是⊙B周長的4倍，那么⊙A的面積是⊙B面積的16倍，故該選項不符合題意；D、已知⊙O的半徑為8，A為平面內(nèi)的一點，且OA＝8，那么點A在⊙O上，故該選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了圓的認識，熟練掌握圓的相關概念是解題的關鍵．3．（2022秋?東陽市月考）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】根據(jù)題意、利用圓的面積公式計算即可．【解答】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，即π×22﹣π×12＝3π，故選：C．【點評】本題考查的是圓的認識、圓的面積的計算，掌握圓的面積公式是解題的關鍵．4．（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓的定義分析即可．【解答】解：根據(jù)題意得，A圖形為圓．故答案為：A．【點評】本題考查了圓的認識，熟練掌握圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”是解題的關鍵．二．點與圓的位置關系（共7小題）5．（2022秋?上城區(qū)期末）已知⊙O的面積為25π，若PO＝5.5，則點P在⊙O外．【分析】先根據(jù)圓的面積公式計算出圓的半徑為5，然后根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷．【解答】解：設圓的半徑為R，根據(jù)題意得2πR2＝25π，解得R＝5，∵PO＝5.5，∴PO＞R，∴點P在⊙O外．故答案為⊙O外．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．6．（2022秋?諸暨市期末）點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（）A．0＜r＜6 B．0＜r≤6 C．r＞6 D．r≥6【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系，若點到圓心的距離為d，圓的半徑r，則d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．【解答】解：∵點P到圓O的距離為6，若點P在圓O外，∴OP＞r，即0＜r＜6．故選：A．【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．解決此類題目的關鍵是首先確定點與圓心的距離，然后與圓的半徑進行比較，進而得出結論．7．（2022秋?拱墅區(qū)校級期中）若⊙O的半徑為5cm，平面上有一點A，OA＝6cm，則點A與⊙O的位置關系是點A在⊙O外（填“內(nèi)、上、外”）【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系；利用d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)判斷出即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，OA＝6cm，∴d＞r，∴點A與⊙O的位置關系是：點A在⊙O外，故答案為：外．【點評】此題主要考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．8．（2022秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為1），有5個點，M，N，O，P，Q，以O為圓心，為半徑作圓，則在⊙O外的點是（）A．M B．N C．P D．Q【分析】根據(jù)點與圓的位置關系即可求解．【解答】解：∵OQ＝，OP＝，ON＝2，OM＝，∴在⊙O外的點是P，故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．9．（2023?紹興模擬）已知點P（x0，y0）和直線y＝kx+b，求點P到直線y＝kx+b的距離d可用公式d＝計算．根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，⊙C的圓心C的坐標為（1，1），半徑為1，直線l的表達式為y＝﹣2x+6，P是直線l上的動點，Q是⊙C上的動點，則PQ的最小值是．【分析】求出點C（1，1）到直線y＝﹣2x+6的距離d即可求得PQ的最小值．【解答】解：過點C作CP⊥直線l，交圓C于Q點，此時PQ的值最小，根據(jù)點到直線的距離公式可知：點C（1，1）到直線l的距離d＝＝，∵⊙C的半徑為1，∴PQ＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的應用、點到直線的距離公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．10．（2023?平湖市一模）平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設ON＝t（1＜t＜2），點P的坐標為（﹣4，0）．將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關于點N的對稱點Q，連接PQ．當點M在⊙O上運動時，PQ長度的最大值與最小值的差為4t﹣4．（用含t的式子表示）【分析】根據(jù)題意作出點P和點Q，連接P'M，并延長PM至點B，使得P'M＝BM，連接BQ并延長交PO的延長線于點C，證明四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，求出PC和CQ的長度，根據(jù)三角形三邊關系即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意作出點P和點Q，連接P'M，并延長P'M至點B，使得P'M＝BM，連接BQ并延長交PO的延長線于點C，如圖，∵P'，Q關于N對稱，∴P'N＝NQ，∵P'M＝BM，∴BQ＝2MN＝2×（OM﹣ON）＝2（2﹣t）＝4﹣2t，且MN∥BQ，∵將點P沿OM方向平移2個單位，∴PP'∥OM∥BQ，P'M∥PO，∴四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形P'POM為平行四邊形，∵將點P沿OM方向平移2個單位，∴P'P＝BC＝2，∴QC＝BC﹣BQ＝2﹣（4﹣2t）＝2t﹣2，∵點P的坐標為（﹣4，0），∴PC＝P'B＝2P'M＝8，由圖得，PC﹣CQ≤PQ≤PC+CQ，∴PQ的最大值為PC+CQ＝8+（2t﹣2）＝2t+6，PQ的最小值為PC﹣CQ＝8﹣（2t﹣2）＝10﹣2t，∴PQ長度的最大值與最小值的差為2t+6﹣（10﹣2t）＝4t﹣4．故答案為：4t﹣4．【點評】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關鍵．11．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，A、B、C是⊙M上的三個點，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）圓心M的坐標為（2，0）；（2）判斷點D（4，﹣3）與⊙M的位置關系．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．（2）求出⊙M的半徑，MD的長即可判斷；【解答】解：（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，0）故答案為：2，0．（2）圓的半徑AM＝＝2，線段MD＝＝＜2，所以點D在⊙M內(nèi)．【點評】本題主要考查確定圓的條件和坐標與圖形性質(zhì)的知識點，點與圓的位置關系等知識，能夠根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心的位置是解決問題的關鍵．三．確定圓的條件（共4小題）12．（2022秋?永康市校級月考）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．13．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）【分析】根據(jù)題意可知點P的橫坐標為4，設點P的坐標為（4，y），根據(jù)PA＝PC列出關于y的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P經(jīng)過點A、B、C，∴點P在線段AB的垂直平分線上，∴點P的橫坐標為4，設點P的坐標為（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由題意得，＝，解得，y＝，故選：C．【點評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點作圓，圓心是過任意兩點的線段的垂直平分線的交點．14．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓（填“能”或“不能”）．【分析】根據(jù)三個點的坐標特征得到它們不共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x軸，而點A（1，0）在x軸上，∴點A、B、C不共線，∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．故答案為：能．【點評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．15．（2021秋?秀洲區(qū)校級期中）將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心；（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R＝cm，∴圓片的半徑R為cm．【點評】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設和結論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣?。趹么箯蕉ɡ斫忸}時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．四．三角形的外接圓與外心（共7小題）16．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑為2cm，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為（）A．2cm B．2cm C．cm D．2cm【分析】連接OA、OP，連接OB交AP于H，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根據(jù)正弦的概念計算即可．【解答】解：連接OA、OP，連接OB交AP于H，由圓周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，∵PB＝AB，∴∠POB＝60°，OB⊥AP，∵⊙O的半徑為2cm，∴OP＝2cm，∴AH＝PH＝OP?sin∠POB＝2×＝（cm），∴AP＝2AH＝2（cm）．故選：B．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、解直角三角形的知識是解題的關鍵．17．（2022秋?越城區(qū)期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．【解答】解：直角三角形兩條直角邊為3，4，那么此直角三角形的斜邊為，即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5，故選：C．【點評】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關鍵是求出直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．18．（2023?濱江區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓半徑長是．【分析】連接BC，CD，作BC，CD的垂直平分線，兩直線相交于O，即可找到四點共圓的圓心，再利用勾股定理可求解該圓的半徑．【解答】解：連接BC，CD，作BC，CD的垂直平分線，兩直線相交于O，則O為△BCD的外接圓的圓心，OB為外接圓的半徑，由勾股定理得OB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，找到圓心是解題的關鍵．19．（2022?海曙區(qū)校級開學）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；（2）延長AO交BC于點H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長AO交BC于點H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．【點評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，第（1）關鍵在證明三角形全等；第（2）題關鍵由勾股定理列出方程組．20．（2022秋?蓮都區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半徑；（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。痉治觥浚?）連接OA并延長AO交BC于E，證明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得結論；（2）設∠ABD為x，用x表示出有關的角，再列方程即得答案．【解答】解：（1）連接OA并延長AO交BC于E，∵AB＝AC，∴＝，∵AE過圓心O，∴AE垂直平分BC，∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ABD＝BAC＝30°，∴∠CBD＝30°，∴OB＝8，故⊙O的半徑為8；（2）設∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，①若BD＝BC，則∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，②若BC＝CD，則∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，綜上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD為67.5°或72°．【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，關鍵是垂徑定理及等腰三角形性質(zhì)的應用．21．（2022秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系定理證明結論；（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：連接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理是解題的關鍵．22．（2022?鄞州區(qū)校級開學）如圖所示，已知A，B兩點的坐標分別為（2，0），（0，2），點P是△AOB外接圓上一點，且∠AOP＝45°，OP與AB交于C點．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）求OC及AC的長；（3）求OP的長及點P的坐標．【分析】（1）根據(jù)A（2，0），B（0，2），可得OA＝2，OB＝2，進而可以解決問題；（2）過點C作CD⊥x軸于點D，可得OC＝OD，AC＝2CD＝2OD，然后根據(jù)AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，求出OD的長，進而可以解決問題；（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，根據(jù)圓周角定理由∠AOB＝90°，得到AB為△AOB外接圓的直徑，則∠BPA＝90°，再利用勾股定理計算出AB＝4，根據(jù)圓周角定理由∠AOP＝45°得到∠PBA＝45°，則可判斷△PAB和△POH都為等腰直角三角形，所以PA＝AB＝2，PH＝OH，設OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，根據(jù)勾股定理得到OP的長和P點坐標．【解答】解：（1）∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴∠BAO＝30°；（2）如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，∵∠AOP＝45°，∴∠OCD＝45°，∴DC＝DO，∴OC＝OD，由（1）知：∠BAO＝30°，∴AC＝2CD＝2OD，AD＝CD＝OD，∵AO＝OD+AD＝（+1）OD＝2，∴OD＝3﹣，∴OC＝（3﹣）＝3﹣，AC＝2（3﹣）＝6﹣2；∴OC及AC的長分別為3﹣，6﹣2；（3）作PH⊥x軸于H，連接PA、PB，如圖，∵∠AOB＝90°，∴AB為△AOB外接圓的直徑，∴∠BPA＝90°，∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴∠PBA＝45°，∴△PAB和△POH都為等腰直角三角形，∴PA＝AB＝2，PH＝OH，設OH＝t，則PH＝t，AH＝2﹣t，在Rt△PHA中，∵PH2+AH2＝PA2，∴t2+（2﹣t）2＝（2）2，整理得t2﹣2t+2＝0，解得t1＝+1，t2＝﹣1（舍去），∴OH＝PH＝+1，∴OP＝OH＝+；∴P點坐標為（+1，+1）．【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，坐標與圖形性質(zhì)，解決本題的關鍵是得到△PAB和△POH都為等腰直角三角形．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）已知點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，則點A到圓心的距離可能是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【分析】由圓點的半徑是2cm，根據(jù)點與圓的位置關系的性質(zhì)，結合點P在圓內(nèi)，得到點P到圓心的距離的范圍，再根據(jù)各選項進行判斷即可．【詳解】解：∵點A在半徑為2cm的圓內(nèi)，∴點A到圓心的距離小于2cm，故選：A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，熟練掌握點在圓上時，點到圓心的距離等于半徑；點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑；點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑．2．（2023秋·浙江·九年級期末）已知點P到圓心O的距離為3，若點P在圓外，則的半徑可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)點與圓的位置關系判斷得出即可．【詳解】解：∵點P在圓外，且，∴，故選：A．【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種．設的半徑為r，點P到圓心的距離，則有：①點P在圓外則，②點P在圓上則，③點P在圓內(nèi)則．3．（2022秋·浙江·九年級專題練習）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進行求解．【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，∴．∴故選D．【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關鍵．4．（2022·浙江·九年級專題練習）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點可以確定一個圓，則以下P點坐標不滿足要求的是（

）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把每點代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓即可得出答案．【詳解】解：設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，A、當時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；B、當時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；C、當時，，則此時點在同一直線上，不可以確定一個圓，此項符合題意；D、當時，，則此時點不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符題意；故選：C．【點睛】本題考查了確定一個圓、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握確定一個圓的條件是解題關鍵．5．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學教育集團?？茧A段練習）的外心在三角形的一邊上，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心與三角形的位置關系可判斷三角形的形狀，因此可得到答案．【詳解】解：當?shù)耐庑脑诘膬?nèi)部時，則是銳角三角形；當?shù)耐庑脑诘耐獠繒r，則是鈍角三角形；當?shù)耐庑脑诘囊贿厱r，則是直角三角形，且這邊是斜邊．故選B．【點睛】本題考查了三角形的外心，解決本題的關鍵是經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．6．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【答案】C【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．【詳解】直角三角形兩條直角邊為3，4那么此直角三角形的斜邊為即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5故選：C【點睛】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關鍵是判斷直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．7．（2023·浙江·模擬預測）如圖，是的外接圓，則點O是的（

）A．三條高線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點C．三條中線的交點 D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進而得出答案．【詳解】是的外接圓，點O是的三條邊的垂直平分線的交點，故選：B．【點睛】本題考查三角形的外接圓和外心，正確把握外心的定義是解題的關鍵．8．（2023春·浙江·九年級開學考試）下列命題中，是真命題的是（

）A．長度相等的兩條弧是等弧B．順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是菱形C．正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D．三角形的內(nèi)心到這個三角形三個頂點的距離相等【答案】C【分析】根據(jù)等弧的定義即可判斷A；根據(jù)三角形中位線定理即可判斷B；根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可判斷C；根據(jù)外心的定義即可判斷D．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧，長度相等，所對的圓心角度數(shù)相等的弧叫做等弧，故該選項是假命題，不符合題意；B、順次連接平行四邊形四邊中點所組成的圖形是平行四邊形，故該選項是假命題，不符合題意；C、正八邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故該選項是真命題，符合題意；D、三角形的外心到這個三角形三個頂點的距離相等，故該選項是假命題，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，等弧的定義，三角形中位線定理，軸對稱圖形和中心對稱圖形，三角形外心的定義，熟知相關知識是解題的關鍵．9．（2020秋·浙江溫州·九年級期末）已知點是數(shù)軸上一定點，點是數(shù)軸上一動點，點表示的實數(shù)為，點所表示的實數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點在外，則的值可能是（）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點與圓的位置關系計算即可；【詳解】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故選A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，準確分析計算是解題的關鍵．10．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，是斜邊上的中線，以為直徑作，設線段的中點為P，則點P與的位置關系是（

）A．點P在內(nèi) B．點P在上C．點P在外 D．點P不在內(nèi)【答案】A【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再由中位線的性質(zhì)得，最后根據(jù)點和圓的位置關系即可解答．【詳解】解：如圖：連接∵在中，，，，是斜邊上的中線，∴∵點以為直徑作∴∵點是中點，∴是的中位線，∴，∵，∴點在內(nèi)．故選A．【點睛】本題主要考查點和圓的位置關系、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，，求出點到圓心的距離是關鍵．二、填空題11．（2022秋·九年級單元測試）下列說法中正確的有__（填序號）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等??；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。敬鸢浮浚?）（3）（4）【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可．【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說法正確；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長度相等，彎曲程度也要相同；（3）半徑相等的兩個圓是等圓，說法正確；（4）面積相等的兩個圓是等圓，說法正確；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，同一條弦所對的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是直徑．故答案為：（1）（3）（4）．【點睛】本題考查了圓的有關概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關鍵．12．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點，，的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為_______．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為（2，1）．【點睛】本題考查垂徑定理的應用，解答此題的關鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．13．（2023春·浙江·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為，C為坐標平面內(nèi)一點，，點M為線段的中點，連接的最大值為_____．【答案】/【分析】先根據(jù)題意得到點C的運動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，則是的中位線，即可得到，從而得到最大值時，取最大值，此時D、B、C三點共線，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵C為坐標平面內(nèi)一點，，∴點C的運動軌跡是在半徑為2的上，如圖，取，連接，∵點M為線段的中點，∴是的中位線，∴，∴最大值時，取最大值，此時D、B、C三點共線，此時在中，，∴，∴的最大值是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓外一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，坐標與圖形，中位線定理，正確作出輔助線構造中位線是解題的關鍵．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，延長至點，使，現(xiàn)以點為圓心，以為半經(jīng)畫弧，與直線交于點，則的長為______．【答案】1或3/3或1【分析】如圖所示，過點D作于G于F，則由菱形的對稱性可知，證明得到，再證明是等邊三角形，得到，則，同理可證得到，則．【詳解】解：如圖所示，過點D作于G，于F，則由菱形的對稱性可知，又∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴點F是的中點，

∴，同理可得，∴，∴，同理可證得到，∴，∴的長為1或3；故答案為：1或3．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．15．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以點B為圓心，長為半徑作弧，交直線于點P，連結，則的度數(shù)是______．【答案】或/或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到各內(nèi)角的關系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，，∴，則，∴，則，當點在點左側時，如圖，∵，∴，∵，，∴，∴，當點在點右側時，如圖，∵，∴，∵，，∴，∴，綜上，的度數(shù)是或；故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，解答本題的關鍵是畫出合適的輔助線，利用分類討論的方法解答．16．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖，點A，B，C在⊙O上，，，則_____．【答案】/20度【分析】先根據(jù)圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)平行線性質(zhì)得出，求出的度數(shù)，進而求解．【詳解】解：又．故答案為：．【點睛】此題考查了圓、等腰三角形及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的應用，解題的關鍵是各性質(zhì)的綜合應用與角度的計算．17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，P是上的動點，交半圓于點C，已知，則的最大值是______．

【答案】【分析】連接，可得，設，則，則問題轉化為求的最大值，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)和完全平方公式的變形解答即可．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∴，設，則，∵（當且僅當時等號成立）∴，∴（當且僅當時等號成立），∴的最大值是，即的最大值是；故答案為：．

【點睛】本題考查了勾股定理、圓的基本知識、不等式的應用和完全平方公式等知識，靈活應用轉化的思想方法，求得是解題的關鍵．18．（2021秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點P是鈍角的外心，點A、B、P的坐標分別為，，，若第一象限的點C橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，則點C的坐標為______．【答案】（1，4）或（6，5）【分析】根據(jù)三角形的外心是三角形的外接圓圓心，則PA=PB=PC，故以點P為圓心，PA為半徑畫圓，只需點C為圓與格點的交點即可．【詳解】解：因為點P是鈍角的外心，則PA=PB=PC，故以點P為圓心，PA為半徑畫圓，如圖，∵第一象限的點C橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，∴點C為圓P與格點的交點，∵△ABC為鈍角三角形，∴由圖知，滿足條件在點C坐標為：（1，4）或（6，5），故答案為：（1，4）或（6，5）；【點睛】本題考查三角形的外心、坐標與圖形，理解題意，熟知三角形的外心是三角形的外接圓圓心，利用數(shù)形結合思想解決問題是解答的關鍵．三、解答題19．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，，交于點，且，求弧的度數(shù)．【答案】【分析】連接，設，由，可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，求得，繼而求得答案．【詳解】解：連接，設，，，，，，，，，，，解得，，弧的度數(shù)為．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，設出的度數(shù)利用方程思想求解是解此題的關鍵．20．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格，的頂點均在格點上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)在圖①中，作出的重心G．(2)在圖②中，作出的外心O．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）畫出和邊的中線，交點即為點G；（2）畫出中點，以為邊構造等腰三角形，從而畫出的垂直平分線，再和的垂直平分線交于點O即可．【詳解】（1）解：如圖，點G即為所求；（2）如圖，點O即為所求．【點睛】本題考查了復雜作圖，三角形的重心和外心，解題的關鍵是熟練掌握網(wǎng)格的性質(zhì)，能夠找到中點和垂線的畫法．21．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）在88的方格中，已知的各頂點都在格點上(1)如圖，請僅用一把無刻度的直尺按要求作圖（請直接用黑色字跡