滬科版六年級數(shù)學核心知識點與通關(guān)講解練第02講因數(shù)和倍數(shù)(原卷版+解析)

第02講因數(shù)和倍數(shù)【知識梳理】因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.因數(shù)與倍數(shù)的特征：找一個數(shù)的因數(shù)的方法方法一：列除法算式找。用這個數(shù)除以一個整數(shù)，除數(shù)從1開始試除，注意得到的商必須是整數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的因數(shù)的時候，就用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個數(shù)的因數(shù)。方法二：列乘法算式找。根據(jù)除法各部分間的關(guān)系，“被除數(shù)=除數(shù)×商”來找，如，找18的因數(shù)，先看18是哪兩個數(shù)相乘的積，那么這兩個數(shù)就是18的因數(shù)。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一個數(shù)的因數(shù)時，一般要從自然數(shù)1開始一對一對地找，這樣不易遺漏。我們在列乘法算式找一個數(shù)的因數(shù)的時候，把這個數(shù)寫乘兩個整數(shù)相乘的形式，算式中的每個整數(shù)都是這個數(shù)的因數(shù)。找一個數(shù)的倍數(shù)的方法（如找2的倍數(shù)的方法）方法一:列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)?？茨膫€數(shù)除以2，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這個數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是看哪些非0自然數(shù)除以這個數(shù)商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù)。方法二：列乘法算式找。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍數(shù)。我們在列乘法算式找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是用這個數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得到的積就是這個數(shù)的倍數(shù)?！究键c剖析】一、因數(shù)和倍數(shù)的認識一、單選題1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）如果M能被15整除，那么M是（

）A．15 B．30 C．15的倍數(shù) D．15的因數(shù)2．（2019秋·上海靜安·六年級校聯(lián)考期中）下列說法中正確的是（

）A．1是自然數(shù)，并且是最小的自然數(shù) B．1是任何正整數(shù)的因數(shù)C．一個正整數(shù)至少有2個因數(shù) D．整數(shù)可以分為正整數(shù)和負整數(shù)兩類3．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）a÷b＝5（a，b都是非0自然數(shù)），a是b的（

），b是a的（

）．①倍數(shù)

②因數(shù)

③積A．①② B．②① C．③①4．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．3的因數(shù)只有它本身5．（2020秋·六年級?？颊n時練習）下列語句中正確的是（

）A．非負整數(shù)就是自然數(shù) B．存在最小的自然數(shù)，也存在最大的自然數(shù)；C．一個整數(shù)，不是正整數(shù)，就是負整數(shù) D．如果數(shù)a除以數(shù)b恰好除盡，并且商是整數(shù)，那么a一定能被b整除二、填空題6．（2022秋·六年級單元測試）是一個正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．7．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）一個整數(shù)_____________最大的倍數(shù)（填“有”或“無”），而最小的倍數(shù)是___________．8．（2022秋·上海·六年級專題練習）一個數(shù)的因數(shù)中最小的是________________，最大的是__________________．二、因數(shù)和倍數(shù)的求法一、單選題1．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習）A=2×5×7，A的因數(shù)有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．8個2．（2022秋·上海奉賢·六年級?？计谥校┖褪堑模?/p>

）．A．因數(shù) B．素因數(shù) C．合數(shù) D．素數(shù)二、多選題3．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習），其中都是整數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)是b的因數(shù) B．b是a的因數(shù) C．a(chǎn)能被b整除 D．a(chǎn)能整除b三、填空題4．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校校考期中）在6，12，，，，，中_________________既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)．5．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）一個整數(shù)的最小倍數(shù)是201，則這個數(shù)是________．6．（2022秋·上海閔行·六年級?？茧A段練習），則的因數(shù)有_________個．7．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習）一個整數(shù)最小的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．8．（2022秋·上海浦東新·六年級?？计谥校┤绻帽硎綼的全部因數(shù)的和，如，那么______．9．（2022秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學?？计谥校┘仁堑谋稊?shù)又是的因數(shù)的數(shù)是_________．10．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）8的因數(shù)有_______．11．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）在正整數(shù)、4、3中，______是______的倍數(shù)．12．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是______．13．（2022秋·上海閔行·六年級上海市閔行區(qū)莘松中學?？计谥校?6的所有因數(shù)的和是_________．14．（2022秋·上海·六年級專題練習）有一個數(shù)，它既是的倍數(shù)，又是的因數(shù)，這個數(shù)是__________．15．（2022秋·六年級單元測試）在兩個數(shù)12和3中，________是________的因數(shù)，________是________的倍數(shù)．16．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）規(guī)定一個新運算：對于不小于3的正整數(shù)n，表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以等等，請你在理解這種新運算的基礎(chǔ)上，求_______________．四、解答題17．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）某機床廠制造了一批機床，3天生產(chǎn)了21臺，結(jié)果再生產(chǎn)12天就完成了任務(wù)，這批機床共有多少臺？18.兩個2位數(shù)的積是216，這兩個數(shù)的和是多少？19.李明去兒童樂園玩，兒童樂園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又同時發(fā)車？20.用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長方形？它的長和寬分別是多少厘米？21.一筐蘋果，2個一拿或3個一拿或4個一拿或5個一拿都正好拿完沒有余數(shù)，問這筐蘋果最少有多少個？22.我們知道，每個正整數(shù)都有因數(shù)，對于一個正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標”．如10的“完美指標”是．一個正整數(shù)的“完美指標”越接近1，我們就說這個數(shù)越“完美”．如8的“完美指標”是，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10完美．根據(jù)上述材料，回答下面問題：（1）5的“完美指標”是____________；（2）6的“完美指標”是____________；（3）9的“完美指標”是____________．（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．3的因數(shù)只有它本身C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．1是所有正整數(shù)的因數(shù)2．（2022秋·六年級單元測試）對18、4和6這三個數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．18能被4整除 B．6能整除18 C．4是18的因數(shù) D．6是4的倍數(shù)3．（2022秋·上海·六年級?？茧A段練習）有一個數(shù)，它既是16的倍數(shù)，又是16的因數(shù)，這個數(shù)是（

）A．16 B．32 C．8 D．44．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．3的因數(shù)只有它本身5．（2022秋·六年級單元測試），A的因數(shù)有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、306．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零二、填空題7．（2022秋·上海·六年級專題練習）寫出30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)_____________.8．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）既是30的因數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)有________________________________．9．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）a能被b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．10．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）一個整數(shù)的最大因數(shù)和它的最小倍數(shù)比差，結(jié)果是______________11．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）如果一個數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個數(shù)是____________________．12．（2021秋·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）一個數(shù)的最大因數(shù)是25，則這個數(shù)的因數(shù)分別是_______．13．（2020秋·上海徐匯·六年級上海市民辦華育中學?？计谥校┮粋€長方形的面積是24平方厘米，它的長和寬都是整厘米數(shù)，這樣的長方形周長為______厘米．14．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）36的因數(shù)：___________________，50以內(nèi)9的倍數(shù)：____________.15．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）能被15整除的數(shù)，至少有__________個因數(shù)．16．（2022秋·上海·六年級專題練習）如果一個正整數(shù)恰好有8個因數(shù)，請寫出一個符合條件的數(shù)：____________．17．（2022秋·上海·六年級專題練習）在5、10、15、20、25中，______是100的因數(shù)．18．（2021秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學統(tǒng)考期中）一個正整數(shù)n，若它的所有因數(shù)中最小的兩個因數(shù)的和是4，最大的兩個因數(shù)的和是100，則n的值為_____．三、解答題19．（2022秋·上海·六年級專題練習）按要求把下列各數(shù)填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．20．（2022秋·上海·六年級專題練習）36名學生參加科技活動，若他們想分成人數(shù)相等的幾個小組，你認為可以怎樣分？21．（2022秋·六年級單元測試）寫出下列各數(shù)所有的因數(shù)．（1）11

（2）10222．（2022秋·上海·六年級專題練習）把下列各數(shù)填入指定的圈內(nèi)（每個數(shù)只能使用一次）．1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，10023.下列各數(shù)中是否含有相同的因數(shù)，若含有請指出．（1）6和9； （2）27和51．24.從小到大依次寫出10個2的倍數(shù)：_____________________________________；從小到大依次寫出10個3的倍數(shù)：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)．25.已知：，，則和相同的因數(shù)有哪些？26.一個正整數(shù)只有2個因數(shù)而且這個數(shù)比10小，這個數(shù)可以是多少？第02講因數(shù)和倍數(shù)【知識梳理】因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.因數(shù)與倍數(shù)的特征：找一個數(shù)的因數(shù)的方法方法一：列除法算式找。用這個數(shù)除以一個整數(shù)，除數(shù)從1開始試除，注意得到的商必須是整數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的因數(shù)的時候，就用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個數(shù)的因數(shù)。方法二：列乘法算式找。根據(jù)除法各部分間的關(guān)系，“被除數(shù)=除數(shù)×商”來找，如，找18的因數(shù)，先看18是哪兩個數(shù)相乘的積，那么這兩個數(shù)就是18的因數(shù)。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一個數(shù)的因數(shù)時，一般要從自然數(shù)1開始一對一對地找，這樣不易遺漏。我們在列乘法算式找一個數(shù)的因數(shù)的時候，把這個數(shù)寫乘兩個整數(shù)相乘的形式，算式中的每個整數(shù)都是這個數(shù)的因數(shù)。找一個數(shù)的倍數(shù)的方法（如找2的倍數(shù)的方法）方法一:列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)?？茨膫€數(shù)除以2，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這個數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是看哪些非0自然數(shù)除以這個數(shù)商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù)。方法二：列乘法算式找。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍數(shù)。我們在列乘法算式找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是用這個數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得到的積就是這個數(shù)的倍數(shù)?！究键c剖析】一、因數(shù)和倍數(shù)的認識一、單選題1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）如果M能被15整除，那么M是（

）A．15 B．30 C．15的倍數(shù) D．15的因數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)整除的概念即可解答．【詳解】解：如果M能被15整除，則M是15的倍數(shù)，故選：C．【點睛】本題考查了整除的概念，熟練掌握整除的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋·上海靜安·六年級校聯(lián)考期中）下列說法中正確的是（

）A．1是自然數(shù)，并且是最小的自然數(shù) B．1是任何正整數(shù)的因數(shù)C．一個正整數(shù)至少有2個因數(shù) D．整數(shù)可以分為正整數(shù)和負整數(shù)兩類【答案】B【詳解】解：A.1是自然數(shù)，但最小的自然數(shù)是0，而不是1，故不正確；B.1是任何正整數(shù)的因數(shù)，正確；C.1有一個因數(shù)，故一個正整數(shù)至少有2個因數(shù)不正確；D.整數(shù)可以分為正整數(shù)，0和負整數(shù)，不不正確；故選B．【點睛】本題考查了自然數(shù)，因數(shù)的定義，以及整數(shù)的分類，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）a÷b＝5（a，b都是非0自然數(shù)），a是b的（

），b是a的（

）．①倍數(shù)

②因數(shù)

③積A．①② B．②① C．③①【答案】A【分析】a÷b＝5，a、b、5三個數(shù)字都是非0自然數(shù)，所以被除數(shù)a是除數(shù)b的倍數(shù)，除數(shù)b是被除數(shù)a的因數(shù)，由此求解．【詳解】解：因為a÷b＝5，所以：a是b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)．故選A【點睛】一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，被除數(shù)就是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)就是被除數(shù)的因數(shù)．4．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．3的因數(shù)只有它本身【答案】B【分析】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的概念直接進行解答即可．【詳解】A、任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個是錯誤的，例如：1的因數(shù)只有1；B、1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故正確；C、一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大是錯誤的，例如：4的其中一個倍數(shù)是4，一個因數(shù)是4，這兩個相等；D、3的因數(shù)有1和3，故錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋·六年級校考課時練習）下列語句中正確的是（

）A．非負整數(shù)就是自然數(shù) B．存在最小的自然數(shù)，也存在最大的自然數(shù)；C．一個整數(shù)，不是正整數(shù)，就是負整數(shù) D．如果數(shù)a除以數(shù)b恰好除盡，并且商是整數(shù)，那么a一定能被b整除【答案】A【分析】對各個選項進行分析判斷即可．【詳解】A．非負整數(shù)就是自然數(shù)，故正確；B．不存在最大自然數(shù)，故不正確；C．0是整數(shù)，但既不是正整數(shù)也不是負整數(shù)，故不正確；D．不符合整除條件，而整除的條件是：除數(shù)和被除數(shù)都是整數(shù)；被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零，故不正確．故答案為：A．【點睛】本題考查了整數(shù)的分類，整除的條件，熟練掌握整數(shù)的分類時解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022秋·六年級單元測試）是一個正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．【答案】1【分析】根據(jù)“一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，最大的約數(shù)是它本身，最小的約數(shù)是1；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身”進行依次列舉即可．【詳解】解：由分析知：一個數(shù)a的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是a，最小倍數(shù)是a；故答案為：1，a，a．【點睛】解答此題的應(yīng)根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義及特征進行解答．7．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）一個整數(shù)_____________最大的倍數(shù)（填“有”或“無”），而最小的倍數(shù)是___________．【答案】無本身【分析】根據(jù)倍數(shù)的概念填空即可．【詳解】一個整數(shù)無最大的倍數(shù)，而最小的倍數(shù)是本身．故答案為：無；本身．【點睛】本題主要考查了整數(shù)的倍數(shù)問題，熟練掌握倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）一個數(shù)的因數(shù)中最小的是________________，最大的是__________________．【答案】1它本身【分析】根據(jù)一個數(shù)的因數(shù)的概念可直接得出．【詳解】一個數(shù)的因數(shù)最小的是1，最大的是它本身．故答案為：1；它本身．【點睛】本題主要考查因數(shù)的概念，熟練掌握概念即可．二、因數(shù)和倍數(shù)的求法一、單選題1．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習）A=2×5×7，A的因數(shù)有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．8個【答案】D【分析】把A算出來等于70，看70能被哪些整數(shù)整除．【詳解】因為A=2×5×7=70而因此A的因數(shù)就有1，70，2，35，5，14，7，10共8個．故選：D【點睛】本題主要考查了因數(shù)的概念：兩個正整數(shù)相乘，那么這兩個數(shù)都叫做積的因數(shù)．注意一個數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身．掌握因數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·上海奉賢·六年級?？计谥校┖褪堑模?/p>

）．A．因數(shù) B．素因數(shù) C．合數(shù) D．素數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果數(shù)能被數(shù)整除（），就叫做的倍數(shù)，就叫做的因數(shù)．【詳解】∵，∴和是的因數(shù)，故選A．【點睛】此題考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)根據(jù)其意義進行解答．二、多選題3．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習），其中都是整數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)是b的因數(shù) B．b是a的因數(shù) C．a(chǎn)能被b整除 D．a(chǎn)能整除b【答案】AD【分析】根據(jù)因數(shù)、倍數(shù)和整除的意義∶如果數(shù)b能被a數(shù)整除()，b就叫做a的倍數(shù)，a就叫做b的因數(shù)；進而進行判斷即可．【詳解】解∶∵，其中都是整數(shù)，∴a是b的因數(shù)，b是a的倍數(shù)，a能整除b，b能被a整除．∴A、D正確，B、C錯誤，故答案為∶AD．【點睛】本題考查了因數(shù)、倍數(shù)以及整除，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義進行判斷．三、填空題4．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校?？计谥校┰?，12，，，，，中_________________既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)．【答案】6，，【分析】根據(jù)3的倍數(shù)必須所有數(shù)字和是3的倍數(shù)找出是3的倍數(shù)的數(shù)字，在用除以數(shù)字能被整除的就是的因數(shù)，即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，6，12，，，，，中是3的倍數(shù)的是6，12，，，，，其中：，，，，，，∴既是的因數(shù)，又是3的倍數(shù)有：6，，，故答案為：6，，．【點睛】本題考查因數(shù)及倍數(shù)求取，解題的關(guān)鍵是掌握3的倍數(shù)必須所有數(shù)字和是3的倍數(shù)．5．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）一個整數(shù)的最小倍數(shù)是201，則這個數(shù)是________．【答案】【分析】一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身，即可得到答案．【詳解】解：一個整數(shù)的最小倍數(shù)是，則這個數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查倍數(shù)的概念及性質(zhì)，熟記一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上海閔行·六年級校考階段練習），則的因數(shù)有_________個．【答案】【分析】根據(jù)因數(shù)的定義及求法即可直接得到答案．【詳解】解：，的因數(shù)有，共個因數(shù)，故答案為：．【點睛】本題考查因數(shù)的定義及求法，熟記因數(shù)定義及求法是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習）一個整數(shù)最小的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．【答案】【分析】根據(jù)因數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘法即可得到結(jié)果【詳解】∵任何數(shù)乘以都等于它本身，∴整數(shù)最小的因數(shù)是，最小的倍數(shù)是，故答案為：，【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，因數(shù)和倍數(shù)的意義，掌握因數(shù)和倍數(shù)的定義并靈活運用是解題的關(guān)鍵8．（2022秋·上海浦東新·六年級?？计谥校┤绻帽硎綼的全部因數(shù)的和，如，那么______．【答案】【分析】根據(jù)題意即可求得及的值，據(jù)此即可求得．【詳解】解：，，，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減運算，理解題意，正確運算是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學?？计谥校┘仁堑谋稊?shù)又是的因數(shù)的數(shù)是_________．【答案】【分析】直接根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)進行求解即可．【詳解】由是的倍數(shù)，的最大因數(shù)是，的最小倍數(shù)是，既是的倍數(shù)又是的因數(shù)的數(shù)是；故答案為．【點睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）8的因數(shù)有_______．【答案】1、2、4、8【分析】先寫出8的因數(shù)：，，因此8的因數(shù)有1，2，4，8，解答即可．【詳解】解：8的因數(shù)有：1、2、4、8．故答案為：1、2、4、8【點睛】本題考查因數(shù)倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是找準所有能整除8的數(shù)．11．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）在正整數(shù)、4、3中，______是______的倍數(shù)．【答案】3【分析】根據(jù)題意將18分解因數(shù)即可求解．【詳解】解：∵∴是3的倍數(shù)．故答案為：，3．【點睛】本題考查了因數(shù)分解，將較大的數(shù)因數(shù)分解是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是______．【答案】0【分析】找到16的最小倍數(shù)和最大因數(shù)，相減即可．【詳解】解：正整數(shù)16的最小倍數(shù)是16，它的最大因數(shù)也是16，，故答案為：0．【點睛】本題考查了因數(shù)與倍數(shù)，一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身．13．（2022秋·上海閔行·六年級上海市閔行區(qū)莘松中學校考期中）16的所有因數(shù)的和是_________．【答案】31【分析】先寫出16的所有因數(shù)，再求和．【詳解】解：16的因數(shù)有：1，2，4，8，16．，故答案為：31．【點睛】本題考查求一個數(shù)的因數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握因數(shù)的求法，如相乘法、短除法、配對法等．14．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）有一個數(shù)，它既是的倍數(shù)，又是的因數(shù)，這個數(shù)是__________．【答案】a【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：如果一個數(shù)既是a的倍數(shù)，又是a的因數(shù)，那么這個數(shù)是a．故答案為：a．【點睛】此題考查了因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)明確因數(shù)和倍數(shù)是相對而言，不能單獨存在是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·六年級單元測試）在兩個數(shù)12和3中，________是________的因數(shù)，________是________的倍數(shù)．【答案】312123【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；進行解答即可．【詳解】解：因為，所以3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，故答案為：3，12；12，3【點睛】本題主要考查的是因數(shù)和倍數(shù)的意義，應(yīng)該明確因數(shù)和倍數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）規(guī)定一個新運算：對于不小于3的正整數(shù)n，表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以等等，請你在理解這種新運算的基礎(chǔ)上，求_______________．【答案】9【分析】根據(jù)題意可得，，然后求解即可．【詳解】解：因為6的因數(shù)為1、2、3、6，故，因為24的因數(shù)為1、2、3、4、6、8、12、24，故，故．故答案為：9．【點睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握求一個數(shù)的因數(shù)是解題的關(guān)鍵．四、解答題17．（2022秋·上海·六年級專題練習）某機床廠制造了一批機床，3天生產(chǎn)了21臺，結(jié)果再生產(chǎn)12天就完成了任務(wù)，這批機床共有多少臺？【答案】105臺【分析】先求出工作效率，進而根據(jù)工作總量=工作效率工作時間即可得解．【詳解】解：1天生產(chǎn)臺，機床總數(shù)：臺．答：這批機床共有105臺．【點睛】本題考查了工作總量=工作效率工作時間的應(yīng)用，熟練掌握工作總量、工作效率與工作時間之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18.兩個2位數(shù)的積是216，這兩個數(shù)的和是多少？【答案】30【解析】∵，∴這兩個數(shù)是12和18，和是30．【總結(jié)】本題主要是對因數(shù)的概念的綜合運用．19.李明去兒童樂園玩，兒童樂園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又同時發(fā)車？【答案】15分鐘【解析】因為5的倍數(shù)有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60……； 6的倍數(shù)有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60……；所以至少再經(jīng)過30分鐘又同時發(fā)車．【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來解決實際問題．20.用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長方形？它的長和寬分別是多少厘米？【答案】三種：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．【解析】；答：可以拼成3種形狀不同的長方形，長和寬分別是：16，1或8，2或4，4．【總結(jié)】本題主要是利用因數(shù)的概念來解決實際問題．21.一筐蘋果，2個一拿或3個一拿或4個一拿或5個一拿都正好拿完沒有余數(shù)，問這筐蘋果最少有多少個？【解析】通過枚舉法會發(fā)現(xiàn)2、3、4、5的最小的倍數(shù)是60，所以至少再經(jīng)過30分鐘又同時發(fā)車．【總結(jié)】本題主要是利用倍數(shù)的概念來解決實際問題．22.我們知道，每個正整數(shù)都有因數(shù)，對于一個正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標”．如10的“完美指標”是．一個正整數(shù)的“完美指標”越接近1，我們就說這個數(shù)越“完美”．如8的“完美指標”是，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10完美．根據(jù)上述材料，回答下面問題：（1）5的“完美指標”是____________；（2）6的“完美指標”是____________；（3）9的“完美指標”是____________．（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．【答案】（4）28；【解析】（1）5的“完美指標”：；（2）6的“完美指標”是：（3）9的“完美指標”是：；（4）素數(shù)的“完美指標”為，不夠完美；合數(shù)的真因數(shù)較小，完美指標也會比較小，不夠完美；所以驗證24和28的完美指標：24的“完美指標”是：；28的“完美指標”是；∴28是比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．【總結(jié)】本題主要是考查學生的理解能力，通過對題目中新的概念的理解，利用概念去解決新的問題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．3的因數(shù)只有它本身C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．1是所有正整數(shù)的因數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念分別判斷即可．【詳解】1只有一個因數(shù)，故A錯誤；3的因數(shù)有1和本身，故B錯誤；一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)是本身，故C錯誤；1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故D正確．故選D．【點睛】本題主要考查了因數(shù)和倍數(shù)的概念，熟練掌握倍數(shù)和因數(shù)的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·六年級單元測試）對18、4和6這三個數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．18能被4整除 B．6能整除18 C．4是18的因數(shù) D．6是4的倍數(shù)【答案】B【分析】若a÷b=c，a、b、c均是整數(shù)，且b≠0，則a能被b、c整除，或者說b、c能整除a；根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義：如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、18不能被4整除，故A說法錯誤；B、6能整除18，故B說法正確；C、4不是18的因數(shù)，故C說法錯誤；D、6不是4的倍數(shù)，故D說法錯誤；故選：B．【點睛】此題主要考查了整除的性質(zhì)的應(yīng)用、因數(shù)與倍數(shù)的意義及其運用．3．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）有一個數(shù)，它既是16的倍數(shù)，又是16的因數(shù)，這個數(shù)是（

）A．16 B．32 C．8 D．4【答案】A【分析】一個數(shù)是16的因數(shù)，說明這個數(shù)≤16，又是16的倍數(shù)，說明這個數(shù)≥16，因此這個數(shù)是16，由此解答即可．【詳解】一個數(shù)既是16的因數(shù)又是16的倍數(shù)，這個數(shù)是16．故選：A．【點睛】此題考查了倍數(shù)和因數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倍數(shù)和因數(shù)的概念．一個非0的自然數(shù)既是自己的倍數(shù)，也是自己的因數(shù)．4．（2022秋·上海·六年級專題練習）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．3的因數(shù)只有它本身【答案】B【分析】根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的概念直接進行解答即可．【詳解】A、任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個是錯誤的，例如：1的因數(shù)只有1；B、1是所有正整數(shù)的因數(shù)，故正確；C、一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大是錯誤的，例如：4的其中一個倍數(shù)是4，一個因數(shù)是4，這兩個相等；D、3的因數(shù)有1和3，故錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)與倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·六年級單元測試），A的因數(shù)有（

）A．2、3、5 B．2、3、5、6、10C．1、2、3、5、6、10、15 D．1、2、3、5、6、10、15、30【答案】D【分析】根據(jù)因數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】因為A=2×3×5，所以A=1×30=2×15=3×10=5×6，所以A的全部因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30．故選：D．【點睛】本題考查了因數(shù)，掌握因數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）一個正整數(shù)的最大因數(shù)減去這個正整數(shù)的最小倍數(shù)，所得的差一定（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零【答案】B【分析】一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身，再求差即可得出答案．【詳解】∵一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身，∴差為0，故選：B．【點睛】本題考查了正整數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的含義，掌握一個正整數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個數(shù)本身是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）寫出30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)_____________.【答案】7，14，21，28【分析】從7的1倍開始，依次列出7的倍數(shù)，直到倍數(shù)剛好大于30為止，再把這些倍數(shù)寫出來.【詳解】解：，，，，，所以30以內(nèi)的正整數(shù)中，7所有的倍數(shù)為7，14，21，28.故答案為：7，14，21，28.【點睛】本題考查了倍數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）既是30的因數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)有________________________________．【答案】3，6，15，30【分析】首先列出30的因數(shù)，再結(jié)合3的倍數(shù)逐個篩選，從而得到答案．【詳解】30的因數(shù)為：1，30，2，15，3，10，5，6；同時是3的倍數(shù)的是：3，6，15，30；故答案為：3，6，15，30．【點睛】本題考查了倍數(shù)和因數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是準確掌握倍數(shù)和因數(shù)的定義，即可求得答案．9．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）a能被b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的_____________．【答案】倍數(shù)因數(shù)【分析】根據(jù)因數(shù)倍數(shù)的概念可直接得答案．【詳解】因數(shù)和倍數(shù)是互相依存的；故答案為：倍數(shù)；因數(shù)．【點睛】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的概念，關(guān)鍵是根據(jù)題意及概念得出答案．10．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）一個整數(shù)的最大因數(shù)和它的最小倍數(shù)比差，結(jié)果是______________【答案】0【分析】根據(jù)一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身進行解答即可．【詳解】解：一個整數(shù)，它最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身，差為0；故答案為：0．【點睛】此題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，利用一個數(shù)的倍數(shù)最小是它的本身，一個數(shù)的因數(shù)最大是它本身，解決問題．11．（2022秋·上海·六年級專題練習）如果一個數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個數(shù)是____________________．【答案】19【分析】一個數(shù)既是它本身的因數(shù)，也是它本身的倍數(shù)，可根據(jù)此來求解．【詳解】∵ａ既是ａ的因數(shù)，又是ａ的倍數(shù)，∴如果一個數(shù)既是19的因數(shù)，又是19的倍數(shù)，那么這個數(shù)是19．故答案為：19．【點睛】本題主要考查了因數(shù)和倍數(shù)，熟練掌握因數(shù)和倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）一個數(shù)的最大因數(shù)是25，則這個數(shù)的因數(shù)分別是_______．【答案】1,5,25【分析】根據(jù)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，確定這個是25，由此得到答案【詳解】解：∵一個數(shù)的最大因數(shù)是25，而一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，∴這個數(shù)是25，∴它的因數(shù)分別是1,5,25，故答案為：1,5,25．【點睛】此題考查了數(shù)的因數(shù)，正確確定一個數(shù)的因數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．（2020秋·上海徐匯·六年級上海市民辦華育中學校考期中）一個長方形的面積是24平方厘米，它的長和寬都是整厘米數(shù)，這樣的長方形周長為______厘米．【答案】20或22或28或50【分析】根據(jù)長方形面積公式為：長乘以寬，將24寫成兩個整數(shù)的積為24，找出所有滿足乘積為24的兩個整數(shù)，即可．【詳解】∵長方形面積=長×寬，長和寬都是整厘米數(shù)∴滿足條件的長方形有：；；；∵周長=（長＋寬）×2∴滿足條件的長方形的周長為：、、、．故答案為：20或22或28或50．【點睛】本題考查長方形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握長方形的面積公式，周長公式，24的因數(shù)．14．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）36的因數(shù)：___________________，50以內(nèi)9的倍數(shù)：____________.【答案】1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；50以內(nèi)9的倍數(shù)有：9、18、27、36、45，故答案為：1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45．【點睛】本題考查因數(shù)和倍數(shù)，一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，倍數(shù)的個數(shù)是無限的．15．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）能被15整除的數(shù)，至少有__________個因數(shù)．【答案】4【分析】得到能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，即可求解．【詳解】能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，∵，∴15有4個因數(shù)，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了因數(shù)的知識，得到能被15整除的數(shù)中最小的數(shù)為15，是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）如果一個正整數(shù)恰好有8個因數(shù)，請寫出一個符合條件的數(shù)：____________．【答案】30（答案不唯一）【分析】由題意可知該數(shù)由三個不同的質(zhì)數(shù)相乘得到．【詳解】解：由題意可知該數(shù)由三個不同的質(zhì)數(shù)相乘得到，比如2×3×5＝30，故答案為：30．（答案不唯一）【點睛】本題考查因數(shù)的概念．掌握其定義是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）在5、10、15、20、25中，______是100的因數(shù)．【答案】5；10；20；25【詳解】，，，，故答案為：5；10；20；25【點睛】本題考查了因數(shù)，理解因數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．兩個正整數(shù)相乘，那么這兩個數(shù)都叫做積的因數(shù)．18．（2021秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學統(tǒng)考期中）一個正整數(shù)n，若它的所有因數(shù)中最小的兩個因數(shù)的和是4，最大的兩個因數(shù)的和是100，則n的值為_____．【答案】75【分析】最小的兩個約數(shù)中一定有一個是1，因此另一個是3，說明最大的約數(shù)是第二大的約數(shù)的3倍，而最大的兩個約數(shù)之和為100，100÷(3+1)=25，所以最大的兩個約數(shù)是25和75，這個正整數(shù)就是75．【詳解】最小的兩個約數(shù)中一定有一個是1，因此另一個是3，最大的兩個約數(shù)是：100÷(3+1)=25，100-25=75，所以最大的兩個約數(shù)是25和75，答：這個正整數(shù)就是75．故答案為：75．【點睛】本題考查了求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，此題解答的關(guān)鍵是先求出最小的兩個約數(shù)，根據(jù)最大的約數(shù)是第二大的約數(shù)的3倍，求出最大的兩個約數(shù)，進而得出這個正整數(shù)．三、解答題19．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習）按要求把下列各數(shù)填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．【答案】1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36【分析】根據(jù)題意及因數(shù)的求法可把1、2、3、4、6