2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)1.3不等式1.3.2基本不等式一課一練含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第一章預(yù)備學(xué)問(wèn)§3不等式3.2基本不等式學(xué)問(wèn)點(diǎn)1利用基本不等式比較大小1.☉%*70￥7@@9%☉(2024·南昌二中檢測(cè))已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則()。A.ab≤12 B.ab≥C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤2答案：C解析：2=a+b≥2ab,ab≤1,ab≤1,故A,B選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的。4=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2(a2+b2),所以a2+b2≥2。2.☉%68#7@￥￥8%☉(2024·衡水中學(xué)月考)下列不等式中,正確的是()。A.a+b≥2ab B.(a+b)2≥6abC.a2+b22≥ab D.(a-b答案：C解析：選項(xiàng)A忽視了a,b的條件應(yīng)為正實(shí)數(shù),B,D選項(xiàng)只有在ab≤0時(shí)成立。3.☉%7@*236@#%☉(2024·江蘇丹陽(yáng)中學(xué)檢測(cè))設(shè)0<a<b,a+b=1,則下列不等式正確的是()。A.b<2ab<a2+b2<aB.2ab<b<a2+b2<aC.2ab<a2+b2<b<aD.2ab<a2+b2<a2+答案：C解析：∵0<a<b且a+b=1,∴0<a<12<b<1∴a2+b2>2ab,b=b(a+b)=ab+b2>a2+b2,且a2+b2>b。故2ab<a2+b2<學(xué)問(wèn)點(diǎn)2基本不等式中的恒成立問(wèn)題4.☉%6@#￥072*%☉(2024·黃岡中學(xué)月考)若a,b∈R,則下列不等式恒成立的是()。A.|a+b|2≥|ab|C.a2+b22≥a+b22答案：C解析：對(duì)于A,當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),不等式成立,當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),不等式不成立,故A中不等式不恒成立;對(duì)于B,當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),不等式成立,當(dāng)a,b異號(hào)時(shí),-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立。對(duì)于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;對(duì)于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)ab+ba≥5.☉%￥41#*3@7%☉(多選)(2024·張家口二中月考)設(shè)a>0,b>0,則以下不等式中恒成立的是()。A.(a+b)1a+1b≥4 B.a3+b3C.a2+b2+2≥2a+2b D.|a-b|答案：ACD解析：∵a>0,b>0,∴對(duì)于A,(a+b)1a+1b=2+ba對(duì)于C,a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2+2≥2a+2b恒成立。對(duì)于D,當(dāng)a≥b時(shí),(|a-b|)2=而(a-b)2=a+b-2ab=a-b+2b-2ab=(a-b)+2b(b-a),又∵a≥b>0,∴b-a≤0,∴(a-b)+2b(b-a)≤a-b,即|a-b|≥a-b;當(dāng)a<b時(shí),|a-b|>0,而a-b<0,∴|a-b|6.☉%4￥7#4*5#%☉(2024·遼寧試驗(yàn)中學(xué)期中)下列條件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0。其中能使ba+ab≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是答案：3解析：要使ba+ab≥2,只要ba>0且ab>0,即a,b不為0且同號(hào)即可7.☉%@7#87@0*%☉(多選)(2024·株洲中學(xué)期末)在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是()。A.y=x+1x(xB.y=cosx+1cosx(0°<x<90C.y=xD.y=x2+4x答案：AD解析：當(dāng)x>0時(shí),y=x+1x≥2,故A對(duì);因?yàn)?<x<π2,所以0<cosx<1,所以y=cosx+1cosx≥2中等號(hào)不成立,故B錯(cuò);因?yàn)閤2+2≥2,所以y=x2+2+1x2+2≥2中等號(hào)也取不到,故C錯(cuò);因?yàn)閤2>0,所以y=x2+4x2-2≥2x2·4題型1利用基本不等式求最值或參數(shù)的取值范圍8.☉%#17￥9#7*%☉(2024·重慶一中月考)若x2+y2=4,則xy的最大值是()。A.12 B.1 C.2 答案：C解析：∵x2+y2=4≥2xy,∴xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),即xy的最大值是2,故選C。9.☉%5￥@05#*6%☉(2024·蓮塘一中檢測(cè))已知0<x<13,則x(1-3x)取最大值時(shí)x的值是()A.14 B.15 C.16答案：C解析：∵0<x<13,∴1-3x>0,∴x(1-3x)=13·3x(1-3x)≤13·3x+1-3x22=112,當(dāng)且僅當(dāng)310.☉%99￥#*4￥4%☉(2024·陜西榆林一中月考)已知t>0,則函數(shù)y=t2-4t+1A.-2 B.12 C.1 答案：A解析：y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2t·1t-4=-2,當(dāng)且僅當(dāng)11.☉%0@06@#@5%☉(2024·江蘇南通中學(xué)過(guò)關(guān)測(cè)試)若a>b,b>0,a+b=1,則1a2-11A.6 B.7 C.8 D.9答案：D解析：由1a2-11b2-1=∵a+b=1,∴2ab≤1,∴ab≤14,∴1a212.☉%**0#0*55%☉(2024·華師一附中檢測(cè))若直線(xiàn)2mx-ny-2=0(m>0,n>0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),則1m+2n的最小值為(A.2 B.6 C.12 D.3+22答案：D解析：∵直線(xiàn)2mx-ny-2=0(m>0,n>0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),∴2m+2n-2=0,即m+n=1,∴1m+2n=1m+2n(m+n)=3+nm+2mn≥3+22,當(dāng)且僅當(dāng)nm=2mn,即n=13.☉%*444￥@2@%☉(2024·江西師大附中月考)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意xy=1,則xy+yy答案：4解析：xy+yyx+x=1+x2y+y2x+xy=2+x3+y3xy=2+x3+14.☉%1￥*412￥￥%☉(2024·安慶一中月考)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為。

答案：4解析：∵2xy=x·(2y)≤x+2y22,∴8=x+2y+2xy≤x+2y+x+2y22,即(x+2y)2∵x>0,y>0,∴x+2y≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號(hào),即x+2y的最小值是4。15.☉%6*￥*2*38%☉(2024·合肥一中檢測(cè))設(shè)a,b∈R,且a2+b2=10,則a+b的取值范圍是。

答案：[-25,25]解析：∵a2+b2=10,a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥2ab+a2+b2=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),即(a+b)2≤2(a2+b2)=20,∴-25≤a+b≤25,所以a+b的取值范圍是[-25,25]。16.☉%4#*54@4￥%☉(2024·衡水中學(xué)周練)x,y,a,b均為正實(shí)數(shù),x,y為變量,a,b為常數(shù),且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值為18,求a,答案：解:∵x+y>0,a>0,b>0,且ax+by=1,∴x+y=(x+y)·ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2bxy·ayx=當(dāng)且僅當(dāng)bxy=ay此時(shí)(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18。又a+b=10,聯(lián)立a解得a=2,17.☉%*1#8￥44#%☉(2024·石家莊中學(xué)月考)已知a>0,b>0,且2a+1b≥m2a+答案：解:因?yàn)閍>0,b>0,2a+1b≥m即m≤2a+1b(2a+而2a+1b(2a+b)=5+2ba當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,所以實(shí)數(shù)m的最大值為9。題型2利用基本不等式的性質(zhì)證明不等式成立18.☉%1￥379@￥#%☉(2024·武漢外校月考)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:b2a+c2b+a2c≥答案：證明:∵a+b2a≥2b,b+c2b≥2c,c+a2c≥2a,∴a+b2a+b+c2b+c+a2c≥2a+2b+2c,∴19.☉%4@2#4*#8%☉(2024·雅禮中學(xué)周練)求證:(1)a2+b2+c2≥ab+ac+bc;答案：證明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,將此三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc,∴原不等式成立。(2)6+7>22+5。答案：要證原不等式成立,只需證(6+7)2>(22+5)2,即證242>240?！呱鲜矫黠@成立,∴原不等式成立。題型3基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用20.☉%511@*@2￥%☉(2024·武漢中學(xué)月考)汽車(chē)上坡時(shí)的速度為a,原路返回時(shí)的速度為b,且0<a<b,則汽車(chē)全程的平均速度比a,b的平均值()。A.大 B.小 C.相等 D.不能確定答案：B解析：令單程為s,則上坡時(shí)間為t1=sa,下坡時(shí)間為t2=sb,平均速度為2st1+t2=2ssa+sb=221.☉%@6￥74￥@6%☉(2024·武漢外校月考)某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備,該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元,此外每年都要花費(fèi)肯定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元,為使該設(shè)備平均費(fèi)用最低,該企業(yè)須要更新設(shè)備的年數(shù)為()。A.10 B.11 C.13 D.21答案：A解析：總的維護(hù)費(fèi)為:n(2+2n)2=n(n+1),故年平均費(fèi)用為:y=100+0.5n+n(n+1)n,即y=n+100n+1.5(n為正整數(shù))。由基本不等式得y=n+100n+1.5≥2n·100n22.☉%*29#￥@37%☉(2024·華師一附中期中)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法探討代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù),通過(guò)這一方法,許多代數(shù)公理、定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明,并將該方法稱(chēng)之為“無(wú)字證明”。如圖1-3-2-1,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)(不同于A,B,O),點(diǎn)D在半圓O上,且CD⊥AB,CE⊥OD,垂足為E,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的“無(wú)字證明”為()。圖1-3-2-1A.ab≤a+b2(aB.a+b2<2aba+b(aC.2aba+b≤ab(D.2aba+b<ab<a+b2(a答案：D解析：由AC=a,BC=b,可得半圓O的半徑DO=a+b2,易得DC=AC·BC=ab,DE∵DE<DC<DO,∴2aba+b<ab<a+b2(a>0,b>0,23.☉%**5￥122￥%☉(2024·武漢二中期中)如圖1-3-2-2,已知在小矩形花壇ABCD中,AB=3m,AD=2m,現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN,使點(diǎn)B在AM上,點(diǎn)D在AN上,且對(duì)角線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)C。圖1-3-2-2(1)要使矩形AMPN的面積大于32m2,AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?答案：解:設(shè)AM=xm,AN=ym(x>