2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷03北師大版

2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考測(cè)試卷03一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．以下四組線段，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，4cm，6cm，8cm C．3cm，4cm，5cm，6cm D．4cm，6cm，6cm，8cm【答案】A【解答】解：A、，則是成比例線段，選項(xiàng)正確；B、，則不是成比例線段，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，則不是成比例線段，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，則不是成比例線段，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0時(shí)，下列變形正確的是（）A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10【答案】B【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，故選：B．3．一個(gè)布袋里裝有6個(gè)只有顏色可以不同的球，其中2個(gè)紅球，4個(gè)白球．從布袋里隨意摸出1個(gè)球，則摸出的球是紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因?yàn)橐还灿?個(gè)球，紅球有2個(gè)，所以從布袋里隨意摸出1個(gè)球，摸到紅球的概率為：．故選：D．4．關(guān)于平行四邊形ABCD的敘述，正確的是（）A．若AB⊥BC，則平行四邊形ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，則平行四邊形ABCD是正方形 C．若AC＝BD，則平行四邊形ABCD是矩形 D．若AB＝AD，則平行四邊形ABCD是正方形【答案】C【解答】解：A、錯(cuò)誤．若AB⊥BC，則平行四邊形ABCD是矩形；B、錯(cuò)誤．若AC⊥BD，則平行四邊形ABCD是菱形；C、正確．D、錯(cuò)誤．若AB＝AD，則平行四邊形ABCD是菱形；故選：C．5．一個(gè)小組有若干人，新年互送賀年卡一張，已知全組共送賀年卡72張，則這個(gè)小組有（）A．12人 B．18人 C．9人 D．10人【答案】C【解答】解：設(shè)這個(gè)小組有n人×2＝72n＝9或n＝﹣8（舍去）故選：C．6．已知菱形的面積為24cm2，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6cm，則這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是（）厘米．A．8 B．5 C．10 D．4.8【答案】B【解答】解：設(shè)菱形的另一對(duì)角線長(zhǎng)為xcm，×6×x＝24，解得：x＝8，菱形的邊長(zhǎng)為：＝5（cm），故選：B．7.關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得，故選：B.8．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，BC＝2，AE⊥BD，垂足為E，∠BAE＝30°，那么△ECO的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】點(diǎn)C作CF⊥BD于F．依據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CF．解直角三角形得到OE＝，依據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．∴△ABE≌△CDF，（AAS），∴AE＝CF．∴CF＝AE＝AD＝1，∴BE＝AE＝，AB＝2BE＝，∵BD＝2AB＝，∴OE＝，∴S△ECO＝OE?CF＝××1＝，故選：B．9．如圖，小明晚上由路燈A下的點(diǎn)B處走到點(diǎn)C處，測(cè)得自身影子CD的長(zhǎng)為1米，向前接著走3米，測(cè)得自己影子EF的長(zhǎng)為2米，已知小明的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB是（）米．A．8 B．7.2 C．6 D．4.5【答案】C【解答】解：∵M(jìn)C∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴，即①，∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴，即②，∴，解得：BC＝3，∴，解得AB＝6，即路燈A的高度AB為6m．故選：C．10．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．給出以下結(jié)論：①DG＝DF；②四邊形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④當(dāng)AG＝6，EG＝時(shí)，BE的長(zhǎng)為，其中正確的編號(hào)組合是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF＝∠DFG，從而得到GD＝DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG＝GE＝DF＝EF，連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下來(lái)，證明△DOF∽△ADF，由相像三角形的性質(zhì)可證明DF2＝FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG＝4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相像三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最終依據(jù)BE＝AD﹣GH求解即可．【解答】解：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG．∴GD＝DF．故①正確；∴DG＝GE＝DF＝EF．∴四邊形EFDG為菱形，故②正確；如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴＝，即DF2＝FO?AF．∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF?AF．故③正確；如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．∵EG2＝GF?AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．解得：FG＝4，F(xiàn)G＝﹣10（舍去）．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴＝，即＝，∴GH＝，∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正確．故選：D．二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分)11．已知，則的值【答案】【分析】依據(jù)，可設(shè)x＝2k，y＝5k，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)x＝2k，y＝5k，則12．一只媽蟻在如圖所示的樹枝上尋見(jiàn)食物，假定媽蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條徑，則它獲得食物的概率是．【答案】【分析】把樹枝看作數(shù)狀圖，它展示全部8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出有食物的結(jié)果數(shù)，然后依據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中有食物的占2種，全部它獲得食物的概率＝．13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2024＝0有一個(gè)根為x＝﹣1，則a+b＝．【答案】2024【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：a+b﹣2024＝0，即a+b＝2024．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，E是AC的中點(diǎn)．若DE＝5，則AB的長(zhǎng)為.【答案】10【解答】解：∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形又∵AD是∠BAC的平分線∴AD⊥BC∵E是AC的中點(diǎn)，DE＝5∴AB=1015．為了改善居民住房條件，某市安排用將來(lái)兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2提高到12.1m2．若每年的年增長(zhǎng)率相同，則年增長(zhǎng)率為【答案】10%【解答】解：設(shè)年增長(zhǎng)率為x，依據(jù)題意列方程得10（1+x）2＝12.1解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合題意舍去）所以年增長(zhǎng)率為0.1，即10%，16．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△DEF與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2，則線段AC的中點(diǎn)P變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（2，）或（﹣2，）【分析】位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的改變規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相像比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．本題中k＝2或﹣2．【解答】解：∵兩個(gè)圖形的位似比是1：（﹣）或1：，AC的中點(diǎn)是（4，3），∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（2，）或（﹣2，）．17．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OC，已知AC＝3，OC＝6，則另始終角邊BC的長(zhǎng)為．【答案】9【分析】過(guò)O作OF⊥BC，過(guò)A作AM⊥OF，依據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，依據(jù)AAS證△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，求出四邊形ACFM為矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，得出等腰三角形三角形OCF，依據(jù)勾股定理求出CF＝OF＝6，求出BF，即可求出答案．【解答】解：過(guò)O作OF⊥BC于F，過(guò)A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四邊形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四邊形ABDE為正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)18．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0（2）（x+1）2＝6x+6．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝16+8＝24，∴x＝，∴x1＝，x2＝（2）（x+1）2﹣6（x+1）＝0分解因式得，（x+1）（x+1﹣6）＝0∴x1＝﹣1，x2＝519．如圖，為了估計(jì)河的寬度在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B、C、D、E，使點(diǎn)A、B、D在一條直線上且DE∥BC，假如BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，求河的寬度AB．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴AB＝18（m）．答：河的寬度AB為18m．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行拔河競(jìng)賽，裁判員讓兩隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)用“石頭、剪刀、布”的手勢(shì)選擇場(chǎng)地位置．規(guī)則是：石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭，手勢(shì)相同再?zèng)Q輸贏．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)說(shuō)明裁判員的這種做法對(duì)甲、乙雙方是否公允，為什么？(用樹狀圖或列表法解答)解：裁判員的這種做法對(duì)甲、乙雙方是公允的．理由如下：用列表法表示全部可能的結(jié)果如下表：乙甲石頭剪刀布石頭(石頭，石頭)(石頭，剪刀)(石頭，布)剪刀(剪刀，石頭)(剪刀，剪刀)(剪刀，布)布(布，石頭)(布，剪刀)(布，布)依據(jù)表格得，P(甲獲勝)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，P(乙獲勝)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).∵P(甲獲勝)＝P(乙獲勝)，∴裁判員這種做法對(duì)甲、乙雙方是公允的．四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題8分，共24分)21．如圖，陽(yáng)光下，小亮的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段BC所示，線段DE表示旗桿的高，線段FG表示一堵高墻．（1）請(qǐng)你在圖中畫出旗桿在同一時(shí)刻陽(yáng)光照耀下形成的影子；（2）假如小亮的身高AB＝1.6m，他的影子BC＝2.4m，旗桿的高DE＝15m，旗桿與高墻的距離EG＝16m，懇求出旗桿的影子落在墻上的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）如圖：線段MG和GE就表示旗桿在陽(yáng)光下形成的影子．（2）過(guò)M作MN⊥DE于N，設(shè)旗桿的影子落在墻上的長(zhǎng)度為x，由題意得：△DMN∽△ACB，∴又∵AB＝1.6，BC＝2.4，DN＝DE﹣NE＝15﹣xMN＝EG＝16∴解得：x＝，答：旗桿的影子落在墻上的長(zhǎng)度為米．22．某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來(lái)按每件100出售，一天可售出100件，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)覺(jué)這種商品每降低1元，其銷量可增加10件．（1）求商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來(lái)一天可獲利潤(rùn)多少元？（2）設(shè)后來(lái)該商品每件降價(jià)x元，若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)2160元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？【解答】解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元），答：商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來(lái)一天可獲利潤(rùn)2000元；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，依題意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，即x2﹣10x+16＝0，解得：x1＝2，x2＝8．答：每件商品應(yīng)降價(jià)2元或8元．23．在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，依據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再依據(jù)矩形的判定，可得答案；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DFA＝∠FAB，依據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DAF＝∠DFA，依據(jù)角平分線的判定，可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題10分，共20分)24．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，AC與DE交于點(diǎn)F．（1）求證：CE∥AD；（2）求證：AC2＝AB?AD；（3）若AC＝，AB＝8，求的值．【分析】（1）欲證明CE∥AD，只要證明∠ACE＝∠CAD即可；（2）由AC平分∠DAB得∠DAC＝∠CAB，加上∠ADC＝∠ACB＝90°，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）依據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵E為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（2）證明：∵AC