專題08 正多邊形拓展運(yùn)算的4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題08正多邊形拓展運(yùn)算的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一正多邊形中邊心距的計(jì)算】 1【考點(diǎn)二正多邊形邊長(zhǎng)的計(jì)算】 2【考點(diǎn)三正多邊形中有關(guān)面積的計(jì)算】 2【考點(diǎn)四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一正多邊形中邊心距的計(jì)算】【例題1】如圖，正六邊形內(nèi)接于，若正六邊形的周長(zhǎng)是，則它的邊心距為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】連接、，過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)得到，，進(jìn)而證明是等邊三角形，則，，據(jù)此可得答案．本題考查的是正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接、，過(guò)作于點(diǎn)，則，如圖所示，∵多邊形是正六邊形，正六邊形的周長(zhǎng)是12，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，故選：C．【變式1】如圖，正六邊形內(nèi)接于，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，若的半徑為4，則邊心距的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，連接．先證明是等邊三角形，求出，再根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：如圖，連接．∵六邊形是正六邊形，，∴是等邊三角形，，，，在中，，故答案為：．【變式2】已知正方形與正六邊形都內(nèi)接于圓，若正方形邊長(zhǎng)為，則_______．

【答案】【分析】連接，、，，設(shè)與交于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理求出，得出，證明為等邊三角形，得出，，證明，得出，利用垂徑定理得出，，根據(jù)勾股定理求出，證明為等腰直角三角形，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，、，，設(shè)與交于點(diǎn)N，如圖所示：

∵四邊形為正方形，∴，，∴為的直徑，，∴，正六邊形中，，∵，∴為等邊三角形，∴，，∵六邊形為正六邊形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角的三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判斷．【變式3】如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為4．(1)求正六邊形的邊心距．(2)求正六邊形的面積．(1)求正六邊形的邊心距．(2)求正六邊形的面積．【答案】(1)正六邊形的邊心距為；(2)．【分析】本題考查了正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）連接，過(guò)點(diǎn)作于，證明等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（）根據(jù)正六邊形的面積即可求解；【詳解】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作于，則，六邊形是正六邊形，，，為等邊三角形，∴，，圓心到的距離，即正六邊形的邊心距為；（2）正六邊形的面積．【考點(diǎn)二正多邊形邊長(zhǎng)的計(jì)算】【例題2】如圖，已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R，則正九邊形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用及正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，過(guò)點(diǎn)O作，則，根據(jù)正多邊形求出角度，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作，則，此多邊形是正九邊形，，，在中，，，故選：A．【變式1】如圖，正方形內(nèi)接于、E為上一點(diǎn)，連接．若，則正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，由圓的性質(zhì)可得，再由圓內(nèi)接正四邊形的性質(zhì)以及，，進(jìn)而證得是等邊三角形，得到，根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：連接，如圖：正方形內(nèi)接于圓，，是等邊三角形，，，正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證得是等邊三角形．【變式2】如圖．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，則⊙O的半徑為（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm【答案】B【詳解】連接OD、OE、OF，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，OE⊥AC，OF⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°，∵∠C=90°，∴四邊形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形CEOF是正方形，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm，∵AD=AE=AC-EC=4-r，BD=BF=BC-FC=3-r，∴4-r+3-r=5，解得r=1，即⊙O的半徑為1cm，故選B.【變式3】如圖，正外接圓的半徑為2，求正的邊長(zhǎng)，邊心距，周長(zhǎng)和面積．【答案】正△ABC的邊長(zhǎng)為，邊心距為1，周長(zhǎng)為，面積為【分析】如圖：連接，延長(zhǎng)交于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，進(jìn)而求得；再根據(jù)勾股定理求出，即可求出，進(jìn)而求得周長(zhǎng)和面積．【詳解】解：如圖：連接，延長(zhǎng)交于D，∵正外接圓是，∴，∴邊心距,由勾股定理得：，∴三角形邊長(zhǎng)為，，∴的周長(zhǎng)是；的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線后求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三正多邊形中有關(guān)面積的計(jì)算】【例題3】如圖，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直徑，AC⊥BD于F，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4，連接OB、OD、BC，先求得∠ABC=90°，進(jìn)而根據(jù)射影定理求得FC=2，從而求得直徑的長(zhǎng)，根據(jù)余弦函數(shù)求得∠BAF=30°，進(jìn)而得出∠BOD=120°，最后根據(jù)S陰影=S扇形-S△BOD即可求得陰影的面積．【詳解】解：∵AC是直徑，AC⊥BD于F，∴BF=DF，，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，∴BD=2BF=4，連接OB、OD、BC，∵AC是直徑，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF?FC，即（2）2=6FC，∴FC=2，∴直徑AC=AF+FC=6+2=8，∴⊙O的半徑為4，∵AB=4，AF=6，∴，∴∠BAF=30°，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∵OC=4，F(xiàn)C=2，∴OF=2，∴故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，扇形的面積、及直角三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，難度適中．【變式1】如圖，為直徑，于點(diǎn)，于，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OB，由垂徑定理可得∠AOD=∠BOD，利用等量代換求出∠C的度數(shù)，進(jìn)而求出OF、AF、AB的長(zhǎng)度，根據(jù)S陰影=S扇形AOB﹣S△AOB計(jì)算即可.【詳解】連接OB，∵CD⊥AB，CD為直徑，∴AF=BF，=,∴∠AOD=∠BOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠BOD=∠COE，∵∠BOD=2∠C，∴∠COE=2∠C，∵AO⊥BC，∴∠OEC=90°，∴∠COE=60°，∴∠AOF=60°，∴∠OAF=30°，∠AOB=120°，∴OF=cm，AF=cm，∴AB=cm，∴S陰影=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣××=（﹣）cm2.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理以及圓周角定理，求不規(guī)則圖形的面積一般采用割補(bǔ)法.【變式2】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以為直徑的半圓交對(duì)角線于點(diǎn)E，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，利用三角形的面積減去扇形的面積即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵正方形，邊長(zhǎng)為4，∴，∵以為直徑的半圓交對(duì)角線于點(diǎn)E，∴，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積；故選：D．【變式3】如圖，半圓O的直徑為10，點(diǎn)C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點(diǎn)E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角和弧之間的關(guān)系，扇形的面積，連接、，根據(jù)，得出，得出，根據(jù)即可求得．【詳解】連接、，是直徑，，，，的度數(shù)為，，．故選：B．【考點(diǎn)四同底數(shù)冪乘除法應(yīng)用的拓展提高】【例題4】“割圓術(shù)”是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計(jì)算圓周率的方法：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，即隨著邊數(shù)增加，圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，進(jìn)而可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積．設(shè)圓的半徑為，則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率約為（

）A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作，求出的面積，再表示出正十二邊形的面積，最后根據(jù)可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)C是正十二邊形的中心，過(guò)點(diǎn)A作，則，，，，正十二邊形的面積為，圓的面積為，，，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限逼近圓周長(zhǎng)，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接、、、，則，所以心O在上，由點(diǎn)G為的中點(diǎn)，得，可求得，由是等邊三角形，得，則，所以，則，作交于點(diǎn)I，則，所以，則，，于是得，再利用，得，則，即可求得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接、、、．∵，∴，，∴圓心在上，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴是等邊三角形．∴，∵，∴，∴，作交于點(diǎn)I，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故選∶A.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限逼近圓周長(zhǎng)，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接，則，所以圓心O在上，由點(diǎn)G為的中點(diǎn)，得，可求得，由是等邊三角形，得，則，所以，則，作交于點(diǎn)I，則，所以，則，于是得，再證明，得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：如圖2，設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接，，，∴圓心O在上，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，，，，，是等邊三角形，，，，，作交于點(diǎn)I，則，，，，，，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形，如圖所示，若邊心距，則這個(gè)正六邊形的面積是_______．

【答案】【分析】連接，，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理求出，得出，求出，得出六邊形的面積即可．【詳解】解：連接，，如圖所示：

六邊形是正六邊形，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點(diǎn)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】連接，先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)在上，且是和的角平分線，從而可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，連接，四邊形為的內(nèi)接正四邊形，為的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)在上，且是和的角平分線，，，，，恰好是圓O的一個(gè)內(nèi)接正邊形的一邊，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)，，在上，若，，分別是內(nèi)接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分別連接OB、OA、OC，根據(jù)正多邊形的中心角=，可分別求得∠BOC、∠AOB的度數(shù)，從而可得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角=，可求得邊數(shù)n．【詳解】分別連接OB、OA、OC，如圖所示∵是內(nèi)接正三角形的一邊∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=30°∵是正邊形的一邊∴∴n=12故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角=，掌握這一知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，是的直徑，將弦繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的而積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積的計(jì)算，連接、、，推出是等腰直角三角形，再由，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、、，

，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，是的直徑，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故選：C．4．如圖，等腰三角形的頂角，與底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，連接交于點(diǎn)F，利用勾股定理和切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：連接交于點(diǎn)F，∵是等腰直角三角形，∵∵是的切線，∴∴∴∵是等腰直角三角形，，∴,∴，∴圖中陰影部分的面積，故選：C二、填空題5．如果正六邊形的邊長(zhǎng)是1，那么它的邊心距是_______．【答案】/【分析】本題主要考查了正六邊形與圓的有關(guān)計(jì)算，利用正六邊形的中心角和邊心距的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的中心角為以及正六邊形邊心距的性質(zhì)解直角三角形可得結(jié)論．【詳解】解：∵為正六邊形，∴．在中，．故答案為：．6．我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416.如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為_(kāi)______．

【答案】3【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)作于，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到正十二邊形的面積為，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)是正十二邊形的中心，

過(guò)作于，在正十二邊形中，，，，正十二邊形的面積為，，，的近似值為3，故答案為：3．7．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，記的周長(zhǎng)為，正六邊形的周長(zhǎng)為，則的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，從而得出的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，連接，交于H，如下圖：∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，，，∴∴，∴∴，由正六邊形的性質(zhì)知，是等邊三角形，∴，故答案為：．8．如圖，的半徑為3，正六邊形內(nèi)接于，則正六邊形的面積為_(kāi)______．【答案】【分析】本題考查的是正多邊形和圓．過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連接，求得的長(zhǎng)，根據(jù)即可求得正六邊形的面積．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連接，∵正六邊形內(nèi)接于，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴．故答案為：．9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子發(fā)展了劉微的“割圓術(shù)”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)），他們從圓內(nèi)接正六邊形算起，一直算到內(nèi)接正24576邊形，將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，使中國(guó)對(duì)圓周率的計(jì)算在世界上領(lǐng)先一千多年．依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是________．【答案】3【分析】本題考查了圓周率的計(jì)算，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，得到正六邊形的邊長(zhǎng)也是r，結(jié)合圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)，得到，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，得到正六邊形的邊長(zhǎng)也是r，結(jié)合圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長(zhǎng)就越接近圓周長(zhǎng)，得到，解得．故答案為：3．10．如圖，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若有下面三個(gè)結(jié)論，①該圓的半徑為4；②；③圖中陰影部分的周長(zhǎng)為，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．【答案】①②③【分析】本題考查了圓的內(nèi)接正多邊形、弧長(zhǎng)公式、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．確定各弦所對(duì)的圓心角度數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：假設(shè)該圓的圓心為O，連接，如圖所示：∵分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊，∴，∴，，∴，∴，故②正確；∵，，∴是等邊三角形∵∴，∴該圓的半徑為4，故①正確；∵，∴，∵，∴的長(zhǎng)度為：，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為：，故③正確；故答案為：①②③11．如圖，內(nèi)接正八邊形，若的面積為，則正八邊形的面積為_(kāi)____．【答案】【分析】本題考查的是正多邊形和圓，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形的面積公式得到的面積的面積，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：取中點(diǎn)，則點(diǎn)為正八邊形外接圓的圓心，連接，的面積的面積，圓內(nèi)接正八邊形是由個(gè)與全等的三角形構(gòu)成．則圓內(nèi)接正八邊形為，故答案為：．

12．如圖，菱形中，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______.（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股定理，連接，作于，由菱形的性質(zhì)可得，，從而得出是等邊三角形，計(jì)算出，最后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，作于，，四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，，于，，，，故答案為：．三、解答題13．如圖，在的內(nèi)接正八邊形中，，連接．

(1)求證；(2)的長(zhǎng)為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，先證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）作，，證明，，四邊形是矩形，從而可得答案．【詳解】（1）證明：連接，正八邊形，∴，

，，，∴．（2）∵，同理可證：，，∴四邊形為等腰梯形，，作，，

∵，，在中，，，，同理可得，∵，，，∴四邊形是矩形，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓與正多邊形的知識(shí)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握正多邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．（1）解方程：．（2）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑，求邊心距的長(zhǎng)．【答案】（1），

（2）【分析】本題考查一元二次方程的解法，圓內(nèi)接正六邊形的邊心距問(wèn)題，掌握公式法解一元二次方程，正多邊形的性質(zhì)，會(huì)求中心角，會(huì)利用邊心距和半徑構(gòu)成直角三角形，會(huì)用銳角三角函數(shù)求解是關(guān)鍵．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）連接，證出，，利用勾股定理解題即可．【詳解】（1）解：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，；（2）連接，∵是正六邊形，∴，又∵，，∴，∴CM=1∴．15．如圖，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若，（1）弧的長(zhǎng)為；（2）連接，則與的面積比為．【答案】/【分析】本題考查正多邊形和圓，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，三角形的面積，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)．（1）設(shè)圓的圓心是，連接，根據(jù)是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，算出的度數(shù)，得出圓的半徑為2，根據(jù)是圓內(nèi)接正方形的一邊，算出的度數(shù)，即可求解；（2）設(shè)半徑是，作交延長(zhǎng)線于，根據(jù)解三角形算出根據(jù)垂徑定理求出根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出根據(jù)即可求解；【詳解】（1）設(shè)圓的圓心是，連接，∵是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，∴的度數(shù)，∴是等邊三角形，∴，∴該圓的半徑為2；∵是圓內(nèi)接正方形的一邊，∴的度數(shù)，的長(zhǎng)；（2）設(shè)半徑是，作交延長(zhǎng)線于，由（1）解得的度數(shù)，∵是圓內(nèi)接正三邊形的一邊，∴的度數(shù)，∴的度數(shù)，∴的度數(shù)，平分平分16．如圖，正六邊形內(nèi)接于．

(1)若是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；(2)已知的面積為．求的度數(shù)；求的半徑．【答案】(1)；(2)；．【分析】（）在取一點(diǎn)，連接，利用弦和圓周角的關(guān)系即可求出的值；（）證明是等邊三角形即可求出；利用三角函數(shù)求出，，再根據(jù)的面積為即可求出．【詳解】（1）如圖所示，在取一點(diǎn)，連接，

∵六邊形是正六邊形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，∴；∵，∴，，∴，∴，即的半徑為．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)解正六邊形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)解正六邊形的性質(zhì)及弦和圓周角之間的關(guān)系．17．如圖，五邊形是半徑為的圓內(nèi)接五邊形，為的中點(diǎn)．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】設(shè)圓的圓心為，連接，，，，交于．證明，，可得結(jié)論．【詳解】證明：設(shè)圓的圓心為，連接，，，，交于．

五邊形是正多邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，正多邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．18．已知的直徑，弦與弦交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．

(1)如圖，如果，求弦的長(zhǎng)；(2)如圖，如果為弦的中點(diǎn)，求的值；(3)連接，，，如果是的內(nèi)接正邊形的一邊，是的內(nèi)接正（）邊形的一邊，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）連接OC，根據(jù)得出，然后進(jìn)一步得出，從而得到，然后進(jìn)一步利用三角函數(shù)求解即可；（2）連接，證明，則，，再證明是的中位線，設(shè)，則，則，解得，則，，得到，根據(jù)即銳角三角函數(shù)的定義即可得到答案；（3）連接，由，，即，解得．求