專題08 正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略（原卷版）

專題08正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一正多邊形中邊心距的計算】 1【考點二正多邊形邊長的計算】 2【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】 2【考點四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點一正多邊形中邊心距的計算】【例題1】如圖，正六邊形內(nèi)接于，若正六邊形的周長是，則它的邊心距為（

）A．2 B． C． D．【變式1】如圖，正六邊形內(nèi)接于，過點O作于點M，若的半徑為4，則邊心距的長為．【變式2】已知正方形與正六邊形都內(nèi)接于圓，若正方形邊長為，則．

【變式3】如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為4．(1)求正六邊形的邊心距．(2)求正六邊形的面積．【考點二正多邊形邊長的計算】【例題2】如圖，已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R，則正九邊形的邊長為（

）A． B． C． D．【變式1】如圖，正方形內(nèi)接于、E為上一點，連接．若，則正方形的邊長為．【變式2】如圖．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，則⊙O的半徑為（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm【變式3】如圖，正外接圓的半徑為2，求正的邊長，邊心距，周長和面積．【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】【例題3】如圖，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直徑，AC⊥BD于F，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【變式1】如圖，為直徑，于點，于，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【變式2】如圖，正方形的邊長為4，以為直徑的半圓交對角線于點E，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【變式3】如圖，半圓O的直徑為10，點C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【考點四同底數(shù)冪乘除法應(yīng)用的拓展提高】【例題4】“割圓術(shù)”是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計算圓周率的方法：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即隨著邊數(shù)增加，圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，進而可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積．設(shè)圓的半徑為，則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率約為（

）A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141【變式1】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點為的中點，連結(jié)交于點，若，則的長為（

）A． B． C． D．【變式2】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點為的中點，連結(jié)交于點，若，則的長為（

）A． B． C． D．【變式3】大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．一個巢房的橫截面為正六邊形，如圖所示，若邊心距，則這個正六邊形的面積是_______．

【過關(guān)檢測】一．選擇題1．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．如圖，點，，在上，若，，分別是內(nèi)接正三角形．正方形，正邊形的一邊，則（）A．9 B．10 C．12 D．153．如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到，此時點的對應(yīng)點落在上，延長，交于點，若，則圖中陰影部分的而積為（

）

A． B． C． D．4．如圖，等腰三角形的頂角，與底邊相切于點，并與兩腰，分別相交于，兩點，連接，．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題5．如果正六邊形的邊長是1，那么它的邊心距是________．6．我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416.如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為______．

7．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，記的周長為，正六邊形的周長為，則的值為_________．8．如圖，的半徑為3，正六邊形內(nèi)接于，則正六邊形的面積為______．9．我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子發(fā)展了劉微的“割圓術(shù)”（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周長就越接近圓周長），他們從圓內(nèi)接正六邊形算起，一直算到內(nèi)接正24576邊形，將圓周率精確到小數(shù)點后七位，使中國對圓周率的計算在世界上領(lǐng)先一千多年．依據(jù)“割圓術(shù)”，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近似值是______．10．如圖，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若有下面三個結(jié)論，①該圓的半徑為4；②；③圖中陰影部分的周長為，其中正確結(jié)論的序號是______．11如圖，內(nèi)接正八邊形，若的面積為，則正八邊形的面積為_________．12．如圖，菱形中，以點為圓心，長為半徑作弧，若，則圖中陰影部分的面積為_______.（結(jié)果保留）三、解答題13．如圖，在的內(nèi)接正八邊形中，，連接．

(1)求證；(2)的長為．14．（1）解方程：．（2）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑，求邊心距的長．15．如圖，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若，（1）弧的長為；（2）連接，則與的面積比為．16．如圖，正六邊形內(nèi)接于．

(1)若是上的動點，連接，求的度數(shù)；(2)已知的面積為．求的度數(shù)；求的半徑．17．如圖，五邊形是半徑為的圓內(nèi)接五邊形，為的中點．求證：．

18．已知的直徑，弦與弦交于點，，垂足為點．

(1)如圖，如果，求弦的長；(2)如圖，如果為弦的中點，求的值；(3)連接，，，如果是的內(nèi)接正邊形的一邊，是的內(nèi)接正（）邊形的一邊，求的面積．19．如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半