專題4.7 極值點偏移問題（原卷版）

專題4.7極值點偏移問題題型一對稱變換法題型二差值代換法題型三比值代換法題型四對數(shù)均值不等式題型一 對稱變換法例1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）（多選）已知關(guān)于的方程有兩個不等的實根，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．例2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，a為實數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：練習(xí)1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函數(shù)（）．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，（），求證：．練習(xí)2．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù)；(2)當(dāng)有兩個零點時，分別設(shè)為，，試判斷與2的大小關(guān)系，并證明.練習(xí)3．（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)設(shè)函數(shù)有兩個零點，證明：．練習(xí)4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．練習(xí)5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若，求證：題型二 差值代換法例3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．例4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.練習(xí)6．（2022春·四川南充·高二閬中中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個極值點、．求證：．練習(xí)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點為、且，求證：.練習(xí)8．（2022春·全國·高二期末）設(shè)函數(shù)（）．(1)當(dāng)時試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)，記，當(dāng)時，若方程有兩個不相等的實根，，證明．練習(xí)9．（2022春·全國·高二期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的圖象與的圖象交于，兩點，證明：.練習(xí)10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)求證：當(dāng)時，；(2)當(dāng)方程有兩個不等實數(shù)根時，求證：題型三 比值代換法例5．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．例6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；(2)若函數(shù)恰有三個極值點、、，且，求的最大值．練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：；(3)設(shè)函數(shù)的兩個零點、，求證：.練習(xí)12．（2022秋·福建寧德·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)討論的零點個數(shù)．(2)若有兩個不同的零點，證明：．練習(xí)13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，恰好存在一條過原點的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個根，（），求證：．練習(xí)14．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若有兩個極值點，求的取值范圍；(2)記有兩個極值點為、，試證明：．練習(xí)15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.題型四 對數(shù)均值不等式例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若有唯一零點，設(shè)滿足條件的值為與證明：①與互為相反數(shù)；②；(2)設(shè).若存在兩個不同的極值點、，證明.參考數(shù)據(jù)：，例8．（2022春·四川南充·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，記，當(dāng)時