專題2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性（原卷版）

專題2.3函數(shù)的奇偶性與周期性思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的幾何特征一般地，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的定義1．偶函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．2．奇函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三奇(偶)函數(shù)的定義域特征奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)四用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，想求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．知識(shí)點(diǎn)五奇偶性與單調(diào)性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調(diào)性．典型例題分析考向一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\f(1,x)；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(4)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2).反思感悟判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系．(2)圖象法．考向二利用函數(shù)的奇偶性求解析式例2函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式．反思感悟求給定哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x，此時(shí)－x成為了已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式．考向三構(gòu)造方程組求函數(shù)的解析式例3設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．反思感悟f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立，所以可以對(duì)x任意賦值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的負(fù)號(hào)或提或消，最終得到關(guān)于f(x)，g(x)的二元方程組，從中解出f(x)和g(x)．考向四利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小例4設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)反思感悟利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小(1)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(2)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。A(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，時(shí)，，那么的值是多少（

）.A． B． C． D．2．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．3．已知函數(shù)與函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則A．1 B．2 C．0 D．-14．已知非空集合A，B滿足：，，函數(shù)，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①存在唯一的非空集合對(duì)，使得為偶函數(shù)；②存在無窮多非空集合對(duì)，使得方程無解.下面判斷正確的是（

）A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確C．①?②都正確 D．①?②都錯(cuò)誤5．已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)同時(shí)滿足:①對(duì)于定義域上的任意,恒有；②對(duì)于定義域上的任意,當(dāng)時(shí),恒有；則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列三個(gè)函數(shù)：（1）（2）（3），其中能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）個(gè).A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．已知，設(shè)函數(shù)，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能為（

）A．4與1 B．5與2 C．5與3 D．6與48．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．是圖象的一條對(duì)稱軸D．在上單調(diào)遞增三、填空題9．函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，________．10．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．11．已知定義在的偶函數(shù)在是增函數(shù)，且，則不等式的解集是______．12．已知是R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則__________.四、解答題13．函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；14．已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，并解不等式.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)解不等式.16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義加以證明；(3)求在區(qū)間上的值域.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（

）A． B．3 C． D．12．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么下列式子成立的是（

）A． B．C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是

A． B．C． D．4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)＝()A．－2 B．－1C．1 D．35．已知定義在上的函數(shù)滿足．若函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．5 B．10 C．15 D．206．狄利克雷函數(shù)為F(x).有下列四個(gè)命題：①此函數(shù)為偶函數(shù)，且有無數(shù)條對(duì)稱軸；②此函數(shù)的值域是；③此函數(shù)為周期函數(shù)，但沒有最小正周期；④存在三點(diǎn)，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④二、多選題7．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，得出如下結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．是偶函數(shù) B．的值域?yàn)镃．有且只有1個(gè)零點(diǎn) D．8．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有下界，m為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)在定義域上有下界，則函數(shù)有最小值B．若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)一定有下界C．若函數(shù)為有界函數(shù)，則函數(shù)是有界函數(shù)D．若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù)三、填空題9．函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值______.10．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．11．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.12．定義函數(shù)如下:對(duì)于實(shí)數(shù),如果存在整數(shù),使得,則.則下列結(jié)論:①是實(shí)數(shù)上的遞增函數(shù);②是周期為1的函數(shù);③是奇函數(shù);④函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).則正確結(jié)論的序號(hào)是______.四、解答題13．判斷下列函數(shù)的奇偶性