吉林省白城市通榆縣第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

通榆一中2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計、計數(shù)原理、隨機變量及分布．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.某學(xué)校共人參加數(shù)學(xué)測驗，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計成績不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（）A.人 B.人 C.人 D.人4.設(shè)，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.6.設(shè)某批產(chǎn)品產(chǎn)量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（）A.7萬件 B.8萬件 C.9萬件 D.10萬件7.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公方差．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為，，則數(shù)列的前33項的和為（）A.3 B.6 C.2 D.48.已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點坐標(biāo)分別為，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.甲、乙兩個旅游景區(qū)某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如圖所示（氣溫均取整數(shù)），則關(guān)于這7天的日均氣溫，下列判斷正確的是（）A.甲旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)相等B.甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)相等C.甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動比乙城市的日均氣溫波動大D.乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為10.已知實數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.11.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.C.奇函數(shù) D.與關(guān)于原點對稱12.已知數(shù)列滿足，，且，則下列說法正確的是（）A.，B.是遞增數(shù)列C.D.，，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則__________.14.某班準(zhǔn)備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準(zhǔn)備表演3個歌唱類節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則不同的排法有______種．15.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的倍時，它的游速是______.16.已知函數(shù)若，函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18.隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》，為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備．某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了、兩個參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從、兩個中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機抽取了60人統(tǒng)計其參賽獲獎情況，統(tǒng)計結(jié)果如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？（2）用分層隨機抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，記所選的3人中有人來自中學(xué)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（且）．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．20.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.（1）求，的解析式；（2）若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.21.某校在體育節(jié)期間進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案．方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙兩位同學(xué)參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機會，投中與否互不影響．（1）若甲同學(xué)選擇方案A投籃，乙同學(xué)選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；（2）若甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？22.已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個不同的極值點，其中①求的取值范圍；②證明：23.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求與的解析式；（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)所有實數(shù)解的和．通榆一中2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計、計數(shù)原理、隨機變量及分布．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用交集的概念即得.【詳解】由可得，即，所以．故選：C．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】掌握存在量詞的命題的否定需要改變量詞和結(jié)論的判斷詞即可.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題，的否定是，．故選:D．3.某學(xué)校共人參加數(shù)學(xué)測驗，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計成績不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（）A.人 B.人 C.人 D.人【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性求出的值，再乘以可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，所以．又，則，估計成績不及格（在分以下）的學(xué)生人數(shù)為（人）．故選：C．4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.【詳解】①當(dāng)時，滿足“”，但不滿足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.綜上，可知“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分別判斷即可，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)在的單調(diào)性.【詳解】對于A，的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，不符合題意；對于C，，所以，所以為偶函數(shù)，又，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；對于D，，令，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意．故選：C．6.設(shè)某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（）A.7萬件 B.8萬件 C.9萬件 D.10萬件【答案】B【解析】【分析】表達(dá)出總利潤關(guān)于的關(guān)系式，變形后利用基本不等式求出最值，得到答案.【詳解】總利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，最大，故總利潤最大時的產(chǎn)量為8萬件．故選：B．7.定義“等方差數(shù)列”：如果一個數(shù)列各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公方差．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為，，則數(shù)列的前33項的和為（）A.3 B.6 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為3，得到，再利用等差數(shù)列通項公式求得，從而得到求解.【詳解】解：因為數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為3，所以，又，所以，又?jǐn)?shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，，所以，，故選：A．8.已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點坐標(biāo)分別為，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在兩點處的切線斜率，即可得出是的兩根，利用韋達(dá)定理即可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知的定義域為，所以，易得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點為時，切線斜率為,同理可得，點處切線斜率為；又因為兩條切線與直線平行，可得，即所以是關(guān)于方程的兩根，所以，即，又可得；所以，由可得即，所以的取值范圍是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達(dá)定理即可求得表達(dá)式的取值范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.甲、乙兩個旅游景區(qū)某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如圖所示（氣溫均取整數(shù)），則關(guān)于這7天的日均氣溫，下列判斷正確的是（）A.甲旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的平均數(shù)相等B.甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)與乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)相等C.甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動比乙城市的日均氣溫波動大D.乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為【答案】ABC【解析】【分析】對于選項A，分別計算甲和乙旅游景區(qū)的氣溫平均數(shù)，從而判斷A的正誤；對于選項B，分別計算甲和乙旅游景區(qū)的氣溫中位數(shù)，從而判斷B的正誤；對于選項C，根據(jù)折線圖判斷哪個城市的日均氣溫波動大，進(jìn)而判斷C的正誤；對于選項D，根據(jù)折線圖找到乙地氣溫的最大值和最小值，從而得到乙的日均氣溫極差，進(jìn)而判斷C的正誤.【詳解】對于A，B項，甲旅游景區(qū)的日均氣溫分別為；乙旅游景區(qū)的日均氣溫分別為.因為甲旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)為，平均數(shù)為，乙旅游景區(qū)日均氣溫的中位數(shù)為，平均數(shù)為，故A，B正確；對于C項，根據(jù)折線圖知甲旅游景區(qū)的日均氣溫波動比乙城市的日均氣溫波動大，故C正確；對于項，因為乙旅游景區(qū)日均氣溫的極差為，故D錯誤.故選：ABC10.已知實數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合作差比較法，可判定A正確，D不正確；利用不等式的基本性質(zhì)，可得判定B正確；由基本不等式，可判定C正確.【詳解】由不等式，可得且，即，對于A中，由，所以，所以A正確；對于B中，由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，因為，所以等號不成立，即1，所以C正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以D錯誤.故選：ABC.11.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.C.是奇函數(shù) D.與關(guān)于原點對稱【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項；利用對稱性定義可判斷D選項.【詳解】對于選項A，因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得2，所以圖象關(guān)于對稱，故A正確；對于選項B，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，故B正確；對于選項C，，故C正確；對于選項D，因為，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列滿足，，且，則下列說法正確的是（）A.，B.是遞增數(shù)列C.D.，，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得，進(jìn)而得到與同號判斷A；由即可判斷B；由，再用累加法判斷C；由C分析得，進(jìn)而，應(yīng)用累加、裂項相消判斷D.【詳解】由已知，數(shù)列滿足，，且，所以，所以，由，有，，故與同號，因為，則，，…，以此類推可知，對任意的，，故A正確；因，所以，又，所以，則是遞減數(shù)列，故B錯誤；因為，所以，，…，，累加得，故C正確；因為，又，，所以，所以，則，所以當(dāng)，時，，所以當(dāng)，時，，所以，故D正確．故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于D，利用遞推關(guān)系得到，結(jié)合放縮、累加、裂項相消證不等式.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，且，從而得解.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且，又當(dāng)時，，所以，所以.

故答案為：14.某班準(zhǔn)備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準(zhǔn)備表演3個歌唱類節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則不同的排法有______種．【答案】84【解析】【分析】考慮前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目和前2個節(jié)目中恰有1個是語言類，有1個是歌唱類兩種情況，根據(jù)分步乘法原理以及分類加法原理，即可求得答案.【詳解】若前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時后3個為歌唱類節(jié)目，有種情況；若前2個節(jié)目中恰有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，剩余的3個節(jié)目進(jìn)行全排列，則有種情況，則共有種情況．綜上，有種不同的排法，故答案為：8415.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的倍時，它的游速是______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，計算出的值，再將代入，即可得解.【詳解】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，則，可得，將代入可得，.故答案為：.16.已知函數(shù)若，函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由題意求出，函數(shù)恰有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有三個交點，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】依題意，，可得，函數(shù)恰有三個不同的零點，即恰有三個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有三個交點，函數(shù)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象，，解得，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式直接列方程計算；（2）利用分組求和的方法求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，所以，所以，解得，所以【小問2詳解】由（1）得，則，所以.18.隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》，為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備．某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了、兩個參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從、兩個中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機抽取了60人統(tǒng)計其參賽獲獎情況，統(tǒng)計結(jié)果如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？（2）用分層隨機抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，記所選的3人中有人來自中學(xué)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】（1）獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校無關(guān)；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）利用卡方公式求卡方值，應(yīng)用獨立檢驗的基本思想即可得結(jié)論；（2）由分層抽樣等比性質(zhì)確定、中學(xué)各抽取的人數(shù)，進(jìn)而得到的可能取值并求出對應(yīng)概率，寫出分布列，最后求期望.【小問1詳解】補全列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計中學(xué)11617中學(xué)34943總計451560零假設(shè)為：獲得區(qū)前三名及以上名次與所在學(xué)校無關(guān)．所以，故依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分的證明推斷不成立，所以認(rèn)為成立，即獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校無關(guān)．【小問2詳解】由題意，用分層隨機抽樣抽取的5人中，來自中學(xué)的有2人，來自中學(xué)的有3人，故的可能取值有0，1，2，則，，，所以的分布列為012所以．19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（且）．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用（）化簡題中條件，可得列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)（），即可求解；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，即，解得．因為（），所以（），又（，），，所以（），又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．【小問2詳解】由（1）知，所以，所以，所以，所以．20.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.（1）求，解析式；（2）若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用奇偶性求，通過解方程組法可得；（2）利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡方程（去對數(shù)號），再換元設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（*）只有一個大于0的根，然后分類討論可得參數(shù)范圍．【小問1詳解】因為，①所以，又因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，所以，②由①②得，.【小問2詳解】由，得，化簡得，令，則，即關(guān)于的方程（*）只有一個大于0的根.①當(dāng)時，，滿足條件；②當(dāng)方程（*）有一正一負(fù)兩根時，滿足條件，則，所以；③當(dāng)方程（*）有兩個相等的正根時，則，解得或，當(dāng)時，，滿足條件.當(dāng)時，，舍去．綜上所述，或，即的取值范圍為.21.某校在體育節(jié)期間進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案．方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙兩位同學(xué)參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機會，投中與否互不影響．（1）若甲同學(xué)選擇方案A投籃，乙同學(xué)選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；（2）若甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？【答案】（1）分布列見解析；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出及的可能值，再求出各個值的概率，列出分布列；（2）求出都選擇方案A，都選擇方案B投籃得分之和的均值，再比較大小即可作答.【小問1詳解】依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得.的所有可能值為0，2，3，5，，，，，所以的分布列為：0235【小問2詳解】設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，因為，，則，，若，即，解得，若，即，解得，若，即，解得，所以，當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；當(dāng)時，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案