6.3 二項(xiàng)式定理（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】6.3二項(xiàng)式定理（精練）1二項(xiàng)式的展開(kāi)式1．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【解析】.故選：D.2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，則A－B的值為（

）A．128

B．129

C．47

D．0【答案】A【解析】，故選：A3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都可看作，故該多項(xiàng)式為的展開(kāi)式，化簡(jiǎn)．故選：D.4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：________．【答案】1【解析】,故答案為：15．（2022山西）化簡(jiǎn)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．【答案】x5－1【解析】原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．故答案為：x5－1.2二項(xiàng)式指定項(xiàng)的（二項(xiàng)式）系數(shù)1．（2022廣東）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令可得，所以的系數(shù)為.故選：B.2．（2023福建）的展開(kāi)式中的第7項(xiàng)為（）A．3546 B．5437 C．4532 D．5376【答案】D【解析】，故選：D.3．（2022安徽）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，其中是有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）A．4項(xiàng) B．7項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，，時(shí)滿(mǎn)足題意，共6項(xiàng)．故選：D.4．（2022春·河北保定·高二高陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則可以?。?/p>

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】的通項(xiàng)公式，其中且，要想展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則，即，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足要求，經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)均不合題意.故選：A5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為20，則______.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：.6．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開(kāi)式中的的系數(shù)是________．【答案】160【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為64，故有，得，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，所以.即的系數(shù)是.故答案為：160.7．（2023秋·河北石家莊·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________．【答案】120【解析】的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故的展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：1208．（2022春·四川綿陽(yáng)·高二?？计谀┤簦瑒t__________.【答案】【解析】，因?yàn)?，令，解?所以，即.故答案為：9．（2022春·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知，則_____．【答案】.【解析】令，則，所以條件可整理為：，所以.故答案為：.10．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如果的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第2項(xiàng)系數(shù)的比是4，那么展開(kāi)式里x的有理項(xiàng)有________項(xiàng)．（填個(gè)數(shù)）【答案】2【解析】依題意可得，即，解得或（舍去）．所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（，1，2，，，根據(jù)題意，解得或，展開(kāi)式里所有的有理項(xiàng)為，共項(xiàng)；故答案為：3（二項(xiàng)式）系數(shù)和1．（2022秋·上海楊浦·高二?？计谀┮阎亩?xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)為又因?yàn)榈陧?xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)相等，所以，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，則，故，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：C.2．（2023秋·甘肅蘭州）的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為256，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．3 D．1或-3【答案】D【解析】展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以總共有9項(xiàng)，令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為故選：D3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知（為常數(shù)）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．90 B．10 C．10 D．90【答案】A【解析】因?yàn)椋槌?shù)）的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，所以，得，所以，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：A4．（2022春·江蘇南京·高二?？计谥校ǘ噙x）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，令，得，令，得，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)選B，因?yàn)?，所以表示的各?xiàng)系數(shù)之和，令，則，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，令，則，則，故D正確.故選：BD5．（2022廣東潮州）（多選）設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)【答案】AC【解析】因?yàn)?，令得，故A正確；令得，所以，故B錯(cuò)誤；二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，，所以，故C正確；因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式共項(xiàng)，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.6．（2022秋·江蘇宿遷·高二沭陽(yáng)如東中學(xué)?？计谀ǘ噙x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由，當(dāng)時(shí)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，D選項(xiàng)正確；，由二項(xiàng)式定理，，B選項(xiàng)正確.故選：BCD7．（2022·浙江）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)A，為展開(kāi)式中最高次項(xiàng)系數(shù)，只能由展開(kāi)式的最高次項(xiàng)相乘，故為，即，故A正確；對(duì)B，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對(duì)D，令，則，結(jié)合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC8．（2022山東）已知關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，常數(shù)項(xiàng)為則展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有__________項(xiàng)【答案】6【解析】關(guān)于的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，．展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得常數(shù)項(xiàng)為，．要使該項(xiàng)為有理項(xiàng)，需為整數(shù)，故，2，4，6，8，10，故有理項(xiàng)有6項(xiàng).故答案為：69．（2022江西南昌）已知展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則其展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.【答案】80【解析】令，各項(xiàng)系數(shù)和，解得，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，則的系數(shù)為.故答案為：80.4（二項(xiàng)式）系數(shù)最值1．（2022秋·浙江寧波）（多選）若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（

）A．二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng) D．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】BD【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，對(duì)于A，令，可得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，則二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)?，所以，則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以D正確，故選：BD．2．（2022廣東揭陽(yáng)）（多選）在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大C．第3項(xiàng)的系數(shù)最大 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為128【答案】ABC【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由，得(舍去)，所以展開(kāi)式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確；展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B正確；由通項(xiàng)公式可得為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)才有可能取到最大值，由，可知第項(xiàng)的系數(shù)最大，故C正確；令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.3．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，以下說(shuō)法正確的是（

）A．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第n項(xiàng)B．各項(xiàng)系數(shù)之和為0C．當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)D．展開(kāi)式共有項(xiàng)【答案】BD【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,共有項(xiàng)，故D正確，展開(kāi)式中中間項(xiàng)中有一項(xiàng)，即第n+1項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第n+1項(xiàng)，A錯(cuò)誤；令，則得，即各項(xiàng)系數(shù)之和為0，B正確；當(dāng)時(shí)，，其通項(xiàng)公式為，第6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，這一項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，故根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)是第5項(xiàng)和第7項(xiàng)，即最大，故C錯(cuò)誤；故選：BD4．（2022春·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校ǘ噙x）已知展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256 B．展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．展開(kāi)式中存在含的項(xiàng) D．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BD【解析】∵展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，∴令，得，∵a＞0，∴a＝1則二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為：展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為×1024＝512，故A錯(cuò)誤；由展開(kāi)式的通項(xiàng)可知，項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)相同，且展開(kāi)式有11項(xiàng)，故展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；令，可得不是自然數(shù)，則展開(kāi)式中不存在含的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故D正確，故選：BD．5．（2022春·福建南平·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（

）A．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為第6項(xiàng)【答案】AB【解析】對(duì)于A，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為：，A正確；對(duì)于B，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，B正確；對(duì)于C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為，此時(shí)應(yīng)為第項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得：，令，解得，常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為第項(xiàng)，D錯(cuò)誤.故選：AB.6．（2023·江蘇蘇州）已知的展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________．【答案】2【解析】的展開(kāi)式有項(xiàng),因?yàn)閮H有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,符合題意所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2故答案為：27．（2022甘肅蘭州·）已知二項(xiàng)式，在其展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)___________．【答案】【解析】由題意知，.根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為-160.故答案為：-160.8．（2022秋·上海楊浦·高二?？计谀┰诘亩?xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】70【解析】的二項(xiàng)展開(kāi)式為，顯然當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為正，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為負(fù)，其中，，，故系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：709．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】462【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)或時(shí)，其系數(shù)最大，則最大系數(shù)為，故答案為：462.5兩個(gè)二項(xiàng)式及三項(xiàng)式系數(shù)1．（2022秋·吉林遼源·高二遼源市第五中學(xué)校?？计谀┑恼归_(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．-160 B．60 C．240 D．-192【答案】B【解析】因?yàn)榈恼故綖?，要得的展開(kāi)式中常數(shù)，只需求出的展式中項(xiàng)即可.所以令，解得，所以的展式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為60.故選：B.2．（2023秋·江西贛州）若展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為729，展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C．30 D．90【答案】D【解析】令，可得，解得，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：D.3．（2023·福建）的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．400 B．480 C．720 D．800【答案】D【解析】，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)為，其中，，且、，令，可得或或，因此的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．480 C． D．240【答案】A【解析】看成是6個(gè)相乘，要得到.分以下情況:6個(gè)因式中，2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，此時(shí)的系數(shù)，所以的系數(shù)為.故選：A5．（2023秋·遼寧鐵嶺）的展開(kāi)式中，共有多少項(xiàng)？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【解析】當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)只含有1個(gè)字母時(shí)，有3項(xiàng)，當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)只含有2個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)含有3個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),所以的展開(kāi)式共有45項(xiàng)；故選：A.6．（四川省涼山州2023屆）展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）．【答案】5【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)為，所以，．故展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：5.7．（2023·四川攀枝花）的展開(kāi)式中的系數(shù)為12，則_________．【答案】【解析】由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，含項(xiàng)為，故，可得.故答案為：8．（2023湖北）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.【答案】6【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得；令，則無(wú)自然數(shù)解.所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：9．（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為70，則______．【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得．故答案為：10．（2022·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？家荒＃┲械南禂?shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】，其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，要得到，則，解得.的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.11．（2023·江蘇）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是__________.【答案】【解析】因?yàn)椋归_(kāi)式第項(xiàng)展開(kāi)式第項(xiàng)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以展開(kāi)式中項(xiàng)為，則的系數(shù)為，故答案為：.6二項(xiàng)式定理的運(yùn)用1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，若能被13整除，則a的值為（

）．A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【解析】，且含有因數(shù)52，故能被52整除，要使得能被13整除，且，，則可得，且，故，.故選：B2．（2022安徽·高二校聯(lián)考期末）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【解析】原式+．故選：A．3．（2023·湖南）寫(xiě)出一個(gè)可以使得被100整除的正整數(shù)______.【答案】1（答案不唯一）【解析】由題意可知，將利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得顯然，能被100整除，所以，只需是100的整數(shù)倍即可；所以，得不妨取，得.故答案為：14．（2022秋·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)n∈N，且能被6整除，則n的值可以為_(kāi)________.(寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的n的值即可)【答案】5（答案不唯