7.1 條件概率及全概率（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】7.1條件概率及全概率（精練）1條件概率1．（2022春·上海普陀·高二曹楊二中?？计谀┠车貐^(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，則既刮風(fēng)又下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記“下雨”，“刮風(fēng)”，“刮風(fēng)又下雨”，則，所以.故選：C2．（2022春·吉林白城·高二校考階段練習(xí)）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實(shí)踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，從現(xiàn)有4名男生，2名女生選出3人參加學(xué)校組織的社會實(shí)踐活動，設(shè)男生甲被選中為事件，其概率為，設(shè)女生乙被選中為事件，則男生甲被選中且女生乙也被選中的概率為，所以在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.故選：B.3．（2022秋·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎郎戏庞?本語文書和3本數(shù)學(xué)書．小明現(xiàn)從這6本書中任意抽取3本書，A表示事件“至少抽到1本數(shù)學(xué)書”，B表示事件“抽到語文書和數(shù)學(xué)書”，則＝（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得,由條件概率的公式得.故選：D4．（2022春·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期末）（多選）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．下列結(jié)論正確的是（

）A．每次隨機(jī)抽取一個零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同B．任取一個零件，它不是第1臺車床加工的概率是0.75C．任取一個零件，它是次品的概率小于0.06D．如果取到的零件是次品，那么它是第2臺車床加工的概率是【答案】BC【解析】記事件為“任取一個零件為次品”，事件為“零件是第臺機(jī)床加工”，，，且兩兩互斥，由題意，，，，，由全概率公式第1次抽到次品的概率，第2次取得次品與第1次取得次品這兩個事件是相互獨(dú)立的，因此第2次取得次品的概率仍然是，A錯；任取一個零件，它不是第1臺車床加工的概率是，B正確；由A選項(xiàng)計算結(jié)論知C正確；5．（2023·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┠硞€闖關(guān)游戲規(guī)定：闖過前一關(guān)才能去闖后一關(guān)，若某一關(guān)沒有通過，則游戲結(jié)束.小明闖過第一關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為，連續(xù)闖過前三關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第三關(guān)闖關(guān)成功，則______.【答案】【解析】設(shè)事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，由題意，，所以.故答案為：.6．（2023·高二課時練習(xí)）5個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下第二次取到新球的概率是______．【答案】【詳解】設(shè)第一次取到新球?yàn)槭录?，第二次取到新球?yàn)槭录?，則.故答案為：.7．（2023·高二課時練習(xí)）一個盒子中有4個產(chǎn)品，其中3個一等品，1個二等品，從中無放回地取產(chǎn)品兩次，每次任取一個，則在第一次取出一等品產(chǎn)品的條件下第二次也取出一等品產(chǎn)品的概率是______．【答案】【解析】設(shè)事件為“第一次取到的是一等品”，事件為“第二次取到的是一等品”.事件前兩次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得，由古典概型的概率公式得，由條件概率公式得，故答案為：.8．（2023·高二課時練習(xí)）將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，記事件A為“至少有一次正面朝上”，事件為“兩次擲出同一面”，則在已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率是______．【答案】【解析】將一枚硬幣拋擲兩次，按正反面的情況有4個基本事件，正正，正反，反正，反反，事件含有3個基本事件：正反，反正，正正，，事件與同時發(fā)生只有一個基本事件：正正，，∴．故答案為：．9．（2023·高二課時練習(xí)）春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率是，感冒發(fā)作的概率是，鼻炎發(fā)作且感冒發(fā)作的概率是，則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率是______．【答案】【解析】記事件＝“某人在春季里鼻炎發(fā)作”，事件＝“某人在春季里感冒發(fā)作”，由題意可知，此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率為，故答案為：10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知事件A和B是互斥事件，，，，則______．【答案】【解析】由題意知，，，則．故答案為：．2全概率1．（2022春·重慶九龍坡·高二四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校期末）（多選）甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以、和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．、、是兩兩互斥的事件D．的值不能確定，因?yàn)樗c、、中哪一個發(fā)生有關(guān)【答案】BC【解析】由題意可知，，，，.，A錯B對D錯；、、是兩兩互斥的事件，C對.故選：BC.2．（2022春·福建·高二校聯(lián)考期末）（多選）甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C． D．【答案】AD【解析】對于A，每次取出球，事件與事件是互斥事件且是對立事件，故A正確；對于B，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱黑球變?yōu)閭€，則取出白球概率發(fā)生變化，事件與事件不相互獨(dú)立，故B錯誤；對于C，若從甲箱取出個黑球放入乙箱，這時乙箱黑球變?yōu)閭€，白球還是個，則，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，，，所以，故D正確．故選：AD．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）盒子中有大小與質(zhì)地相同的5個紅球和4個白球，從中隨機(jī)取1個球，觀察其顏色后放回，并同時放入與其相同顏色的球3個，再從盒子中取1個球.則第二次取出的球是白色的概率為______.【答案】【解析】設(shè)事件為“第一次抽到白球”，事件為“第二次抽到白球”，則，所以，由題可得，，，，所以.故答案為：.4．（2022·高二單元測試）小李計劃周六去北京參加會議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時到達(dá)的概率分別為0.8，0.95，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車．天氣預(yù)報顯示當(dāng)天天睛的概率為0.7，則小李能準(zhǔn)時到達(dá)的概率為______．【答案】0.845【解析】小李能準(zhǔn)時到達(dá)的概率，故答案為：0.8455．（2022·高二課時練習(xí)）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率______（用含n的式子表示）．【答案】【解析】易知擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為．“第次由甲擲”這一事件，包含事件“第n次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲”和事件“第n次由乙擲，第次由甲擲”，這兩個事件發(fā)生的概率分別為，，故（其中），所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，即．故答案為：6．（2022春·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）某訓(xùn)練小組有20名射手，其中一、二、三級射手分別有6名、9名、5名，若選擇一、二、三級射手參加比賽，且在比賽中擊中目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8、0.6.現(xiàn)從該小組隨機(jī)選一人參加比賽，則在比賽中擊中目標(biāo)的概率為____________.【答案】0.78【解析】一、二、三級射手占比分別為且一、二、三級射手在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8、0.6，所以從該小組隨機(jī)選一人參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率為.故答案為：.7．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有8道四選一的單選題，小明同學(xué)對其中6道題有思路，2道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率只有0.25，小明同學(xué)從這8道題這隨機(jī)選擇1題，則小明做對該題的概率為_______．【答案】【解析】設(shè)事件A表示“考生答對”,事件B表示“考生選到有思路的題”.則該考生從這8道題中隨機(jī)選1題,則他答對該題的概率為:故答案為:8．（2022春·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）某工廠從甲、乙兩個分廠定制配件．其中甲廠獲得40%的訂單，次品率為9%；乙廠獲得60%的訂單，次品率為4%．那么這批配件的次品率為_________．【答案】【解析】設(shè)事件表示甲廠中的配件，則，事件表示乙廠中的配件，則，事件表示次品的配件，則，，故答案為：.9．（2022春·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)校考期末）某學(xué)校有A，兩家餐廳，小明第一天隨機(jī)選一家餐廳用餐，如果前1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果前1天去餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.小明第天去A餐廳的概率為___________.【答案】【解析】設(shè)小明第一天去A餐廳的概率為，第天去A餐廳的概率為，則，由題意可得：，即，故，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，故答案為：10．（2022春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%，第2，3臺加工的次品率均為4%，加工出來的零件混放在一起；已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%．現(xiàn)任取一個零件，則該零件是次品的概率為___________．【答案】【解析】由全概率公式可得，任取一個零件，則該零件是次品的概率為.故答案為：11．（2023·高二課時練習(xí)）甲、乙兩個箱子，甲箱中裝有兩個白球，一個黑球；乙箱中裝有一個白球，兩個黑球．現(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱，再從乙箱中任取一球，則該球是白球的概率是______．【答案】【解析】記事件從甲箱中取出的1個白球，記事件表示從甲箱中取出1個黑球，記事件表示從乙箱中取出1個白球；則，且，，，，，所以故答案為：.12．（2022·高二課時練習(xí)）有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現(xiàn)在任取一箱，從中不放回地先后取出2個零件．(1)求先取出的零件是一等品的概率；(2)求兩次取出的零件均為一等品的概率．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】(1)(2)0.22【解析】（1）記事件表示“任取的一箱為第箱零件”，則；記事件表示“第次取到的是一等品”，則，由題意得，，，，由全概率公式得：；（2），，，由全概率公式得：．13．（2022春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球．(1)從甲袋中取4個球，求這4個球中恰好有2個紅球的概率；(2)先從乙袋中取2個球放入甲袋，再從甲袋中取2個球，求從甲袋中取出的是2個紅球的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：依題意從個球中取4個球有中取法，其中4個球中恰好有個紅球，即恰好有個紅球、個白球，有種取法，所以4個球中恰好有2個紅球的概率；（2）解：記為從乙袋中取出個紅球、個白球，為從乙袋中取出個紅球，為從甲袋中取出個紅球，所以，，所以，，所以14．（2022春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機(jī)取一只袋，再從該袋中先隨機(jī)取1個球不放回，接著再從該袋中取1個球．(1)求第一次取出的球?yàn)榧t球的概率；(2)求第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．【答案】(1);(2).【解析】（1）設(shè)第一次取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录嗀，取到甲袋、乙袋、丙袋為事件，，，則，由全概率公式可得：.（2）設(shè)第二次取出的球是白球?yàn)槭录扇怕使娇傻茫?，所?3綜合運(yùn)用1．（2022春·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)A，B是兩個事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：由，而，則，即時成立，否則不成立，排除；B：當(dāng)A，B是兩個相互獨(dú)立的事件，有，否則不成立，排除；C：由且，故時成立，否則不成立，排除；D：由，而，則，符合；故選：D2．（2021·高二課時練習(xí)）已知，，則下列式子成立的是（

）①；②；③；④.A．①②③④ B．② C．②③ D．②④【答案】B【解析】①若則，故，故①錯誤；②因?yàn)樗运寓谡_；③若或則故③錯誤；④若或則故④錯誤.故選：B3．（2021·高二課時練習(xí)）已知事件A，B，且則P(B)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，易知,所以，所以.故選：B.4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.假設(shè)甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)從甲中取出個球，其中紅球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中紅球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為故選：C5．（2022春·全國·高二期末）（多選）下列說法中不正確的是（

）．A．在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作B．對事件A，B，有C．若，則事件A，B相互獨(dú)立D．相當(dāng)于事件A發(fā)生的條件下，事件AB發(fā)生的概率【答案】AB【解析】在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作，故A中說法錯誤．∵，，∴與不一定相同，故B中說法錯誤．若事件A與B相互獨(dú)立，即，且，則；反之，若，且，則，即事件A與B相互獨(dú)立．因此，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時，有，所以C中說法正確．表示事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，這時AB也發(fā)生了，D中說法顯然正確．故選：AB．6．（2022春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）（多選）已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，下列說法正確的有（

）A．若，則A，B相互獨(dú)立 B．若A，B相互獨(dú)立，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，對于A，因?yàn)?，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；對于B，若A，B相互獨(dú)立，則，故B正確；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選：ABC7．（2021春·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）對于兩個事件A?B，下列說法正確的是（

）A．若A?B對立，則A?B一定互斥；B．C．若A?B獨(dú)立，則D．【答案】ACD【解析】A.對立事件一定互斥，互斥事件不一定對立，故正確；B.因?yàn)?，所以，故錯誤；C.因?yàn)榛ハ嗒?dú)立，所以，所以，故正確；D.“事件或事件發(fā)生”的對立事件為“事件和事件都不發(fā)生”，所以，故正確.故選：ACD.8．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谀ǘ噙x）甲袋子中有5個黑球，4個白球，乙袋子中有3個黑球，4個白球．假設(shè)這些球除了顏色外其他都相同，分兩次從袋子中取球，第一次先從甲袋子中隨機(jī)取出一球放入乙袋子，分別用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再從乙袋子中隨機(jī)取出兩球，分別用事件，表示從乙袋子取出的球是“兩球都為黑球”，“兩球?yàn)橐缓谝话住?，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意得：，，，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：AD9．（2022春·湖北·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知事件，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，則，所以D選項(xiàng)正確．故選：ACD．10．（2022春·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）（多選）有甲、乙兩臺車床加工同一型號的零件，甲車床加工的優(yōu)質(zhì)品率為90%，乙車床加工的優(yōu)質(zhì)品率為80%，加工出來的零件混