7.4 二項(xiàng)分布及超幾何分布（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】7.4二項(xiàng)分布及超幾何分布（精練）1二項(xiàng)分布1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）．①某同學(xué)投籃的命中率為，他次投籃中命中的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，且服從二項(xiàng)分布；②某福彩中獎(jiǎng)概率為，某人一次買了張彩票，中獎(jiǎng)張數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，且服從二項(xiàng)分布；③從裝有大小與質(zhì)地相同的個(gè)紅球、個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹梗瑒t摸球次數(shù)是隨機(jī)變量，且服從二項(xiàng)分布．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】①某同學(xué)投籃投中的概率，該運(yùn)動(dòng)員重復(fù)次投籃，則命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，正確；②福彩中獎(jiǎng)概率為，某人一次買了張，中獎(jiǎng)張數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，滿足二項(xiàng)分布；所以②正確；③從裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)是隨機(jī)變量，則的可能取值為、、、、、，且，，，，，，不是二項(xiàng)分布，所以③不正確；故選：C．2．（2022春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的號(hào)碼，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)“向右下落”，“向左下落”，則，因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過(guò)程中共碰撞小木釘10次，所以，于是，同理可得：，A正確，B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布求方差公式得：，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別是和，且在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為．(1)求的值；(2)設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)事件表示“在任意時(shí)刻至少有一個(gè)安全防范系統(tǒng)不發(fā)生故障”，則，解得．（2）由題意得，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，3；，，，，所以隨機(jī)變量的分布為：01234．（2022春·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期末）某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過(guò)三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目的測(cè)試，如果通過(guò)兩個(gè)或三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試即可被錄用．若甲、乙、丙三人通過(guò)每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是．(1)求甲被錄用的概率；(2)設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得甲通過(guò)兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為，通過(guò)三個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為，所以甲被錄用的概率為.（2）由（1）得每個(gè)人被錄用的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列為：5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是．(1)設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；(2)設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求的分布；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)【解析】（1）由題意可知，可取，且服從二項(xiàng)分布，則，，，，，．由此得的分布如下：所以，.（2）由于為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，顯然是隨機(jī)變量，其取值為且，，，，，，由此得的分布如下：（3）設(shè)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈為事件，所求概率.6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校要招聘志愿者，參加應(yīng)聘的學(xué)生要從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)其中的3個(gè)才能通過(guò)初試．已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為,且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響．(1)試通過(guò)概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰(shuí)通過(guò)初試的可能性更大；(2)若答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答得0分，記乙的得分為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)甲通過(guò)初試的可能性更大(2)分布列見(jiàn)解析，15【解析】（1）由題意得，甲通過(guò)初試的概率，乙通過(guò)初試的概率．∵，∴甲通過(guò)初試的可能性更大．（2）設(shè)乙答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，4，且，∴，，，，，易知，∴Y的分布列為Y05101520P．2超幾何分布1．（2022春·浙江紹興·高二?？计谥校┮粋€(gè)箱子中裝有大小相同的1個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球.現(xiàn)從箱子中一次性摸出3個(gè)球，每個(gè)球是否被摸出是等可能的.(1)求至少摸出一個(gè)白球的概率；(2)用表示摸出的黑球數(shù)，寫出的分布列并求的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【解析】(1)記“至少摸出一個(gè)白球”為事件，則事件的對(duì)立事件為“摸出的3個(gè)球中沒(méi)有白球”，則，故，即至少摸出一個(gè)白球的概率為.(2)的所有取值為，，，，，故隨機(jī)變量的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望.2．（2022春·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）北京時(shí)間2月20日，北京2022年冬奧會(huì)閉幕式在國(guó)家體育場(chǎng)舉行.北京2022年冬奧會(huì)的舉行激發(fā)了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺(tái)計(jì)劃在注冊(cè)會(huì)員中調(diào)查對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的愛(ài)好情況，其中男會(huì)員有1000名，女會(huì)員有800名，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這36名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的男會(huì)員有8人，女會(huì)員有4人.(1)在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有多少人？(2)在抽取的喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的會(huì)員中任選3人，記選出的3人中男會(huì)員有人，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)（人）(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員，其中男會(huì)員有（人），女會(huì)員有16人，所以在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有（人）.（2）可能的取值有，所以的分布列為0123所以的期望.3．（2022·高二單元測(cè)試）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過(guò)1000萬(wàn)的超大城市和8個(gè)人口低于100萬(wàn)的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見(jiàn)解析；②.【解析】（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.②若抽取的4個(gè)城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個(gè)城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為.4．（2022春·四川綿陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）某校高一，高二年級(jí)的學(xué)生參加書法比賽集訓(xùn)，高一年級(jí)推薦了4名男生，2名女生，高二年級(jí)推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參加市上比賽.(1)求高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)正式比賽時(shí)，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取2人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】(1)；(2)的分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取人，女生中隨機(jī)抽取人組成代表隊(duì)的抽取方法數(shù)為，代表隊(duì)中恰好有名高一學(xué)生的抽取方式中，恰有名高一學(xué)生，若學(xué)生為男生，則抽取方法數(shù)為，若學(xué)生為女生，則抽取方法數(shù)為，高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（2）依題意得，的所有可能取值為，則，，，的分布了如下：.5．（2022春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）乒乓球運(yùn)動(dòng)在我國(guó)非常普及，被定為“國(guó)球”.有非常多的青少年從小就接受系統(tǒng)的訓(xùn)練，所以基本功非常扎實(shí)，把乒乓球打到對(duì)方球臺(tái)的指定位置是乒乓球運(yùn)動(dòng)的基本功之一，所以不僅要會(huì)打球，還要把乒乓球打到對(duì)方球臺(tái)的指定位置.某個(gè)地區(qū)的乒乓球訓(xùn)練機(jī)構(gòu)，在眾多乒乓球愛(ài)好者中，隨機(jī)抽取50名，檢驗(yàn)乒乓球愛(ài)好者的水平，要求每個(gè)乒乓球愛(ài)好者打100個(gè)球，打到對(duì)方球臺(tái)的指定位置，每打到指定位置1個(gè)球得1分，100個(gè)球都打到指定位置，得滿分，即100分，將這50名乒乓球愛(ài)好者按成績(jī)分成，共5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（打100個(gè)球，每個(gè)乒乓球愛(ài)好者至少能得50分）.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名乒乓球愛(ài)好者成績(jī)的平均數(shù)?中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)若該地區(qū)這樣的乒乓球愛(ài)好者有2000人，試估計(jì)成績(jī)不低于70分這一水平的人數(shù)；(3)若用按比例分配的分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)?cè)?，的兩組乒乓球愛(ài)好者中抽取5人，再在這5人中抽取2人，參加一個(gè)乒乓球技術(shù)交流會(huì)，在抽到的2人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；平均數(shù)：；中位數(shù)：(2)(3)分布列答案見(jiàn)解析；【解析】(1)由，得平均數(shù)：中位數(shù)：因?yàn)樗灾形粩?shù)為80(2)由所以不低于70分這一水平的人數(shù)為(3)成績(jī)?cè)趦?nèi)的有（人）成績(jī)?cè)趦?nèi)的有（人）用分層抽樣抽取5人，故這兩組中所抽取的人數(shù)分別為3，2抽到內(nèi)的人數(shù)的可能取值為，，0123二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）2021年10月16日，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國(guó)人民關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視、報(bào)紙了解有關(guān)新聞，某組織隨機(jī)選取10人調(diào)查民眾了解這一新聞的方式，其中喜歡用電視、手機(jī)、報(bào)紙了解這一新聞的分別有3人、6人、1人，現(xiàn)隨機(jī)選出2人，則（

）A．有1人喜歡用電視的方式的概率是B．有2人喜歡用電視的方式的概率是C．至多有1人喜歡用電視的方式的概率是D．至少有1人喜歡用手機(jī)的方式的概率是【答案】AC【解析】設(shè)選出的2人中喜歡用電視的方式的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，則，，，A正確，B錯(cuò)誤．這2人中至多有1人喜歡用電視的方式的概率是，C正確．這2人中至少有1人喜歡用手機(jī)的方式的概率為，D錯(cuò)誤．故選：AC．2．（2022春·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期末）某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品．從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個(gè)數(shù)．(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.(2)【解析】(1)有放回的抽取，，根據(jù)題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，所以,,,,.X的分布列為：P01234X所以X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意得總體中合格品的比例為，因?yàn)闃颖局泻细衿返谋壤c總體中合格品的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)，所以樣本中樣品中合格品的比例大于小于，即樣品中合格品的個(gè)數(shù)為2或3.,。所以4綜合運(yùn)用1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）北京時(shí)間2022年4月16日09時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，全體中華兒女深感無(wú)比榮光.半年“出差”，神舟十三號(hào)航天員順利完成全部既定任務(wù)，創(chuàng)造了實(shí)施徑向交會(huì)對(duì)接、實(shí)施快速返回流程、利用空間站機(jī)械臂操作大型在軌飛行器進(jìn)行轉(zhuǎn)位試驗(yàn)等多項(xiàng)“首次”.為了回顧“感覺(jué)良好”三人組太空“出差亮點(diǎn)”，進(jìn)一步宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析；期望為3；(3)小宇；理由見(jiàn)解析.【解析】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則.（2）的可能取值為2，3，4.，，，的分布列為：234數(shù)學(xué)期望.（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽2（2022春·江蘇南京·高二校考期中）近兩年肆虐全球的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎?嚴(yán)重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，若有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性，否則為陰性.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣?檢測(cè)，多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性，若混合樣本呈陽(yáng)性，則將該組中備份的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再檢驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：四個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：平均分成兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若按方案一，求4個(gè)疑似病例中恰有2例呈陽(yáng)性的概率；(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一?二?三中哪個(gè)最“優(yōu)”？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)選擇方案一最“優(yōu)”，理由見(jiàn)解析【解析】（1）（1）用表示4個(gè)疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù)，則由題意可知，.（2）方案一：逐個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為4；方案二：混合在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為1，5，，所以隨機(jī)變量的分布列為15所以方案三：每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若呈陰性則檢測(cè)次數(shù)為1次，其概率為；若呈陽(yáng)性則檢測(cè)次數(shù)為3次，其概率為.設(shè)方案三的檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為，所以隨機(jī)變量的分布列為246所以.由上可知，故選擇方案一最“優(yōu)”.3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價(jià)越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計(jì)了一套方案，并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.實(shí)驗(yàn)周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個(gè)果實(shí)，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（單位：mm）.統(tǒng)計(jì)后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為“大果”.(1)估計(jì)實(shí)驗(yàn)園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，再?gòu)倪@10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中“大果”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(3)以頻率估計(jì)概率，從對(duì)照?qǐng)@這批果實(shí)中隨機(jī)抽取n（，）個(gè)，設(shè)其中恰有2個(gè)“大果”的概率為P(n)，當(dāng)P(n)最大時(shí)，寫出n的值.【答案】(1)60%(2)分布列見(jiàn)解析(3)6【解析】（1）由題中實(shí)驗(yàn)園的頻率分布直方圖得這100個(gè)果實(shí)中大果的頻率為，所以估計(jì)實(shí)驗(yàn)園的“大果”率為60%.（2）由題中對(duì)照?qǐng)@的頻率分布直方圖得，這100個(gè)果者實(shí)中大果的個(gè)數(shù)為.采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)中抽取10個(gè)，其中大果有個(gè)，從這1