線性代數(shù)1矩陣概念

矩陣是線性代數(shù)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，它廣泛地運(yùn)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域。本章將引進(jìn)矩陣的概念，并討論矩陣和線性變換的關(guān)系，以及矩陣的運(yùn)算。重點(diǎn)是矩陣的概念及運(yùn)算、矩陣的初等行變換及逆矩陣。第二章矩陣§2.1矩陣的概念【學(xué)習(xí)本節(jié)要達(dá)到的目標(biāo)】1、理解矩陣概念。2、了解常見的矩陣類型。

在某些問題中

所有數(shù)據(jù)可以用一個(gè)矩形表完整表示

比如線性方程組可以對應(yīng)一個(gè)矩形表

這個(gè)矩形表就稱為矩陣

一、矩陣概念的引入

例1

設(shè)有線性方程組這個(gè)方程組未知量系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按方程組中的順序組成一個(gè)4行5列的矩形陣列如下

這個(gè)陣列決定著給定方程組是否有解

以及如果有解

解是什么等問題

因此對這個(gè)陣列的研究就很有必要

由此得到排成4行4列的產(chǎn)值陣列它具體描述了這家企業(yè)各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值

同時(shí)也揭示了產(chǎn)值隨季節(jié)變化規(guī)律的季增長率及年產(chǎn)量等情況

例2

某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品

各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值(單位

萬元)如下表由此得到一個(gè)m行n列陣列它描述了生產(chǎn)過程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入材料的數(shù)量關(guān)系

例3

生產(chǎn)m種產(chǎn)品需用n種材料

如果以aij表示生產(chǎn)第i種產(chǎn)品(i

1

2

m)耗用第j種材料(j

1

2

n)的定額

則消耗定額可以用一個(gè)矩形表表示

例4.

某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.四城市間的航班圖情況可用表格來表示:其中表示有航班.

到站發(fā)站為了便于計(jì)算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表:這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.定義(矩陣)

由m

n個(gè)數(shù)aij(i

1

2

m

j

1

2

n)排成的一個(gè)m行n列的矩形表稱為一個(gè)m

n矩陣（matrix）

記作其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素

一般情況下

我們用大寫黑體字母A

B

C等表示矩陣

也可以記作Am

n或

(aij)m

n.如上述例1所得的矩形陣列就是一個(gè)4×5矩陣，可記為A4×5或(aij)4

5，即A4×5=定義(矩陣相等)

如果兩個(gè)矩陣A

B有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)

并且對應(yīng)位置上的元素均相等

則稱矩陣A與矩陣B相等

記為A

B

即如果A

(aij)m

n

B

(bij)m

n

且aij

bij(i

1

2

m

j

1

2

n)

則A

B

二、矩陣的基本關(guān)系例如它們都是2×3矩陣。僅當(dāng)a=1,b=2,c=2,d=0,e=3,f=5時(shí)，矩陣A和矩陣B才是相等的，即A=B.定義：對于矩陣A=(aij)m×n

：當(dāng)m=1時(shí)，表示只有一行的矩陣，叫做行矩陣(rowmatrix)，

記為A=[a1a2…an]

所有元素都是零的矩陣稱作零矩陣(zeromatrix)，記作Om×n或O.當(dāng)n=1時(shí)，表示只有一列的矩陣，叫做列矩陣(columnmatrix)，記為注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如當(dāng)m=n時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣(squarematrix).記為An,即定義：對于矩陣A=(aij)m×n

：對于n階方陣，當(dāng)n=1時(shí)，即一階方陣就是表示一個(gè)數(shù)a11.在n階方陣中，從左上角到右下角的n個(gè)元素稱為主對角線元素（diagonal）.

主對角線一側(cè)的元素全為0的n階方陣稱為三角矩陣。上三角矩陣（uppertriangularmatrix）：

非零元素只出現(xiàn)在對角線及其上方。下三角矩陣（lowertriangularmatrix）:

非零元素只出現(xiàn)在對角線及其下方。對角矩陣（diagonalmatrix）：既是上三角矩陣又是下三角矩陣。

單位矩陣（identitymatrix）：主對角線元素全為1，其余元素都為0的n階方陣。記為En或E.小結(jié)(1)矩陣的概念(2)矩陣相等如果A

(aij)m

n

B

(bij)m

n

且aij

bij(i

1

2

m

j

1

2

n)

則A

B

(3)特殊矩陣方陣;行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣.Om×n練習(xí)：P22.A組1、2、3§2.2矩陣的運(yùn)算1、掌握矩陣的加法、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算；2、掌握矩陣乘法、矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算；3、理解并掌握以下重要結(jié)論：AB≠BA；(AB)T=BTAT.【學(xué)習(xí)本節(jié)要達(dá)到的目標(biāo)】定義(矩陣加法)一、矩陣的加法

兩個(gè)m

n矩陣A

(aij)m

n

B

(bij)m

n將它們的對應(yīng)位置元素相加，得到的m

n矩陣稱為矩陣A與矩陣B的和

記為A

B

即

A

B

(aij)m

n

(bij)m

n

(aij

bij

)m

n

例1

設(shè)有矩陣A與矩陣B，3205017422331203162540783+15+37+22+20+14+53+72+00+01+62+43+844081799621011解求A+B注意只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.在這里我們把兩個(gè)行列分別相等的矩陣稱為同型矩陣.矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A,B,C,O都是m×n矩陣，容易驗(yàn)證下列運(yùn)算規(guī)律：解

例2

設(shè)有矩陣求A+O.解

根據(jù)矩陣加法的定義，

對于矩陣A=(aij)m×n，我們稱矩陣(-aij)m×n為矩陣A的負(fù)矩陣，記作-A.利用矩陣的加法和負(fù)矩陣，可以定義矩陣的減法：

例3

已知求A-B.解

根據(jù)矩陣減法的定義，

例4

設(shè)有矩陣A與矩陣B，

求滿足矩陣方程A+X=B的矩陣X.解

由A+X=B得X=B-A，所以定義(數(shù)乘矩陣)

以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的矩陣

稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)乘矩陣

記為kA

即如果A

(aij)m

n

那么

kA

k(aij)m

n

(kaij)m

n

二、數(shù)乘矩陣

例5

設(shè)有矩陣A，解求1.5A.

解

例6

練習(xí)：設(shè)求3A-2B.解數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)k和l是兩個(gè)常數(shù)，A和B均是m×n階矩陣，容易驗(yàn)證下列運(yùn)算規(guī)律：

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。

例7

已知且A

2X

B

求X

解

由A

2X

B

得到

小結(jié)矩陣加法與矩陣數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律

設(shè)A

B

C

O都是m

n矩陣

k

l是數(shù)

則(1)A

B

B

A

(2)(A

B)

C

A

(B

C)

(3)A

O

A

(4)A

(

A)

O

(5)k(A

B)

kA

kB

(6)(k

l)A

kA

lA

(7)(kl)A

k(lA)

(8)1

A

A;0

A

O.

矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具?！熬仃嚒边@個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。

英國數(shù)學(xué)家凱萊

(A.Cayley,1821-1895)一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡化記號。

1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指