寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)數(shù)學(xué)試卷(解析版)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．（5分）如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，則（）A．S?T B．T?S C．S＝T D．S?T2．（5分）不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞4}，則的解集為（）A． B．{x|﹣1≤x＜1} C． D．3．（5分）已知f（x），g（x）是定義域為R的函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，滿足f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若對任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（5分）若2024x﹣2024y＜2025﹣x﹣2025﹣y，則（）A．ln|x﹣y|＞0 B．ln|x﹣y|＜0 C．ln（y﹣x+1）＞0 D．ln（y﹣x+1）＜05．（5分）已知，為單位向量，且丄（+2），則向量與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°6．（5分）若，則cos2A+cos2B的取值范圍是（）A． B． C． D．[0，1]7．（5分）已知球O的表面積為16π，邊長為3的等邊△ABC的三個頂點都在球O的球面上，則三棱錐O﹣ABC的體積等于（）A． B． C． D．8．（5分）拋擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時向上的點數(shù)小于3，事件D：落地時向上的點數(shù)大于5，則下列每對事件中，不是互斥事件的是（）A．A與B B．B與C C．A與D D．C與D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）（多選）9．（5分）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（）A．A與B是互斥事件 B．C與D互為對立事件 C．B發(fā)生的概率為 D．B與C相互獨立（多選）10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則（）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥平面CB1D1 C．異面直線CB1與BD所成的角為60° D．三棱錐D﹣CB1D1的體積為（多選）11．（5分）已知α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中是真命題的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n C．如果α∥β，m?α，那么m∥β D．如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等（多選）12．（5分）已知是函數(shù)f（x）＝2asinxcosx﹣2cos2x﹣1的一個零點．則（）A．a(chǎn)＝ B．函數(shù)f（x）的值域為[﹣2，2] C．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，（k∈Z） D．不等式f（x）≥0的解集為?三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）甲、乙兩水文站同時作水文預(yù)報，如果甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，那么在一次預(yù)報中，甲站、乙站預(yù)報都錯誤的概率為．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且9a+b＝ab，則a+4b的最小值為．15．（5分）已知圓錐的頂點S和底面圓周都在球O的球面上，且母線長為2，A，B為其底面圓周上的兩點，若△SAB面積的最大值為，則球O的表面積為．16．（5分）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)（λ，μ∈R），若DF＝2AF，則＝．四、解答題（本題共6小題，共70分）17．（10分）甲袋子中裝有2個紅球、1個白球，乙袋子中裝有1個紅球、2個白球（袋子不透明，球除顏色外完全一樣）．（1）現(xiàn)從甲、乙兩個袋子中各任選1個球，求選出的2個球的顏色相同的概率；（2）從甲、乙兩袋6個球中任選2個球，求選出的2個球來自同一袋子的概率．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，CD⊥BC，且．（1）證明：平面PBC⊥平面PAB．（2）求二面角A﹣BC﹣P的大?。?9．（12分）黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊嘆說：“登黃山天下無山，觀止矣!”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在[50，60），[60，70）的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在[50，60）和[60，70）內(nèi)各1人的概率．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象如圖所示．將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作y＝g（x）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若函數(shù)在（0，4π）內(nèi)恰有6個零點，求m的值．21．（12分）如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F(xiàn)滿足，，將△AEF沿EF翻折至△PEF，使得．（1）證明：EF⊥PD；（2）求五棱錐P﹣BCDEF的體積．22．（12分）某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB＝50米，BC＝25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF＝90°．（1）設(shè)∠BOE＝α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．

參考答案與試題解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．（5分）如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，則（）A．S?T B．T?S C．S＝T D．S?T【分析】由S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，即可判斷S和T的關(guān)系．【解答】解：S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，故S?T，只有A正確．故選：A．【點評】本題考查集合與集合的關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞4}，則的解集為（）A． B．{x|﹣1≤x＜1} C． D．【分析】將不等式化為（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＞0，即（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＝0的兩個根為x1＝﹣1，x2＝4，代入求出a，b，再利用分式不等式的解法即可求解．【解答】解：不等式可轉(zhuǎn)化為[（a﹣1）x﹣b+1]（x+b）＞0，其解集為{x|x＜﹣1或x＞4}，所以a＞1，且方程（ax﹣x﹣b+1）（x+b）＝0的兩個根為x1＝﹣1，x2＝4，則或，解得或（舍去），即有，即，解得．所以不等式的解集為．故選：C．【點評】本題主要考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知f（x），g（x）是定義域為R的函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，滿足f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若對任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出g（x）的解析式，再根據(jù)題意得到h（x）＝ax2+3x+2在x∈（1，2）單調(diào)遞增，分類討論即可求解．【解答】解：由題可得f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2﹣x+2，因為f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，所以﹣f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，聯(lián)立，解得g（x）＝ax2+2，又因為對任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜﹣3x1+3x2，所以g（x1）+3x1＜g（x2）+3x2成立，構(gòu)造h（x）＝g（x）+3x＝ax2+3x+2，所以由上述過程可得h（x）＝ax2+3x+2在x∈（1，2）單調(diào)遞增，（i）若a＜0，則對稱軸，解得；（ii）若a＝0，h（x）＝3x+2在x∈（1，2）單調(diào)遞增，滿足題意；（iii）若a＞0，則對稱軸恒成立；綜上，，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．4．（5分）若2024x﹣2024y＜2025﹣x﹣2025﹣y，則（）A．ln|x﹣y|＞0 B．ln|x﹣y|＜0 C．ln（y﹣x+1）＞0 D．ln（y﹣x+1）＜0【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝2024x﹣2025﹣x，再利用函數(shù)單調(diào)性求解即可．【解答】解：由2024x﹣2024y＜2025﹣x﹣2025﹣y，得2024x﹣2025﹣x＜2024y﹣2025﹣y，令f（x）＝2024x﹣2025﹣x，因為函數(shù)y＝2024x，y＝﹣2025﹣x都是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）＝2024x﹣2025﹣x是增函數(shù)，由2024x﹣2025﹣x＜2024y﹣2025﹣y，即f（x）＜f（y），所以x＜y，對于A、B：當(dāng)x＝1，y＝2時，ln|x﹣y|＝0，故A，B錯誤；對于C、D：由x＜y，得y﹣x+1＞1，所以ln（y﹣x+1）＞0，故C正確，D錯誤．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（5分）已知，為單位向量，且丄（+2），則向量與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為θ，由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系分析可得若丄（+2），則?（+2）＝2+2?＝1+2cosθ＝0，解可得cosθ的值，結(jié)合θ的范圍，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為θ，，為單位向量，則||＝||＝1，若丄（+2），則?（+2）＝2+2?＝1+2cosθ＝0，解可得cosθ＝﹣，又由0°≤θ≤180°，則θ＝120°；故選：C．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，關(guān)鍵是掌握向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系．6．（5分）若，則cos2A+cos2B的取值范圍是（）A． B． C． D．[0，1]【分析】通過二倍角降冪公式化簡，再利用和差化積公式以及將cos2A+cos2B，化簡為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：＝＝1+cos（A+B）?cos（A﹣B），∵，∴＝，∵，∴，故選：C．【點評】本題主要考査的是三角函數(shù)中的二倍角以及和差化積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（5分）已知球O的表面積為16π，邊長為3的等邊△ABC的三個頂點都在球O的球面上，則三棱錐O﹣ABC的體積等于（）A． B． C． D．【分析】求出球的半徑和△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑，利用勾股定理可得球心O到△ABC所在平面的距離，再利用棱錐的體積公式即可得解．【解答】解：設(shè)球O的半徑為R，則，解得R2＝4，設(shè)△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r，則，故球心O到△ABC所在平面的距離為，即為三棱錐O﹣ABC的高，所以．故選：A．【點評】本題主要考查棱錐的體積的求法，球的表面積公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）拋擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時向上的點數(shù)小于3，事件D：落地時向上的點數(shù)大于5，則下列每對事件中，不是互斥事件的是（）A．A與B B．B與C C．A與D D．C與D【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義依次分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，因為A與B不可能同時發(fā)生，所以事件A與B是互斥事件；對于B，因為落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)與落地時向上的點數(shù)小于3可能同時發(fā)生，如落地時向上的點數(shù)為2，所以事件B與C不是互斥事件，所以B正確，對于C，因為A與D不可能同時發(fā)生，所以事件A與D是互斥事件；對于D，因為C與D不可能同時發(fā)生，所以事件C與D是互斥事件．故選：B．【點評】本題考查互斥事件的判斷，注意互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）（多選）9．（5分）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（）A．A與B是互斥事件 B．C與D互為對立事件 C．B發(fā)生的概率為 D．B與C相互獨立【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件相互獨立事件的定義結(jié)合古典概型注意判斷即可．【解答】解：由題意，不放回的隨機取兩次，共有6×6＝36種情況，A＝{（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），}，共18個基本事件，故，B＝{（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3），（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），（6，5）}，共18個基本事件，故，故C正確；則事件A與B不是互斥事件，故A錯誤；C＝{（6，2），（6，4），（6，6），（5，1），（5，3），（5，5），（4，2），（4，4），（4，6），（3，1），（3，3），（3，5），（2，2），（2，4），（2，6），（1，1），（1，3），（1，5）}，共18個基本事件，故，D＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）}，共18個基本事件，所以C與D互為對立事件，故B正確；事件BC＝{（1，1），（3，1），（5，1），（1，3），（3，3），（5，3），（1，5），（3，5），（5，5）}，共9個基本事件，所以，所以B與C相互獨立，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要互斥事件與對立時間，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．（多選）10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則（）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥平面CB1D1 C．異面直線CB1與BD所成的角為60° D．三棱錐D﹣CB1D1的體積為【分析】對A：借助正方體的性質(zhì)可得BD∥B1D1，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對B：借助線面垂直的判定定理可得AD⊥平面C1D1DC，AA1⊥平面A1B1C1D1，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得CD1⊥AD，AA1⊥B1D1，進而可得CD1⊥AC1，B1D1⊥AC1，即可得證；對C：借助等角定理可得∠CB1D1等于異面直線CB1與BD所成的角，計算出∠CB1D1即可得解；對D：借助體積公式計算即可得．【解答】解：對A：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1，又B1D1?平面CB1D1，BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A項正確；對B：連接A1C1，C1D，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，DC1⊥CD1，AD⊥平面C1D1DC，AA1⊥平面A1B1C1D1，因為CD1?平面C1D1DC，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CD1⊥AD，AA1⊥B1D1，又DC1∩AD＝D，DC1?平面AC1D，AD?平面AC1D，所以CD1⊥平面AC1D，因此CD1⊥AC1，同理，B1D1⊥AC1，又CD1∩B1D1＝D1，CD1?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以AC1⊥平面CB1D1，故B項正確；對C：因為B1D1∥BD，所以∠CB1D1等于異面直線CB1與BD所成的角，又＝，即△CB1D1為等邊三角形，所以異面直線CB1與BD所成的角為60°，故C項正確；對D：三棱錐D﹣CB1D1的體積＝，故D項不正確．故選：ABC．【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了線面位置關(guān)系，考查了異面直線成角，考查了體積計算問題，屬中檔題．（多選）11．（5分）已知α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中是真命題的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n C．如果α∥β，m?α，那么m∥β D．如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的判定方法及幾何特征，分析判斷各個結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：α，β是兩個不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，對于A，可運用長方體舉反例證明其錯誤，如圖，不妨設(shè)AA'為直線m，CD為直線n，四邊形ABCD所在的平面為α，四邊形ABC'D'所在的平面為β，由圖知這些直線和平面滿足題目條件，但α⊥β不成立，故A錯誤；對于B，設(shè)過直線n的某平面與平面α相交于直線l，則l∥n，由m⊥α，知m⊥l，從而m⊥n，故B正確；對于C，由平面與平面平行的定義知，如果α∥β，m?α，那么m∥β，故C正確；對于D，由平行的傳遞性及線面角的定義知，如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等，D正確．故選：BCD．【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．（多選）12．（5分）已知是函數(shù)f（x）＝2asinxcosx﹣2cos2x﹣1的一個零點．則（）A．a(chǎn)＝ B．函數(shù)f（x）的值域為[﹣2，2] C．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，（k∈Z） D．不等式f（x）≥0的解集為?【分析】由題意得f（）＝asin﹣cos﹣2＝0，解得a的值，即可判斷A；化簡函數(shù)解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣2，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；令f（x）≥0，解得sin（2x﹣）≥1，解得x＝+kπ，k∈Z，即可判斷D．【解答】解：由題意得f（x）＝2asinxcosx﹣2cos2x﹣1＝asin2x﹣cos2x﹣2，因為是函數(shù)f（x）＝2asinxcosx﹣2cos2x﹣1的一個零點，所以f（）＝asin﹣cos﹣2＝0，解得a＝，故A正確；因為f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2＝2sin（2x﹣）﹣2，所以函數(shù)f（x）的值域為[﹣4，0]，故B錯誤；令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[+kπ，+kπ]，k∈Z，故C正確；令f（x）≥0，解得sin（2x﹣）≥1，所以2x﹣＝+2kπ，k∈Z，解得x＝+kπ，k∈Z，所以不等式f（x）≥0的解集為{x|x＝+kπ，k∈Z}，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查二倍角公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）甲、乙兩水文站同時作水文預(yù)報，如果甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，那么在一次預(yù)報中，甲站、乙站預(yù)報都錯誤的概率為0.06．【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式求解．【解答】解：因為甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，則在一次預(yù)報中，甲站、乙站預(yù)報都錯誤的概率為P＝（1﹣0.8）×（1﹣0.7）＝0.2×0.3＝0.06．故答案為：0.06．【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且9a+b＝ab，則a+4b的最小值為49．【分析】由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為a＞0，b＞0，且9a+b＝ab，所以＝1，則a+4b＝（a+4b）（）＝37+＝49，當(dāng)且僅當(dāng)a＝7，b＝時取等號，所以a+4b的最小值為49．故答案為：49．【點評】本題考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知圓錐的頂點S和底面圓周都在球O的球面上，且母線長為2，A，B為其底面圓周上的兩點，若△SAB面積的最大值為，則球O的表面積為．【分析】由三角形的面積公式和△SAB面積的最大值，推得圓錐的軸截面SPQ為等邊三角形，求得底面半徑，設(shè)球的半徑為R，由勾股定理可得R的方程，即可得到所求表面積．【解答】解：如圖所示，因為，所以當(dāng)△SAB為軸截面時，∠ASB最大，因為△SAB的面積最大值為，則，所以，即圓錐的軸截面SPQ為等邊三角形，因為圓錐的母線長為2，底面半徑r＝1，所以，因為，在直角△OPE中，OP2＝OE2+PE2，即，解得，所以外接球表面積．故答案為：．【點評】本題主要考查球的表面積、三角形面積、圓錐的母線與軸截面等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．16．（5分）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)（λ，μ∈R），若DF＝2AF，則＝3．【分析】因為大三角形是等邊三角形，所以可以通過建系的方法進行求解．【解答】解：不妨設(shè)AF＝1，則AD＝3，建系如圖，由題可知．在△ABD中，AD＝3，BD＝1，由余弦定理可得，，得，所以，所以，，A（0，0），在△ABD中，由正弦定理可得，即為＝，解得，所以，所以D（ADcos∠BAD，ADsin∠BAD），即．所以，，，因為，所以，解得，所以．故答案為：3．【點評】本題考查三角形的余弦定理和平面向量基本定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．四、解答題（本題共6小題，共70分）17．（10分）甲袋子中裝有2個紅球、1個白球，乙袋子中裝有1個紅球、2個白球（袋子不透明，球除顏色外完全一樣）．（1）現(xiàn)從甲、乙兩個袋子中各任選1個球，求選出的2個球的顏色相同的概率；（2）從甲、乙兩袋6個球中任選2個球，求選出的2個球來自同一袋子的概率．【分析】（1）直接由列舉法求解古典概型概率即可；（2）直接由列舉法求解古典概型概率即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，甲袋子中2個紅球分別用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中紅球用D表示，2個白球分別用E，F(xiàn)表示．從甲、乙兩袋中各任選1個球的所有可能結(jié)果為（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），共9種，從中選出的2個球的顏色相同的有（A，D），（B，D），（C，E），（C，F(xiàn)），共4種，故選出的2個球的顏色相同的概率．（2）從6個球中任選2個球的所有可能結(jié)果為（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種，從中選出2個球來自同一袋子的結(jié)果有（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共6種，所以選出的2個球來自同一袋子的概率．【點評】本題考查古典概型的計算，注意列舉法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，CD⊥BC，且．（1）證明：平面PBC⊥平面PAB．（2）求二面角A﹣BC﹣P的大?。痉治觥浚?）由題意可得PA⊥BC，AB⊥BC，可證平面PBC⊥平面PAB．（2）由（1）可知BC⊥PB，BC⊥BA，可得∠PBA為二面角A﹣BC﹣P的平面角，進而求解即可．【解答】解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB∥CD，CD⊥BC，∴AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．（2）由（1）可知BC⊥PB，BC⊥BA，∴∠PBA為二面角A﹣BC﹣P的平面角，過D作DE∥BC交AB于點E，又AB∥CD，CD⊥BC，∴四邊形BCDE為矩形，∴DE＝BC＝，BE＝CD，又AB＝AD＝2CD，∴EA＝AD，∴∠ADE＝30°，∴AE＝DE，∴AE＝1，∴AB＝2，∵PA＝2，在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝＝，∴∠PBA＝60°，∴二面角A﹣BC﹣P的大小為60°．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，屬中檔題．19．（12分）黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一．明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山，贊嘆說：“登黃山天下無山，觀止矣!”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽．為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在[50，60），[60，70）的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在[50，60）和[60，70）內(nèi)各1人的概率．【分析】（1）根據(jù)直方科中頻率和為1，能求出結(jié)果．（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖能求出結(jié)果．（3）分別求出各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型求解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：10（0.005+0.01+0.015+x+0.04）＝1，解得x＝0.03．（2）由10（0.005+0.01+0.015）＝0.3＜0.4＜10（0.005+0.01+0.015+0.03）＝0.6，∴40%分位數(shù)在區(qū)間[80，90）內(nèi)，令其為m，則0.3+0.03×（m﹣80）＝0.4，解得m＝80+≈83.33，∴這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)為83.33分．（3）∵評分在[50，60），[60，70）的頻率分別為0.05，0.1，則在[50，60）中抽?。?人，設(shè)為a，b，在[60，70）中抽取人，設(shè)為C，D，E，F(xiàn)，從這6人中隨機抽取2人，基本事件有：{a，b}，{a，C}，{a，D}，{a，E}，{a，F(xiàn)}，{b，C}，{b，D}，{b，E}，{b，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15個，設(shè)事件A表示”選取的2人評分分別在[50，60）和[60，70）內(nèi)各1人“，則事件A包含的基本事件有：{a，C}，{a，D}，{a，E}，{a，F(xiàn)}，{b，C}，{b，D}，{b，E}，{b，F(xiàn)}，共8個，∴選取的2人評分分別在[50，60）和[60，70）內(nèi)各1人的概率為P＝＝．【點評】本題考查頻率分布直方圖、中位數(shù)、列舉法、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象如圖所示．將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作y＝g（x）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若函數(shù)在（0，4π）內(nèi)恰有6個零點，求m的值．【分析】（1）根據(jù)所給圖象求出函數(shù)f（x）的解析式，再列出關(guān)于x的不等式即可得解；（2）由（1）結(jié)合給定圖象變換求出g（x）的解析式，再求出h（x）并作變形即可得解；（3）求出F（x）并令t＝sinx，將F（x）＝0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，按根所在區(qū)間討論得解．【解答】解：（1）觀察圖象得A＝1，f（x）最小正周期為T，則，則，而，則+φ＝+2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，又，于是得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，k∈Z，得，k∈Z，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，即y＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x，再把C上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的曲線對應(yīng)的函數(shù)記作y＝g（x），即g（x）＝sinx，所以h（x）＝f（）g（x）＝sin（x+）sinx＝（sinx+cosx）sinx＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x＝（sin2x﹣cos2x）+＝sin（2x﹣）+，當(dāng)時，函數(shù)確定最小值，即時，h（x）min＝×（﹣1）+＝﹣，所以的最小值為﹣；（3）依題意，m∈R，令F（x）＝0，可得2sin2x﹣msinx﹣1＝0，令t＝sinx∈[﹣1，1]，得2t2﹣mt﹣1＝0，由于Δ＝m2+8＞0，即方程必有兩個不同的實數(shù)根t1，t2，且，，由知t1、t2異號，不妨設(shè)t1＞0，t2＜0，①若t1＞1，則，sinx＝t1，無解，而sinx＝t2在（0，4π）內(nèi)有四個零點，不符題意；②若t1＝1，則，sinx＝1在（0，4π）內(nèi)有2個零點，而在（0，4π）內(nèi)有4個零點，即F（x）在（0，4π）內(nèi)有6個零點，符合題意，此時，得m＝1；③若0＜t1＜1，，sinx＝t1在（0，4π）有4個零點，則sinx＝t