湖南省長沙市望城區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年高二（上）入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式，即可化簡求值.【詳解】原式.故選：A2.若集合，則是（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出兩個集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】由，得或，解得或，所以或，由，得，所以，所以.故選：B3.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)定義域以及函數(shù)值的符號分析判斷.【詳解】由題意可知：的定義域為，故B錯誤；當，先正后負，則有：對于C：因為，則，可知，故C錯誤；對于D：因為，則，但的符號周期性變化，故D錯誤；故選：A.4.在四面體ABCD中，點M，N滿足，，若，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】直接利向量的線性運算求出結(jié)果．【詳解】在四面體中，由于點，滿足，，如圖所示：故，故．故選：C5.已知，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.【詳解】由得，故選：A.6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)各擲骰子次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)點數(shù)根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)的是（）A.甲：平均數(shù)為，中位數(shù)為 B.乙：中位數(shù)為，眾數(shù)為C.丙：平均數(shù)為，方差為 D.?。褐形粩?shù)為，方差為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義，通過舉例排除ABD，由假設(shè)推理判斷C．【詳解】若甲的5個點數(shù)分別是，滿足選項A；若乙的5個點數(shù)分別是，滿足選項B；若丁的5個點數(shù)分別是，平均數(shù)為4，其方差為，滿足選項D；若丙的平均數(shù)為2，又有點數(shù)6，則方差，不可能滿足C，因此丙不會出現(xiàn)點數(shù)6，故選：C．7.在正四棱柱中，，，設(shè)四棱柱的外接球的球心為，動點在正方形的邊上，射線交球的表面于點，現(xiàn)點從點出發(fā)，沿著運動一次，則點經(jīng)過的路徑長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】點的路徑是4段長度相等的弧，求出圓心角可得弧長.【詳解】因為正四棱柱外接球的直徑為其體對角線的長，故（為正四棱柱外接球的半徑）.所以.所以為等邊三角形，所以.所以劣弧的長為：.所以點經(jīng)過路徑長為：.故選：A8.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用三角變換公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】由余弦定理可得，整理得到，，則，整理得到：，而，故，而，故，設(shè)，則，其中為銳角且，因為，故，故，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知復(fù)數(shù)的虛部與的實部均為2，則下列說法正確的是（）A.是虛數(shù)B.若，則C.若，則與對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱D.若是純虛數(shù)，則【答案】ACD【解析】【分析】借助虛數(shù)定義可得A；借助模長共識計算即可得B；借助共軛復(fù)數(shù)定義與復(fù)數(shù)的幾何意義可得C；借助復(fù)數(shù)的乘法運算與純虛數(shù)定義及模長定義即可得D.【詳解】可設(shè)復(fù)數(shù)，A選項：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；B選項：，所以，則，所以，，所以，故B不正確；C選項：若，所以，所以，，所以，對應(yīng)的點分別為和，則關(guān)于x軸對稱，故C正確；D選項：因為，且是純虛數(shù)，所以，所以，，則，所以，故D正確．故選：ACD.10.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個紅球和2個白球，則下列結(jié)論正確的是（）A.從中任取3球，恰有一個紅球的概率是；B.從中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有兩個白球的概率為；C.從中不放回取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為；D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AC【解析】【分析】A應(yīng)用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服從分布，應(yīng)用二項分布概率公式求出對應(yīng)事件的概率；C由題設(shè)第二次取球時剩余4個紅球、2個白球即可判斷.【詳解】A：任取3球恰有一個紅球的概率，正確；B：由每次取到紅白球概率分別為，則取到白球服從分布，則恰好有兩個白球的概率，錯誤；C：第一次取到紅球，則剩余4個紅球、2個白球，故第二次取到紅球的概率為，正確；D：由B分析知：，錯誤.故選：AC11.已知平行六面體的棱長均為1，分別是棱和的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.若，則∥面C.若，則面D.若是線段的中點，是線段上的動點，則的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】選項，在，，中依次使用余弦定理即可解得；B選項，假設(shè)平面成立，由線面平行的性質(zhì)可知，由平行線分線段成比例可知,找出全等三角形,可得；C選項，分別證明，由線面垂直的判定可得平面；D選項，找出全等三角形,可知當最小時，故最小，故此時三點共線，利用余弦定理求的長度即的最小值.【詳解】由題設(shè)可知，平行六面體的六個面均為一個角是的菱形，連接交于點，???????在菱形中易得,又O為中點，則，在直角三角形中有,在中，由余弦定理可得，解得，則，在中，由余弦定理得,則，在中，余弦定理可得,解得，A正確；連接交于G，連接交于H，由于分別是棱和的中點,可得，連接,交于點，則有，故，若平面,平面,平面平面,則，故,易得,故,與題設(shè)不符，B錯誤；設(shè)與交于點，連接，因為分別是，的中點,??????????????則,在菱形中易得，則，又是中點，則，則，過點C作，使，連接,易得，在平面內(nèi)由余弦定理得，解得，又，，則，則，又，則，因為平面,平面，面，C正確；由平行六面體的對稱性可得,則，當最小時，可知最小，故此時三點共線，此時易得N為的中點，由可得,由B選項可知,又，則,在中，由余弦定理可得,解得，故的最小值是，D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：空間中的最值問題，一般情況下會利用轉(zhuǎn)化到同一個平面內(nèi)，將其化簡為代數(shù)類問題解決往往比較容易.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)若函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)m的值是______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)解析式分析的單調(diào)性并畫出大致圖象，將問題化為與僅有一個交點，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)值.【詳解】由函數(shù)解析式，在上遞減，、上遞增，且在處連續(xù)，所以大致圖象如下，由函數(shù)僅有一個零點，即與僅有一個交點，由圖知：.故答案為：013.《中國居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯示，歲至歲兒童青少年超重肥胖率高達為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，測量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按，，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學(xué)生體重的分位數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)頻率分布直方圖判斷分位數(shù)的位置，然后列方程求解即可.【詳解】因為前2組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為，則，解得.故答案為：14.已知一個圓臺的側(cè)面積為，下底面半徑比上底面半徑大，母線與下底面所成角的正切值為，則該圓臺的外接球(圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上)的體積為________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意計算可得，，，再設(shè)出該圓臺的外接球球心，借助球的性質(zhì)得到，再代入數(shù)據(jù)計算即可得.【詳解】如圖，設(shè)、分別為上下底面圓心，為母線，為點在底面的投影，為該圓臺的外接球球心，由該圓臺的側(cè)面積為，則有，即，由下底面半徑比上底面半徑大，則有，由母線與下底面所成角的正切值為，則有，即，又，即有，則，即，則，則有，即，即，即，設(shè)該圓臺的外接球半徑為，則,故該圓臺的外接球體積.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于設(shè)出該圓臺外接球球心，從而借助勾股定理得到.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，組：12，13，15，14，．假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）如果，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；（2）如果，事件：“甲康復(fù)時間為11天”，事件：“甲乙康復(fù)時間之和為25天”，事件是否相互獨立？【答案】（1）（2）不相互獨立【解析】【分析】（1）列舉符合條件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分別求解,即可根據(jù)相互獨立事件滿足的關(guān)系求解.【小問1詳解】如果，從兩組隨機各選1人，樣本空間，，共有25種，甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的情況有，共有8種，所以概率為；【小問2詳解】當時，，事件的情況有，共4種所以事件：“甲康復(fù)時間為11天且甲乙康復(fù)時間和為25天”的情況為．故所以事件不相互獨立．16.如圖所示，已知底面，，，且，為的中點．（1）若，求三棱錐的體積．（2）求證：；【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用體積變換法求（2）先證明DE⊥面，即證.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，，所以，由，得平面，所以【小問2詳解】連接，交DE于F，因為CE⊥面ABC，，所以所以和為直角三角形，又，，所以所以，又已知CE⊥底面ABC，，所以CE⊥AB，AB⊥BC，面，所以AB⊥面，面，所以AB⊥DE，又，所以，，面，所以DE⊥面，又面，所以DE⊥．【點睛】（1）本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查體積的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.（2）空間幾何體體積的計算常用的有公式法、割補法和體積變換法.17.已知函數(shù).（1）當時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點的定義，利用轉(zhuǎn)化法進行求解即可；（2）把公共點的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，結(jié)合換元法進行求解即可.【小問1詳解】，當時，函數(shù)存在零點，即在時有解，設(shè)，即，即實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，則關(guān)于的方程只有一解，只有一解，令，得關(guān)于的方程有一正數(shù)解，①當時，方程的解為，不合題意；②當時，則恒成立，此方程有一正一負根，負根舍去，滿足題意；③當時，滿足的情況下，因為，同號，所以得滿足，只需,且，解得；綜上：實數(shù)的取值范圍為18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）點在邊上，且，，求面積的最小值．【答案】（1）A；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化簡得到，再利用余弦定理得，根據(jù)角的范圍求出即可；（2）設(shè)，求得，再通過求得，進而得到,過點做的垂線，交于點，求得，結(jié)合三角形面積公式及三角恒等變換即可求解.【小問1詳解】由題意及正弦定理得，，由余弦定理得，，整理得，所以，又，故A；【小問2詳解】設(shè)，則，因為，，，由于，則，在中由正弦定理得，，解得，因此，過點做的垂線，交于點，設(shè)三角形的面積為，，所以，所以，所以，當且僅當時，等號成立，即三角形面積的最小值為．19.已知正實數(shù)集，定義：稱為的平方集.記為集合中的元素個數(shù)