蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題08弧長、扇形的面積與圓錐的側(cè)面積壓軸題六種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題08弧長、扇形的面積與圓錐的側(cè)面積壓軸題六種模型全攻略考點一求弧長考點二求扇形的面積考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積考點四求不規(guī)則圖形的面積考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題典型例題典型例題考點一求弧長例題：（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π2．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長為______cm．考點二求扇形的面積例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，在ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點A，B，與AC交于點M，連接AO并延長與⊙O交于點F，與CB的延長線交于點E，AB＝EB．(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．2．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北邯鄲·九年級期末）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．2．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點D(11，0)，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過區(qū)域的面積為________．考點四求不規(guī)則圖形的面積例題：（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點P為半圓上一點．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點落在邊上，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角例題：（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【變式訓(xùn)練】1．（2021·廣東·廣州市黃埔區(qū)華實初級中學(xué)二模）如圖，圓錐的母線長l為10cm，側(cè)面積為50πcm2，則圓錐的底面圓半徑r＝___cm．2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）一個圓錐的底面周長是6cm，母線長是6cm，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是_______．考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題例題：（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形，糧堆母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，已知圓錐的母線AB長為40cm，底面半徑OB長為10cm，若將繩子一端固定在點B，繞圓錐側(cè)面一周，另一端與點B重合，則這根繩子的最短長度是______________．2．（2021·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級階段練習(xí)）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點，一只螞蟻從點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，求這只螞蟻爬過的最短距離．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·遼寧大連·九年級期末）在半徑為6的圓中，120°的圓心角所對的弧長是（）A．3π B．4π C．6π D．12π2．（2022·云南紅河·九年級期末）用一個圓心角為，半徑為6的扇形做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的面積為（

）．A． B． C． D．3．（2021·浙江金華·九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，則的長為（

）

A． B． C．7 D．64．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點C．則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022·遼寧大連·九年級期末）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為_____．6．（2021·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長等于_______．7．（2022·云南紅河·九年級期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點，∠ABC=60°，則的長為__________．8．（2022·山東棗莊·中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為_____．（結(jié)果保留π）三、解答題9．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）一塊四邊形余料如圖所示，已知，米，米，以點為圓心，為半徑的圓與相切于點，交于點，用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐底面圓的半徑．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點C，點A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直線l與⊙O相切嗎？請說明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．11．（2022·江蘇·九年級）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．(1)求扇形AOB的弧長和扇形面積；(2)若把扇形紙片AOB卷成一個圓錐形無底紙帽，求這個紙帽的高OH．12．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是AB延長線上的一點，點C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AC=12，求AD的長；(3)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．13．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：(1)若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標(biāo)為；(2)連接AD、CD，則⊙D的半徑長為（結(jié)果保留根號），∠ADC的度數(shù)為；(3)若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的周長為．（結(jié)果保留根號）14．（2021·廣東湛江·九年級期末）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，DO⊥BE于點O，連接AD交BC于F，若AC=FC．(1)求證：AC是⊙O的切線：(2)若BF=8，DF=，求⊙O的半徑；(3)若∠ADB=60°，BD=1，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號）專題08弧長、扇形的面積與圓錐的側(cè)面積壓軸題六種模型全攻略考點一求弧長考點二求扇形的面積考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積考點四求不規(guī)則圖形的面積考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題典型例題典型例題考點一求弧長例題：（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，由題意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的長==2π，故選：C．【點睛】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【點睛】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長為______cm．【答案】##【分析】利用弧長公式，代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：由題意得的長＝＝(cm)，故答案為：【點睛】此題考查了弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．考點二求扇形的面積例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，在ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點A，B，與AC交于點M，連接AO并延長與⊙O交于點F，與CB的延長線交于點E，AB＝EB．(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后說明∠OBC=90°即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，過O作OH⊥AM于H，則四邊形OBCH是矩形，然后再說明△AOM是等邊三角形，即∠AOM＝60°；最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可．（1）證明：連接OB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=90°∴OB⊥CE∵OB是半徑

∴EC是⊙O的切線．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=2過O作OH⊥AM于H則四邊形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等邊三角形∴∠AOM＝60°∴．【點睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、扇形面積計算等知識點，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．【答案】(1)見解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，題目難度不大．考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴所掃過的面積為．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北邯鄲·九年級期末）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．【答案】

##【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長為:2π；∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB掃過的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，弧長公式以及扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．2．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點D(11，0)，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過區(qū)域的面積為________．【答案】【分析】先判斷出OB＝OC＝5，根據(jù)勾股定理可得OA和AD的長，根據(jù)△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵B（?5，0），C（5，0），∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，∴，∵D（11，0），∴OD＝11，∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，∵△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，∴圖中陰影部分面積＝S扇形DAE?S扇形BAC故答案為：16π【點睛】本題考查了扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．考點四求不規(guī)則圖形的面積例題：（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==，故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點P為半圓上一點．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，則可判斷點O是弧AOP的中點，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，連接OP，則點E是弧AEP的中點，由折疊的性質(zhì)可得點O為弧AOP的中點，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S陰影=S扇形BOP==π．故答案為：π．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點O是弧AOP的中點，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點落在邊上，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進(jìn)而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【點睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角例題：（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長計算即可求解．【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長=6π，側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．故選D．【點睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長．【變式訓(xùn)練】1．（2021·廣東·廣州市黃埔區(qū)華實初級中學(xué)二模）如圖，圓錐的母線長l為10cm，側(cè)面積為50πcm2，則圓錐的底面圓半徑r＝___cm．【答案】5【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和圓錐的母線長求得圓錐的弧長，利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵圓錐的母線長是10cm，側(cè)面積是50πcm2，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：l10π（cm），∵圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，∴r5（cm），故答案為：5．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化．2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）一個圓錐的底面周長是6cm，母線長是6cm，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是_______．【答案】【分析】先用圓錐的底面周長得到圓錐的側(cè)面扇形的弧長，然后再利用弧長公式求得側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵圓錐的底面圓的周長是6cm，∴圓錐的側(cè)面扇形的弧長為6πcm，，解得：．故答案為．【點睛】本題主要考查弧長的計算，掌握弧長公式成為解答本題的關(guān)鍵．考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題例題：（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形，糧堆母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點是半圓的一個端點，而點是平分半圓的半徑的中點，根據(jù)勾股定理就可求出兩點和在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．【詳解】解：圓錐的底面周長是，則，，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．則在圓錐側(cè)面展開圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開圖中．故小貓經(jīng)過的最短距離是．故選：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，已知圓錐的母線AB長為40cm，底面半徑OB長為10cm，若將繩子一端固定在點B，繞圓錐側(cè)面一周，另一端與點B重合，則這根繩子的最短長度是______________．【答案】cm【分析】根據(jù)底面圓的周長等于扇形的弧長求解扇形的圓心角再利用勾股定理求解即可.【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n°，圓錐底面圓周長為則n=90，∵即這根繩子的最短長度是cm，故答案為：．【點睛】本題考查的是圓錐的側(cè)面展開圖，弧長的計算，掌握“圓錐的底面圓的周長等于展開圖的弧長求解圓心角”是解本題的關(guān)鍵.2．（2021·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級階段練習(xí)）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點，一只螞蟻從點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，求這只螞蟻爬過的最短距離．【答案】（1）90°；（2）4【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進(jìn)而即可求解；（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝，解得n＝90°；（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．∴是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AD＝BD＝4÷=2，∴AC＝2AD＝4，即這只螞蟻爬過的最短距離4．【點睛】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·遼寧大連·九年級期末）在半徑為6的圓中，120°的圓心角所對的弧長是（）A．3π B．4π C．6π D．12π【答案】B【分析】根據(jù)弧長的公式l進(jìn)行解答即可．【詳解】解：根據(jù)弧長的公式l，得到：l4π．故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式即可解答該題，屬于容易題．2．（2022·云南紅河·九年級期末）用一個圓心角為，半徑為6的扇形做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑，從而可以計算面積．【詳解】解：扇形的弧長=，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．∴面積為：4π，故選：D．【點睛】考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．3．（2021·浙江金華·九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，則的長為（

）

A． B． C．7 D．6【答案】A【分析】利用格點可知∠BAB′＝45°，再利用弧長公式，可求出弧的長．【詳解】解：根據(jù)圖示知，∠BAB′＝45°，弧的長l＝．故答案為：A．【點睛】本題考查弧長的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用格點得出∠BAB′＝45°是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，AB1恰好經(jīng)過點C．則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解決本題的的關(guān)鍵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積．二、填空題5．（2022·遼寧大連·九年級期末）圓錐的底面半徑為40cm，母線長80cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為_____．【答案】##180度【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側(cè)面展開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計算方法求得圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑是40cm，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：2πr=80π，∵母線長80cm，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的面積為：解得：n=180．故答案為：180°．【點睛】本題考查了圓錐的有關(guān)計算，解決此類題目的關(guān)鍵是明確圓錐的側(cè)面展開圖與圓錐的關(guān)系．6．（2021·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長等于_______．【答案】15【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為R，由題意得，解得：R=15．故答案為：15．【點睛】主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．7．（2022·云南紅河·九年級期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點，∠ABC=60°，則的長為__________．【答案】2π【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式進(jìn)行計算即可得出答案．【詳解】解：連接OA，OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．∴的長=故答案為：2π．【點睛】本題主要考查了弧長的計算及圓周角定理，熟練掌握弧長的計算方法及圓周角定理進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·山東棗莊·中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設(shè)計風(fēng)車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為_____．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)題意，點B所經(jīng)過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點通過一次旋轉(zhuǎn)至B′所經(jīng)過的路徑長為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）一塊四邊形余料如圖所示，已知，米，米，以點為圓心，為半徑的圓與相切于點，交于點，用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐底面圓的半徑．【答案】【分析】連接AE，利用勾股定理得AE=BE，由此即可求出∠ABE的度數(shù)，再先求出扇形的圓心角∠DAB的度數(shù)，再由弧長公式求出弧長，此弧長就是所得圓錐的底面圓的周長，由圓的周長公式即可求得所得圓錐的底面半徑．【詳解】如圖，連接，∵AD為半徑的圓與BC相切于點E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，∵AB=，AE=2，∴AE=BE=2，∴∠ABE=45°．∴是等腰直角三角形，，設(shè)圓錐底面半徑為，由題意得，解得．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是掌握所涉及的知識要點，并能夠靈活運(yùn)用．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點C，點A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直線l與⊙O相切嗎？請說明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)相切，理由見解析(2)4-π【分析】（1）連接OC，證明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分別計算△AOB的面積和扇形的面積，相減可得結(jié)果．(1)解：相切，理由：如圖，連接OC，在△AOC≌△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA=∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切；(2)∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，∴AC=BC=2，∴AC=OC=BC=AB，∴∠AOB=90°，∴△AOB的面積為×2×4=4，扇形面積為：=π，∴陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形面積=4-π．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，扇形面積的計算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．(1)求扇形AOB的弧長和扇形面積；(2)若把扇形紙片AOB卷成一個圓錐形無底紙帽，求這個紙帽的高OH．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)弧長公式和扇形面積公式求解即可；（2）先求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求解即可．(1)解：由題意得扇形AOB的弧長，；(2)解：如圖所示，AH為底面圓的半徑，OA為母線長，由題意可得，，∴．【點睛】本題主要考查了求扇形面積，求弧長，求圓錐的高，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握弧長公式和扇形面積公式．12．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是AB延長線上的一點，點C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AC=12，求AD的長；(3)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接OC，AC=CD，∠ACD=120°得∠A=∠D=30°，根據(jù)圓周角定理求得∠COD=2∠A=60°，則∠OCD=90°，可證得CD是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，由∠OCD=90°，∠D=30°得OD=2OC=2r，在Rt△DOC中根據(jù)勾股定理列方程求出r的值，即可求出AD的長；（3）在Rt△DOC中根據(jù)勾股定理列方