初中數(shù)學(xué)概念(蘇教版)

1、整數(shù)

整數(shù)（Integer）：像-2,-1,0,1,2這樣的數(shù)稱為整數(shù)。整數(shù)是人類能夠掌握的最基本的數(shù)

學(xué)工具。

如何分類

我們以0為界限，將整數(shù)分為三大類

a、正整數(shù)，即大于0的整數(shù)如，1,2,3.........n,...

b、0既不是正整數(shù)，也不是負整數(shù)，他是介于正整數(shù)和負整數(shù)的數(shù)

c、負整數(shù),即小于0的整數(shù)如，-1,-2,-3.........-n,...

2、分數(shù)

把整體"1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分母表示把一個物體平均

分成幾份,分子是表示這樣幾份的數(shù)。把1平均分成分母份，表示這樣的分子份。

a

分子在上分母在下，（如這樣表示工）也可以把它當做除法來看，用分子除以分母，相

反除法也可以改為用分數(shù)表示。

百分數(shù)與分數(shù)的區(qū)別

（1）意義不同，百分數(shù)只表示兩個數(shù)的倍比關(guān)系，不能帶單位名稱；分數(shù)既可以表示

具體的數(shù)，又可以表示兩個數(shù)的關(guān)系，表示具體數(shù)時可帶單位名稱。

（2）百分數(shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)；而分數(shù)的分子不能是小數(shù)只是除0以

外的自然數(shù)；百分數(shù)不可以約分，而分數(shù)一般通過約分化成最簡分數(shù)。

（3）任何一個百分數(shù)都可以寫成分母是100的分數(shù)，而分母是100的分數(shù)并不都具有

百分數(shù)的意義。

（4）應(yīng)用范圍的不同，百分數(shù)在生產(chǎn)和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)計、分析和比較，而分數(shù)

常常在計算、測量中的不到整數(shù)結(jié)果時使用。

3、正數(shù)與負數(shù)

正數(shù)：大于0的數(shù)叫正數(shù)。如1、15、3000、口

負數(shù):比零小（＜0）的數(shù)。用負號（即相當于減號）“一”標記。如-2、-5.33、-45、-0.6等。

任何正數(shù)前加上負號都等于負數(shù).負數(shù)比零，正數(shù)小

在數(shù)軸線上，負數(shù)都在0的左側(cè)，沒有最大與最小的負數(shù)，所有的負數(shù)都比自然數(shù)小。

七年級上1.1

4、有理數(shù)

tn

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成分數(shù)7（m、n都是整數(shù)，且n#0）

的形式。

無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù)

任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示。

其中包括整數(shù)和通常所說的分數(shù)，此分數(shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù)（例如：圓周率兀）

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

正整數(shù)

正數(shù)

正分數(shù)

40

負整數(shù)

負數(shù)

負分數(shù)

有理數(shù)

有理數(shù)包括：

(1)自然數(shù)：數(shù)0,1,2,3,……叫做自然數(shù).

(2)正整數(shù)：+1,+2,+3...........叫做正整數(shù)。

(3)負整數(shù)：-1,—2,—3).......叫做負整數(shù)。

(4)整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

(5)分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。

(6)奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。如-3,-1,1,5等。所有的奇數(shù)都可用2n-l

或2n+l表示，n為整數(shù)。

(7)偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)。如-2,0,4,8等。所有的偶數(shù)都可用2n表示,

n為整數(shù)。

(8)質(zhì)數(shù)：如果一個大于1的整數(shù)，除了1和它本身外，沒有其他因數(shù)，這個數(shù)就稱為

質(zhì)數(shù)，又稱素數(shù)，如2,3,11,13等。2是最小的質(zhì)數(shù)。

(9)合數(shù)：如果一個大于1的整數(shù)，除了1和它本身外，還有其他因數(shù)，這個數(shù)就稱為

合數(shù)，如4,6,9,15等。4是最小的合數(shù)。一個合數(shù)至少有3個因數(shù)。

(10)互質(zhì)數(shù)：如果兩個正整數(shù)，除了1以外沒有其他公因數(shù)，這兩個整數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)，

如2和5,7和13等。

如3,-98.11,5.72727272........7/22都是有理數(shù)。

七年級上1.2.1

5、數(shù)軸

規(guī)定了唯一的原點，唯一的正方向和唯一的單位長度的直線叫數(shù)軸。所有的實數(shù)都可以用數(shù)

軸上的點來表示。也可以用數(shù)軸來比較兩個實數(shù)的大小。

畫一條水平直線，在直線上取一點表示0(叫做原點，origin),選取某一長度作為單位

長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向(positivedirection),就得到右面的數(shù)軸。所以原點、

單位長度、正方向是數(shù)軸的三要素。如圖：

利用數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大小，數(shù)軸上從左往右的點表示的數(shù)就是按從小到大的順

序。

數(shù)軸意義：

1)從原點出發(fā)朝正方向的射線(正半軸)上的點對應(yīng)正數(shù)，相反方向的射線(負半軸)

上的點對應(yīng)負數(shù)，原點對應(yīng)零。

2)在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，正方向的數(shù)大于負方向的數(shù)。

3)正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)。

數(shù)軸是一種特定幾何圖形；原點、正方向、長度單位稱數(shù)軸的三要素，這三者缺一不可.

把規(guī)定了唯一的原點，正方向，單位長度的一條直線叫做數(shù)軸。

任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，但數(shù)軸上的數(shù)不都是有理數(shù)。

一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)。

七年級上1.2.2

6、相反數(shù)

相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù)。

相反數(shù)的代數(shù)意義：到原兩個數(shù)的和為零，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，這兩個數(shù)稱為

互為相反數(shù)。

相反數(shù)的幾何意義：到原點距離相等的兩個點表示的兩個數(shù)是互為相反數(shù)。

在數(shù)軸上，互為相反數(shù)（0除外）的兩個點位于原點的兩旁，并且關(guān)于原點對稱。

正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。a的相反數(shù)是-a,0的相反數(shù)是0。

七年級上1.2.3

7、絕對值

絕對值：數(shù)軸上一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)絕對值。絕對值只能為非負數(shù)。

幾何意義：在數(shù)軸上，一個數(shù)到原點的距離叫做該數(shù)的絕對值.如：指在數(shù)軸上表示的點

與原點的距離，這個距離是5,所以的絕對值是5,又如指在數(shù)軸上表示1.5的點與原點的

距離，這個距離是1.5,所以1.5的絕對值是1.5。

代數(shù)意義：正數(shù)和0的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。

a的絕對值用“|a表示.讀作“a的絕對值”.|a|=a（a>0）|a|=-a（a<0）?

七年級上124

8、近似數(shù)

一個數(shù)與準確數(shù)相近（比準確數(shù)略多或者略少些），這一個數(shù)稱之為近似數(shù)（approximate

number）.

如:我國的人口無法計算準確數(shù)目，但是可以說出一個近似數(shù).比如說我國人口有13億,13億

就是一個近似數(shù)。

在通常情況下，近似數(shù)相加減，精確度最低的一個已知數(shù)精確到哪一位，和或者差也至多只

能精確到這一位。示例

例如，一個同學(xué)去年體重30.4千克，今年體重比去年增加了3.18千克。求今年體重時

要把這兩個近似數(shù)加起來。因為30.4只精確到十分位，比3.18的精確度（精確到百分位）

低，所以加得的和最多也只能精確到十分位。

七年級上1.5.3

9、科學(xué)計數(shù)法

數(shù)學(xué)術(shù)語，axlO的n次塞的形式。將一個數(shù)字表示成（axlO的n次基的形式），其中七同

<10,n表示整數(shù)，這種記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。

用嘉的形式，有時可以方便的表示日常生活中遇到的一些較大的數(shù)，如：光的速度大約是

300000000米/秒；全世界人口數(shù)大約是：6100000000

這樣的大數(shù)，讀、寫都很不方便，考慮到10的嘉有如下特點：

10的二次方=100,10的三次方=1000,10的四次方=10000...。

一般的，10的n次嘉，在1的后面有n個0,這樣就可用10的嘉表示一些大數(shù)，如：

6100000000=6.1x1000000000=6.lx109

任何非0實數(shù)的0次方都等于I

當有了負整數(shù)指數(shù)基的時候，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。例如：

0.00001=10-5（10的負5次方），即小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a乘10的負

n次方的形式，其中a是正整數(shù)數(shù)位只有一位的正數(shù)，n是正整數(shù)。

有效數(shù)字：在一個近似數(shù)中，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的位數(shù)止，這中間所

有的數(shù)字都叫這個近似數(shù)字的有效數(shù)字。

例如：890314000保留三位有效數(shù)字為8.90x10"(8.90*10的8次方)

0.00934593保留三位有效數(shù)字為9?35xl0“(9.35*10的-3次方)

七年級上1.5.2

10、有理數(shù)的運算

有理數(shù)集是一個域，即在其中可進行四則運算(0作除數(shù)除外)，而且對于這些運算，以下

的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數(shù))：

①加法的交換律a+b=b+a；

②加法的結(jié)合律a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在數(shù)0,使0+a=a+0=a；

④對任意有理數(shù)a,存在一個加法逆元，記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交換律ab=ba；

⑥乘法的結(jié)合律a(bc)=(ab)c；

⑦分配律a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的單位元1#),使得對任意有理數(shù)a,la=al=a；

⑨對于不為0的有理數(shù)a,存在乘法逆元1/a,使a(l/a尸(l/a)a=l。

⑩0a=0

此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系￡

有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b,a>0,b>0,必可找到一個自然數(shù)n,使nb>a。

由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。

有理數(shù)加減混合運算

1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：

對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將

混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的式子是兒個正數(shù)或負數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子

叫做代數(shù)和。

2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：

(1)運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

(2)運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。

有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對值，相反數(shù)等概念，在實數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。

一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的：

整數(shù)、分數(shù)；正數(shù)、負數(shù)和零；負有理數(shù)，非負有理數(shù)

11、乘方

乘方的意義、各部分名稱及讀寫

在“中，相同的乘數(shù)a叫做底數(shù)(basenumber),a的個數(shù)n叫做指數(shù)(exponent),乘方運

算的結(jié)果廢叫做幕(念mi)。優(yōu)讀作a的n次方，如果把屋看作乘方的結(jié)果，則讀作a的n

23

次幕。a或a的二次方(或a的二次幕)也可以讀作a的平方；a或a的三次方(或a的

三次累）也可以讀作a的立方。

每一個自然數(shù)都可以看作這個數(shù)的一次方，也叫作一次幕。如：8可以看作8：當指數(shù)

是1時，通常省略不寫。

運算順序：先乘方，再括號，接乘除，尾加減。

（1）、相同乘數(shù)相乘的積用乘方表示

（2）、根據(jù)乘方的意義計算出答案

4

1）9:2）0\

94=9x9x9x9=6561

可以看出°”=0（n為正數(shù)）

（3）、〃°=1（n/0）

（4）、區(qū)別易混的概念

1）G與8x3；2）5x2與5、3）4x5?與（4x5）-

（5）、計算一個數(shù)的小數(shù)次方，如果那個小數(shù)是有理數(shù)，就把它化為p/q（即分數(shù)）的形式,

那么任何一個數(shù)n的p/q次方就等于n的p次方再開q次根號

七年級上1.5.1

12、單項式

數(shù)字或字母的乘積叫單項式（單獨的一個數(shù)字或字母也是單項式（單項式是整式，而不是分

式））。單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。所有字母的指數(shù)之和叫做這個單項式的

次數(shù)。任何一個非零數(shù)的零次方等于1。

注意：

1）、分母含有未知數(shù)的式子不屬于單項式。例如，龍不是單項式。

2）、單獨的一個數(shù)字或字母也是單項式。例如，1和fv也是單項式，°.5〃?+〃不是單

項式。

單項式是字母與數(shù)的乘積。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)。如：2xy的系數(shù)是2；-5zy的系數(shù)是-5

字母t的指數(shù)是1,100t是一次單項式如：,仍g、孫1b……都是單項式。

用運算符號把表示數(shù)的字母或數(shù)連接起來的式子叫代數(shù)式。

代數(shù)式不含有‘竺、"尹’符號等

單項式書寫規(guī)則：數(shù)與字母相乘時，數(shù)在字母前；乘號可以省略為點或不寫；除法的式

子可以寫成分數(shù)式；帶分數(shù)與字母相乘，帶分數(shù)要化為假分數(shù)

單項式是幾次，就叫做幾次單項式

字母不能在分母中

“?！笔菙?shù)，不是字母，讀pai

注意

1.數(shù)字寫在字母的前面，省略乘號。［5a、16xy等］

2.常數(shù)（也就是自然數(shù)）的次數(shù)為0。

3.單項式分母不能為字母。（因為這樣為分式，不為單項式）

4.兀是常數(shù)，因此也可以作為系數(shù)。

5.若系數(shù)是帶分數(shù)，要化成假分數(shù)。

6.但一個單項式的系數(shù)是1或-1時，力”通常省略不寫,如［（-1）2口寫成［713］等。

7.在單項式中字母不可以做分母，分子可以?！咀ⅲ合袢种產(chǎn)+b之類的不是單項式】

8.單項式中系數(shù)不為0,否則單項無意義。

單項式乘法法則：

單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積的一個因式

13、多項式

若干個單項式的和組成的式子叫做多項式（減法中有：減一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)）。多

項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。

不含字母的項叫做常數(shù)項。如一式中：最高項的次數(shù)為5,此式有3個單項式組成，則稱其

為：五次三項式。

比較廣義的定義，1個或0個單項式的和也算多項式。按這個定義，多項式就是整式。實際

上，還沒有一個只對狹義多項式起作用，對單項式不起的定理：0作為多項式時，次數(shù)為負

無窮大。

注意：

（1）由于多項式的每一項都是單項式，股每一項既有系數(shù)，又有次數(shù)，整個多項式?jīng)]有系

數(shù)；（2）多項式的次數(shù)是組成多項式的各單項式中次數(shù)最高的那個單項式次數(shù)；（3）把多項

式的項和次數(shù)結(jié)合起來，通常叫做幾次幾項式，如f+x+l是二次三項式；（4）多項式的

每一項都包括其前面的符號。

14、整式

整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運算，但在整式中除數(shù)不能含有

字母.單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

2x/3是單項式、0.4X+3是多項式，他們都屬于整式。而x/y不是整式。

代數(shù)式中的一種有理式.不含除法運算或分數(shù)，以及雖有除法運算及分數(shù)，但除式或分母中不

含變數(shù)者,則稱為整式.

代數(shù)式:由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運算所得的式子,

或含有字母的數(shù)學(xué)表達式稱為代數(shù)式。例如:ax+2b,—2/3,b八2/26,電+也等。

注意：1、不包括等于號（=、三）、不等號（豐、＜.＞,＜、＞、*、次）、約等號2、

可以有絕對值。例如:|x|,|-2.25|等。

整式不包括開方，分母是字母的數(shù)。

整式可以分為定義和運算，定義又可以分為單項式和多項式，運算又可以分為加減和乘

除.

加減包括合并同類項，乘除包括基本運算、法則和公式，基本運算又可以分為基的運算性

質(zhì),法則可以分為整式、除法，公式可以分為乘法公式、零指數(shù)基和負整數(shù)指數(shù)基.數(shù)與字母的

乘積叫做單項式。兒個單項式的和是多項式。單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。單項式中的數(shù)字

因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的指數(shù)。多項式中次數(shù)最高

項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。多項式可以按降轅和升基排列，(1)升幕：按照多項式中制定

的未知數(shù)的次數(shù)從低到高排列；(2)降幕：按照多項式中制定的未知數(shù)的次數(shù)從高到低排列。

七年級上2.1

15、分式

分式的基本概念：形如A/B,A、B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于。的整式叫做分式

(fraction)?其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

掌握分式的概念應(yīng)注意：

判斷一個式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，關(guān)鍵要滿足。

(1)分式的分母中必須含有未知數(shù)。

(2)分母的值不能為零，如果分母的值為零，那么分式無意義。

由于字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性。

整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

帶有根號的式子叫做無理式

無理式和有理式統(tǒng)稱代數(shù)式

分式的法則

1).約分：

把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù))約去，這種變形稱為約分。

2).分式的乘法法則：

兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。

3).分式的加減法法則：

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。

4).通分：

異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。如：3/2和2/3可化為9/6

和4/6.即：3*3/2*3,2*2/3*2!

5).異分母分式的加減法法則：

異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則

進行計算。

注:分式的概念包括3個方面：①分式是兩個整式相除的分式，其中分子為被除式，分

母為除式，分數(shù)線起除號的作用；②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，

也可以不含字母，這是區(qū)別整式的重要依據(jù)；③在任何情況下，分式的分母的值都不可以為

0,否則分式無意義。這里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一個字母來說的。也

就是說，分式的分母不為零是隱含在此分式中而無須注明的條件。

分式的基本性質(zhì)和變形應(yīng)用

1.分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時乘以(或除以)同一個不為。的整式，分式的

值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A-C/B-C(A,B,C為整式，且C#0)

2.約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

3.分式的約分步驟:(1)如果分式的分子和分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式，將

它們的公因式約去.(2)分式的分子和分母都是多項式,將分子和分母分別分解因式，再將公因

式約去.

注:公因式的提取方法:系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取分子和分母共有的

字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

4.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式.約分時，一般

將一個分式化為最簡分式.

5.通分:把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分.

6.分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒?/p>

分母.同時各分式按照分母所擴大的倍數(shù)，相應(yīng)擴大各自的分子.

注:最簡公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次累及單

獨字母的寨的乘積.

注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)2.(2)分式的約分和通分都是互逆運算過

程.

分式的四則運算

1.同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減.用字母表示為：

a/c±b/c=aib/c

2.異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分，化為同分母的分式，然后再按同分

母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為：a/b±c/d=ad土cb/bd

3.分式的乘法法則:兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積

的分母.用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd

4.分式的除法法則:(1).兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相

乘.a/b+c/d=ad/bc

(2).除以-一個分式，等于乘以這個分式的倒數(shù):a/b+c/d=a/b*d/c

16、方程

含有未知數(shù)的等式叫方程

方程(英文：equation)是表示兩個數(shù)學(xué)式(如兩個數(shù)、函數(shù)、量、運算)之間相等關(guān)系的

一種等式，通常在兩者之間有一等號“="。方程不用按逆向思維思考，可直接列出等式并含

有未知數(shù)。它具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程等。

等式的基本性質(zhì)1

等式兩邊同時加(或減)同一個數(shù)或同一個代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。

用字母表示為：若2=卜c為一個數(shù)或一個代數(shù)式。則：

(l)a+c=b+c

(2)a-c=b-c

等式的基本性質(zhì)2

等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式。

(3)若2=也則6=2(等式的對稱性)。

(4)若a=b,b=c則a=c(等式的傳遞性)。

用字母表示為：若2=1),c為一個數(shù)或一個代數(shù)式(不為0)。貝I：

axc=bxca+c=b+c

方程的一些概念：

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

解方程的依據(jù)：1.移項；2.等式的基本性質(zhì)；3.合并同類項；4.加減乘除各部分間的

關(guān)系。

解方程的步驟：1.能計算的先計算：2.轉(zhuǎn)化——計算——結(jié)果

17、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫做

一元一次方程。

通常形式是ax+b=0(a,b為常數(shù)，且a/))。一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是

整式。一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1,且未知數(shù)的系數(shù)不為0。

我們將ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a翔）叫一元一次方程的標準形式。

這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1o一元一次方程英文是（linearequationin

one）

性質(zhì)

等式的性質(zhì)一:等式兩邊同時加一個數(shù)或減去同一個數(shù)或同一個整式，等式仍然成立。

等式的性質(zhì)二:等式兩邊同時乘一個數(shù)或除以同一個不為0的數(shù)，等式仍然成立。

等式的性質(zhì)三:等式兩邊同時乘方（或開方），等式仍然成立。

解方程都是依據(jù)等式的這三個性質(zhì)等式的性質(zhì)一:等式兩邊同時加一個數(shù)或減一同一個

數(shù)，等式仍然成立。

一般解法

1）去分母方程兩邊同時乘各分母的最大公倍數(shù)。

2）去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號。但順序有時可依據(jù)情況而定

使計算簡便?？筛鶕?jù)乘法分配律。

3）移項把方程中含有未知數(shù)的項移到方程的另一邊，其余各項移到方程的另一邊移項

時別忘記了要變號。（一般都是這樣：（比方）從5x=4x+8得到5x-4x=8；把未知數(shù)移到

一起！?

4）合并同類項將原方程化為ax=b（a翔）的形式。

5）系數(shù)化一方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)。

6）得出方程的解。

同解方程

如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

（1）方程的兩邊都加或減同一個數(shù)或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。

（2）方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。

做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法：

（1）認真審題（2）分析已知和未知的量（3）找一個等量關(guān)系（4）設(shè)未知數(shù)（5）列方程

（6）解方程（7）檢驗（8）寫出答

18、二元一次方程

二元一次方程定義：一個含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程，叫二元一

次方程

二元一次方程組定義：由兩個二元一次方程組成的方程組，叫二元一次方程組

二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的

解。

二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。

一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個數(shù)由多化少，逐一解決。

消元的方法有兩種：

代入消元法

例：解方程組x+y=5①6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③把③帶入②，得6（5-y）+13y=89,解得y=59/7

把y=59/7帶入③，得x=5-59/7,即x=-24/7

.,.x=-24/7,y=59/7

這種解法就是代入消元法。

加減消元法

例：解方程組x+y=9①x-y=5②

解：①+②，得2x=14,即x=7

把x=7帶入①，得7+y=9,解得y=2

Ax=7,y=2

這種解法就是加減消元法。

二元一次方程組的解有三種情況：

1.有一組解

如方程組x+y=5①6x+13y=89②的解為x=-24/7,y=59/7?

2.有無數(shù)組解

如方程組x+y=6①2x+2y=12②，因為這兩個方程實際上是一個方程（亦稱作“方程有兩

個相等的實數(shù)根”），所以此類方程組有無數(shù)組解。

3.無解

如方程組x+y=4①2x+2y=10②，因為方程②化簡后為x+y=5,這與方程①相矛盾，所

以此類方程組無解。

20、一元二次方程

在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方

程。

一元二次方程有四個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；（3）是整

式方程.要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行

整理.如果能整理為以2+bx+c=°（aw0）的形式，則這個方程就為一元二次方程.（4）

將方程化為一般形式：ar2+bx+c=o時，應(yīng)滿足伍,0）

一般解法

1）配方法

（可解全部一元二次方程）

如：解方程：xA2+2x——3=0

解：把常數(shù)項移項得：x八2+2x=3

等式兩邊同時加1（構(gòu)成完全平方式）得：xA2+2x+l=4

因式分解得：（x+l）A2=4

解得：xl=-3,x2=l

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數(shù)化為一

常數(shù)要往右邊移

一次系數(shù)一半方

兩邊加上最相當

2）公式法（可解全部一元二次方程）

首先要通過b人2-4ac的值來判斷一元二次方程有幾個根

1.當bA2-4ac<0時x無實數(shù)根（初中）

2.當b八2-4ac=0時x有兩個相同的實數(shù)根即xl=x2

3.當y2-4ac>0時x有兩個不相同的實數(shù)根

當判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：x={-biV

（bA2—4ac）}/2a

來求得方程的根

3）因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、"公式法（又分“平

方差公式”和“完全平方公式'‘兩種)”和“十字相乘法”。

如：解方程：xA2+2x+l=0

解：利用完全平方公式因式分解得：(x+1)人2=0

解得：xl=x2=-l

4.直接開平方法(可解部分一元二次方程)

如何選擇最簡單的解法：

(1)、看是否可以直接開方解；

(2)、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中，先考慮提公因式法，再考慮平方

公式法，最后考慮十字相乘法)；

(3)、使用公式法求解；

(4)、最后再考慮配方法(配方法雖然可以解全部一元二次方程，但是有時候解題太麻

煩)。

例題精講：

1)、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如

(x-m)A2=n(應(yīng)0)的方程，其解為x=m±4n

例1.解方程(1)(3x+l)A2=7(2)9xA2-24x+16=ll

分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x4)八2,右

邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。

(1)解：(3x+l)A2=7

.,.(3x+l)A2=7

3x+1=±47(注意不要丟解)

x=...

，原方程的解為xl=...,x2=...

(2)解：9xA2-24x+16=ll

/.(3x-4)A2=ll

.,.3x-4=±-Vll

??x=...

，原方程的解為xl=...,x2=...

2.配方法：

例1用配方法解方程3xA2-4x-2=0

解：將常數(shù)項移到方程右邊3x入2-4x=2

將二次項系數(shù)化為1：xA2-x=

方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：xA2-x+()A2=+()A2

配方：(x-)八2=

直接開平方得：x-=±

x=

原方程的解為xl=,x2=.

3.公式法：把一元二次方程化成ax入2+bx+c的一般形式，然后把各項系數(shù)a,b,c的值

代入求根公式就可得到方程的根。

當bA2-4ac>0時，求根公式為x1=[-b+^(bA2-4ac)]/2a,x2=[-b-^/(bA2-4ac)]/2a(兩個不相等

的實數(shù)根)

當b八2-4ac=0時，求根公式為xl=x2=-b/2a(兩個相等的實數(shù)根)

當bA2-4ac<0時，求根公式為x1=[-b+^/(4ac-bA2)i]/2a,x2=[-b-^(4ac-bA2)i]/2a(兩個虛數(shù)

根)(初中理解為無實數(shù)根)

例3.用公式法解方程2xA2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2xM-8x+5=0

?*.a=2,b=-8,c=5

bA2-4ac=(-8)2-4x2x5=64-40=24>0

:.x===

，原方程的解為xl=,x2=.

4.因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式

的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程

所得的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程：

(l)(x+3)(x-6)=-8(2)2xA2+3x=0

(3)6xA2+5x-50=0(選學(xué))(4)xA2-4x+4=0(選學(xué))

(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得

x人2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)

x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)

.".xl=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2xA2+3x=0

x(2x+3尸0(用提公因式法將方程左邊分解因式)

Ax=O或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)

Ax1=0,x2=-3/2是原方程的解。

注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

A2x-5=0或3x+10=0

Axl=5/2,x2=-10/3是原方程的解。

(4)解：xA2-4x+4=0(V4可分解為2-2，，此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2)=0

Ax1=2,x2=2是原方程的解。

小結(jié)：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先

將方程寫成一般形式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能

法)，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)

先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以

一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初

中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，

配方法，待定系數(shù)法)。

21、分式方程

分式方程是方程中的一種，且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程(ftactionalequation)。

例如100/x=95/x+0.35

分式方程的解法：

①去分母｛方程兩邊同時乘以最簡公分母(最簡公分母:①系數(shù)取最小公倍數(shù)②出現(xiàn)的字

母取最高次暴③出現(xiàn)的因式取最高次累)，將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時.

不要忘了改變符號｝;②按解整式方程的步驟(移項，若有括號應(yīng)去括號，注意變號，合并同類

項，系數(shù)化為1)求出未知數(shù)的值;③驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化

為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根).

驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0,這個根就是增根。否

則這個根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。

如果分式本身約分了，也要帶進去檢驗。

在列分式方程解應(yīng)用題時,不僅要檢驗所的解是否滿足方程式，還要檢驗是否符合題意。

一般的，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此

要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解.

歸納：

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊

同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法0

例題：

(1)x/(x+l)=2x/(3x+3)+l

兩邊乘3(x+l)

3x=2x+(3x+3)

3x=5x+3

2x=-3

x=-3/2

分式方程要檢驗

經(jīng)檢驗，x=-3/2是方程的解

(2)2/(x-1)=4/(xA2-l)

兩邊乘(x+l)(x-l)

2(x+l)=4

2x+2=4

2x=2

X=1

分式方程要檢驗

把x=l帶入原方程，使分母為0,是增根。

所以原方程2/x-l=4/xA2-l

無解

一定要檢驗??！

檢驗格式：把x=a帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0,則a是原方程的增根.若

x=a使最簡公分母不為零，則a是原方程的根.

注意：可憑經(jīng)驗判斷是否有解。若有解，帶入所有分母計算：若無解，帶入無解分母即

可

22、不等式

一般的，用符號(或"W'),(或"N")，“尹’連接的式子叫做不等式。不等式中可以

含有未知數(shù)，也可以不含)

不等式的性質(zhì)：

(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

(4)不等式的兩邊都乘以0,不等號變等號。

不等式的基本性質(zhì)(字母表示)

性質(zhì)1：如果a>b,那么a±c>b±c

性質(zhì)2：如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c)

性質(zhì)3：如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c〈b/c)

不等式的最基本性質(zhì)

①如果x>y,那么y<x；如果yVx,那么x>y；(對稱性)

②如果x>y,y>z；那么x>z；(傳遞性)

③如果x>y,而z為任意實數(shù)或整式，那么x+z>y+z；(加法則)

④如果x>y,z>0.那么xz>yz；如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法則)

⑤如果x>y,z>0,那么x+z>y+z;如果x>y,z<0,那么x+z<y+z。

⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n(充分不必要條件)

⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn

⑧如果x>y>0,那么x的n次幕>y的n次基(n為正數(shù))

如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，以下是其

中比較有名的。

解不等式可遵循的一些同解原理

主要的有：

①不等式F(x)<G(x)與不等式G(x)>F(x)同解。

②如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，那么不

等式F(x)<G(x)與不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。

③如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，并且H(x)

>0,那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解；如果H

(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解；不等式F(x)G(x)V0與不等式同解。

注意事項

1.符號：

不等式兩邊都乘以或除以一個負數(shù)，要改變不等號的方向。

2.確定解集：

比兩個值都大，就比大的還大；

比兩個值都小，就比小的還?。?/p>

比大的大，比小的小，無解：

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3.另外，也可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某

一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個

就要幾個。

4.不等式兩邊相加或相減，同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變。(移項要變號)

5.不等式兩邊相乘或相除，同一個正數(shù)，不等號的方向不變。(相當系數(shù)化1,這是得正

數(shù)才能使用)

6.不等式兩邊乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變。(+或xl個負數(shù)的時候要變號)

25、平面直角坐標系

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標

系。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的

正方向。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統(tǒng)稱為坐

標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。X軸和Y軸把坐標平面分成四個象限，

右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象

限。象限以數(shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不屬于任何象限。一般情況下，x軸和y軸

取相同的單位長度。

點的坐標

建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內(nèi)的任何一點，我們可以確定它的坐標。反

過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內(nèi)確定它所表示的一個點。

對于平面內(nèi)任意一點C,過點C分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上的對

應(yīng)點a,b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序?qū)崝?shù)對（a,b）叫做點C的坐標。

一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣.

特殊位置的點的坐標的特點

1.x軸上的點的縱坐標為零；y軸上的點的橫坐標為零。

2.第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點橫、縱

坐標互為相反數(shù)。

3.在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行于縱軸；如果兩點的縱

坐標相同，則兩點的連線平行于橫軸。

4.點到軸及原點的距離

點到x軸的距離為|y|；點到y(tǒng)軸的距離為岡：點到原點的距離為x的平方加y的平方

再開根號；

在平面直角坐標系中對稱點的特點

1.關(guān)于x成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。（橫同縱反）

2.關(guān)于y成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)。（橫反縱同）

3.關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標與縱坐標互為

相反數(shù)。（橫縱皆反）

各象限內(nèi)和坐標軸上的點和坐標的規(guī)律

第一象限：（+,+）正正

第二象限：（-,+）負正

第三象限：負負

第四象限：（+,-）正負

x軸正方向：（+,0）

x軸負方向：（-，0）

y軸正方向：（0,+）

y軸負方向：（0,-）

x軸上的點的縱坐標為0,y軸上的點的橫坐標為0。

注：以數(shù)對形式（x,y）表示的坐標系中的點（如2,-4）,“2”是x軸坐標，“-4”是y

軸坐標。

25、函數(shù)

在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確

定值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)

與函數(shù)有關(guān)的概念：

我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量。有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱他們?yōu)槌Ａ俊?/p>

自變量，函數(shù)一個與他量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應(yīng)的

固定值。

因變量（函數(shù)），隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只

有唯一一值與其相對應(yīng)。

26、正比例函數(shù)

一般地，兩個變量x,y之間的關(guān)系式可以表示成形如產(chǎn)kx（k為常數(shù)，且k/））的函數(shù)，

那么y就叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例

函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即一次函數(shù)y=kx+b中，若b=0,即所謂“y軸

上的截距”為零，則為正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：產(chǎn)kx（k為比例系數(shù)）當

K>0時（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增

大.當K<0時（二四象限），k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增大時，y

的值則逐漸減小.

1）定義域：R（實數(shù)集）

2）值域：R（實數(shù)集）

3）奇偶性：奇函數(shù)

4）單調(diào)性：當k>0時，圖像位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞增）；當k<0

時，圖像位于第二、四象限，y隨x的增大而減小（單調(diào)遞減）.

5）周期性：不是周期函數(shù)。

6）對稱軸：直線，無對稱軸。

正比例函數(shù)解析式的求法

設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx（厚0）,將已知點的坐標帶入上式得到k,即可求出

正比例函數(shù)的解析式。

另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點坐標，則將兩個已知的函數(shù)解析式聯(lián)立成方程

組，求出其x,y值即可。

正比例函數(shù)的圖像

正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標原點（0,0）和定點（x,kx）兩點的一條直線，它的斜

率是k,橫、縱截距都為0。

正比例函數(shù)圖像的作法

1.在x允許的范圍內(nèi)取一個值，根據(jù)解析式求出y值

2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點

3.做過第二步描出的點和原點的直線

正比例函數(shù)的應(yīng)用

正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的。

比如斜率問題就取決于K值，當K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大，反之亦然

還有，y=kx是y=k/x的圖像的對稱軸。

①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)

的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比

例關(guān)系.①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，

（一定）正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示：

②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對于比值為正數(shù)的，即y=kx（k>0）,此時的y

與x,同時擴大，同時縮小，比值不變.例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所

用的時間是否成正比例？

以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù).所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成正比例關(guān)

系.注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時應(yīng)注意這兩種相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一

種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值不一定，它們就不能成正比

例.例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關(guān)系，正方形的邊長和它的面積也

不成正比例關(guān)系。

30、一次函數(shù)

一次函數(shù)（linearfunction）,也作線性函數(shù)，在x,y坐標軸中可以用一條直線表示，當一次

函數(shù)中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的值。

函數(shù)的基本概念：在一個變化過程中，有兩個變量x和y,并且對于x每一個確定的值，在

y中都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，也可以說x是自變量，y是

因變量。表示為y=kx+b（k/0,k、b均為常數(shù)），當b=0時稱y為x的正比例函數(shù)，正比

例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況?？杀硎緸閥=kx?現(xiàn)在是初二教學(xué)本里最難的一章（當

然有一些人例外），應(yīng)用最廣泛，知識最豐富的數(shù)學(xué)課題

相關(guān)性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)：

1）y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k.

即：y=kx+b（k#0）（k不等于0,且k、b為常數(shù)），

當x增力Hm,k（x+m）+b=y+km,km/m=k?

2）當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的點,坐標為（0,b）?

3）當b=0時（即y=kx）,一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

4）在兩個一次函數(shù)表達式中：

當兩一次函數(shù)表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數(shù)圖像重合；

當兩一次函數(shù)表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像平行：

當兩一次函數(shù)表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像相交；

當兩一次函數(shù)表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點（0,

b）。

圖像性質(zhì)

1）作法與圖形：通過如下3個步驟：

（1）列表.

（2）描點；［一般取兩個點，根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。

（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知

道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0,0

與b）.

2）性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x,y）,都滿足等式：y=kx+b（k#））。（2）

一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0,b）,與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數(shù)的圖像都

是過原點。

3）函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。

4）k,b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時（即b等于0,y與x成正比例）：

當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b時:

當k>0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；

當k>0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限：

當k<0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；

當k<0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；

當b>0時，直線必通過第一、二象限；

當b<0時，直線必通過第三、四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點0（0,0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k<0時，直

線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。

27、反比例函數(shù)

一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成丫=1</*（1（為常數(shù)，k網(wǎng)）的形式，那么

稱y是x的反比例函數(shù)。因為y=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X和。而尸k/x

有時也被寫成xy=k或y=kx-&supl;?

反比例函數(shù)表達式

y=k/x其中X是自變量，Y是X的函數(shù)

y=k/x=kl/x

xy=k

y=k-x"（-1）（即：y等于x的負壹次方）

產(chǎn)k\x（k為常數(shù)且HO）,x翔）

反比例函數(shù)的自變量的取值范圍

①kro；②在一般的情況下，自變量x的取值范圍可以是不等于o的任意實數(shù)；

③函數(shù)y的取值范圍也是任意非零實數(shù)。

反比例函數(shù)圖象

反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）,

反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（K#））。

反比例函數(shù)性質(zhì)

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划攌<0

時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。