初中幾何輔助線大全3

例1：已知如圖1T：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AOBD+DE十CE.

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，

使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為aABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：ZBDOZBACo

B

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：

例如:如圖3-1：已知AD為△ABC的中線,且/1=N2,N3=N4,求證：BE+CF

>EFo

四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例如:一如圖紇1：AD為AAgC的中線，且/!=/2,/3=/4，、求證:儂

+CF>EF

M

圖4—1

五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AO2AD。

練習(xí)：已知AABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等

腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD。

六、截長補(bǔ)短法作輔助線。

圖5—2

例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB

-AC>PB-PC?

七、延長已知邊構(gòu)造三角形：

例如：如圖7-1：已知AC=BD,AD_LAC于A,BC_LBD于B,求證：AD

DC

圖7—1

八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

例如：如圖8T：AB〃CD,AD〃BC求證：AB=CD。

九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如：如圖9-L—在Rt^ABC中，AB=AC,NBAC=90°，N1=N2,CE_LBD的延長于E。求證:_BD=2CE

圖9—1

十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

例如：已知：如圖10T；AC、BD相交于0點(diǎn)，且AB=DC,AC=BD,求證：NA=ND。

分析：要證NA=ND,可證它們所在的三角形AABO和△口?）全等，而只有AB=DC和對頂角兩個條件，差一個條

件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC,AC=BD,若連接BC,則AABC和4DCB全等，所

以，證得NA=ND。

BC

圖10—1

—取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖11T：AB=DC,NA=ND求證:ZABC=ZDCBo

A,NO

BMC

圖11-1

A

G>/\

巧求三角形中線段的比值

例1.如圖1,在AABC中，BD：DC=1：3,AE：ED=2：3,求AF：FC。U//1

人J7

BDC

4

例2如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF：FD

8C1)

A

例3.如圖3,BD：DC=1：3,AE：EB=2：3,求AF：FDo八

RFC

例4.如圖4BD：_DC=1：3,AF=FD,一求EF：FC。

練習(xí)：

L_如圖5,BD=DC,_AEjED=1：5,求AF：FB。

2._如圖6,_AD：_DB=1：3,AE：EC=3：L求BF：FC。

如圖IT,ZAOC=ZBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有AOED烏△OFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造

了條件。

如圖1-2,AB//CD,BE平分NBCD,CE平分NBCD,

證：BC=AB+CD。

已知：如圖1一3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求證DC_LAC

B

圖1-3

已知：如圖1-4,在AABC中，NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-AC

=CD

圖1-4

練習(xí)

1.已知在△ABC中，AD平分NBAC,ZB=2ZC,求證：AB+BD=AC

2.已知：在AABC中，ZCAB=2ZB,AE平分NCAB交BC于E,AB=2AC,求證：AE=2CE

3.已知：在AABC中，AB〉A(chǔ)C,AD為NBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC

4.已知：D是AABC的NBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC..

（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。

例1.如圖2T,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BC.

求證：ZADC+ZB=180

例2.如圖2-2,在△ABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBD?

求證:BC=AB+AD

圖2-2

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證:

ZBAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P.

圖2-3

練習(xí):

1.如圖2-4NA0P=NB0P=15,PC//OA,PD±OA,

如果PC=4,則PD=()

A4B3C2D1

2.已知在AABC中,ZC=90,AD平分NCAB,CD=L5,DB=2.5.求AC。

3.已知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE±AB,

1

AE=2(AB+AD).求證：ZD+ZB=180。

圖2-5

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC

上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEO求證：AF=AD+CFO

5.已知：如圖2-7,在RtZ\ABC中，ZACB=90,CD±AB,垂足為D,AE平分NCAB交CD于F,過F作FH〃A

B交BC于H。求證CF=BH。

圖2-7

（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

例1.已知：如圖3T,ZBAD=ZDAC,AB>AC,CD_LAD于D,H是BC中點(diǎn)。求證：DH=—(AB-AC)

2

F

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,ZBAC=90，AD為NABC的平分線，CEA

_LBE.求證：BD=2CE?

例3.已知：如圖3-3在4ABC中,AD、AE分另IJNBAC的內(nèi)、外角平分線,

過頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于

求證：AM=MEo

例4.已知：如圖3-4,在AABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CM_LAD交AD延長線于M。求證：AM=—(AB+

2

AC)

練習(xí)：

1.已知：在AABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn)，AE是NBAC的平分線，且CE_LAE于E,連接DE,求DE。

2.已知BE、BF分別是AABC的NABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF_LBF于F,AEJ?BE于E,連接EF分別交AB、

AC于M、N,求證MN=』BC

2

（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線

圖4-2

圖4-1

例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證：AB-AOBD-CD0

例5如圖，BC>BA,BD平分NABC,且AD=CD,求證：ZA+ZC=180o

例6如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分NBAD各NADE,求證：AD=AB+CD0

練習(xí):

1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BCO求證：△ABC是直角三角形。

A

B

2.已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC_LAC

3.已知CE、AD是AABC的角平分線，ZB=60D,求證：AC=AE+CD

4.已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線,求證：BC=AB+AD

C

三由線段和差想到的輔助線

例1、已知如圖1-1：D、E為4ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AC>BD+DE+CE.

證明：（法一）

.".AB+AOBD+DE+EC

（法二：圖1-2）

延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,4AABF和AGFC和AGDE中

BC

圖1—2

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）

GF+FOGE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

.?.AB+AC>BD+DE+EC?

一、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來

時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)

角位置上，再利用外角定理：

例如:如圖2-1：已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:NBDC>NBAC。

畫：因?yàn)镹BDC與/BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使N

BDC處于在外角的位置，NBAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時NBDC是aEDC的外角，

/.ZBDOZDEC,同理NDEONBAC,ZBDOZBAC

證法二：連接AD,并廷長交BC于F,這時NBDF是AABD的

夕卜角，ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD,AZBDF+

ZCDF>ZBAD+ZCAD,即：ZBDC>ZBAC?

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的

內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

二、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如:

例如:如圖3-1：已知AD為的中線,且Nl=N2,N3=N4,求證:

BE+CF>EFO

畫：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE,

EF移到同一個三角形中，而由已知N1=N2,

Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等,

EN,FN,EF移到同個二角形中。

證明：在DN上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在ADBE和ANDE中:

，DN=DB（輔助線作法）

"Z1=Z2（已知）

%D=ED（公共邊）

.,.△DBE^ANDE（SAS）

.,.BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在AEFN中EN+FN〉EF（:三角形兩邊之和大于第三邊）

.?.BE+CF>EFO

注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對

應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

三、截長補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6T：在AABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任一點(diǎn)

求證:AB-AC>PB-PCo

畫：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于

第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在APNE

中,PB-PNCBN,

即：AB-AOPB-PC。

證明：（截長法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（輔助線作法）

，1=N2（已知）

L=AP（公共邊）

/.AAPN^AAPC（SAS）,/.PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?在4BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）

/.BP-PC<AB-AC

證明：（補(bǔ)短法）A

延長AC至M,使AM=AB,連接PM,

在△ABP和△AMP中NC

M

B圖6—1

AB=AM（輔助線作法）

“1=N2（已知）

ip=AP（公共邊）

AABP^AAMP（SAS）

.?.PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又?.,在APCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.-.AB-AOPB-PC.

例1.如圖，AC平分NBAD,CE±AB,且NB+ND=180°，求證：AE=AD+BE。

例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CE_LAB于E,AD+AB=2AE,

求證：ZADC+ZB=180°

例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,^A=108°,BD平分/ABC。

求證：BC=AB+DC?

1

例4如圖，已知RtAVBC中，ZACB=90",AD是NCAB的平分線，DM_L卻于M,且AM=MB。求證:2DBo

M

CDB

1.如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分NBAD各NADE,求證：AD=AB+CD?

2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線，且B,C在AE的異側(cè),

BDJ_AE于D,CE_LAE于E。求證：BD=DE+CE

四由中點(diǎn)想到的輔助線

口訣：

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線/三角形中有中線，延長中線等中線。

在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長

中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角二角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

2

即如圖1,AD是AABC的中線，則SAM產(chǎn)SAMIF2SAABC（因?yàn)锳ABD與AACD是等底同高的）。

例1.如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使DE=AD,DF是ADCE的中線。已知AABC的面積為2,

求：ACDF的面積。

解：因?yàn)锳D是AABC的中線，所以SAACD=_LSA*2_X2=1,又因CD是AACE的中線，故SAWS.MIFI,

22

因DF是ACDE的中線，所以SACDF——SACDE二一X1——o

???

AACDF的面積為L。

（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線

例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、

Ho求證：ZBGE=ZCHEo

證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,

,?，ME是ABCD的中位線，

?1

/.MEff—CD,/.ZMEF=ZCHE,

■7

「MF是AABD的中位線，

H1

.??MFff—AB,NMFE=NBGE，

?2

VAB=CD,.'ME=MF,，/MEF=/MFE,

從而NBGE=NCHE。

（三）、由中線應(yīng)想到延長中線

例3.圖4,已知AABC中，AB=5,AO3,連BC上的中線AD=2,求BC的長。

解:延長AD到E,使DE=AD,則AE=2AD=2X2=4。

在AACD和AEBD中，

VAD=ED,NADONEDB,CD=BD,

/.AACD^AEBD,，AC=BE,

從而BE—AC—3o

在△ABE中，HAE2+BE2=42+32=25=AB2,故NE=90°,

BD=，

??VM4-DK*4-2a=Ji3，故BC=2BD=2j回。

例4.如圖5,已知AABC中，AD是NBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：A

ABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E,使DE二AD。

仿例3可證:

ABED^ACAD,

故EB=AC,NE=N2,

圖5

又“N2,

AZ1=ZE,

???AB=EB,從而AB=AC,即△ABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB//DC,AC1BC,AD1BD,求證：AC=BD?

證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為RtAABD,RtAABC斜邊AB

上的中線，故DE=CE=LAB,因此NCDE=NDCE。

2

VAB//DC,

.*.ZCDE=Z1,NDCE=N2,

AZ1=Z2,

在△ADEflABCE中，

VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,

AAADE^ABCE,.\AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC二BD。

（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線

例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延

長線于點(diǎn)E1,求證：BD=2CEO

證明：延長BA,CE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中，

VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,

工ABEF名ABEC,EF=EC,從而CF=2CE。

又Nl+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。

在AABD和AACF中，VZ1=Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90

圖7

AABD咨AACF,BD=CF,/.BD=2CE。

注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。

（六）中線延長

口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。

例一：如圖4-1：AD為AABC的中線，且N1=N2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF?

證明：廷長ED至M,使DM=DE,連接CM,MF.在ABDE和△CDM

,BD=CD（中點(diǎn)定義）

Z1=Z5（對頂角相等）

,ED=MD（輔助線作法）

A^ABDE^ACDM（SAS）

又TN1=N2,Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）

N3+N2=90°

即：ZEDF=90°

ZFDM=ZEDF=90°

在AEDF和△MDF中

ED=MD（輔助線作法）

ZEDF=ZFDM（已證）

DF=DF（公共邊）

.".△EDF^AMDF(SAS)

.,.EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.\BE+CF〉EF

上題也可加倍FD,證法同上。

詢當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件

集中。

例二：如圖5-1：AD為AABC的中線,求證：AB+AO2AD。

分析：要證AB+AO2AD,由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD〉A(chǔ)D+AD=2AD,左邊比要證結(jié)論多

BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去

證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,CE

TAD為AABC的中線（已知）

.\BD=CD（中線定義）

在4ACD和AEBD中

'BD=CD（已證）

Z1=Z2（對頂角相等）

AD=ED（輔助線作法）

.,.△ACD^AEBD（SAS）

.-.BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在AABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

...AB+AO2AD。

練習(xí)：

1如圖，AB=6,AC=8,D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。

2如圖，AB=CD,E為BC的中點(diǎn)，ZBAC=ZBCA,求證：AD=2AE?

A

3如圖，AB=AC,AD=AE,M為BE中點(diǎn)，ZBAC=ZDAE=90°。求證：AM±DC?

A

4,已知AABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證

EF=2AD?

5.已知：如圖AD為4ABC的中線，AE=EF,求證：BF=AC

五全等三角形輔助線

找全等三角形的方法:

(1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可能全等的三角形中;

(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；

(3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法:

①延長中線構(gòu)造全等三角形；

②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；

③引平行線構(gòu)造全等三角形；

④作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”.

2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換

中的“旋轉(zhuǎn)”.

3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對

折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.

4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特

定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面

積的知識解答.

（一）、倍長中線（線段）造全等

1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是.

2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC±,DE±DF,D是中點(diǎn)，試比較的+CF與E][#J大小.C

3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC,

A

中考應(yīng)用

（09崇文二模）以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,

/BA。=NCAE=90°,連接座,"、”分別是比；龍的中點(diǎn).探究：加與施的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖①當(dāng)AABC為直角三角形時，聞/與血的位置關(guān)系是,

線段與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將圖①中的等腰RtAABO繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)夕°（0〈夕〈90）后，如圖②所示，（1）問中得到的兩

個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.

（二）、截長補(bǔ)短

1.如圖，AA3C中，AB=2AC,AD平分N3AC,且AD=BD,求證：CD±AC

B'

2：如圖，AC〃BD,EA,EB分別平分NCAB,NDBA,CD過點(diǎn)E,求證；AB=AC+BD

BC

3：如圖，已知在ABC內(nèi)，NBAC=6°，/C=40°,p,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分別是NBAC

NAB。的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

4：如圖，在四邊形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分求證：ZA+ZC=1800

5:如圖在AABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC>PB-PC

中考應(yīng)用

D

（08海淀一模）

如圖.在四邊形ABCD中，.40〃BC,點(diǎn)E是AB上一個動點(diǎn)，若乙B=60°,=8C,且

乙跳C'=60。,判斷A”+4EqBC的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

解：

（三）、平移變換

LAD為4ABC的角平分線，直線MN_LAD于A.E為MN上一點(diǎn)，Z\ABC周長記為“，AEBC周長記為品.求證弓

>PA.

2：如圖，在AABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AOAD+

AE.

（四）、借助角平分線造全等

1：如圖，已知在AABC中，ZB=60°,AABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,求證：0E=0D

AE、BE的長.

B

中考應(yīng)用

(06北京中考)如圖①，CF是n的W的平分線，請你利用該圖形畫一對以8所在直線為對稱軸的全等三角形。

請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖②，在△/比'中，是直角，N后60°,AD,位分別是N的。、的平分線，AD、龍相交于

點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與9之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖③，在火■中，如果N/⑦不是直角,而(1)中的其它條件不變，請問，你在⑴中所得結(jié)論是否仍

1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求NEAF的度數(shù).

2：D為等腰RfAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM_LDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

（1）當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。

（2）若AB=2,求四邊形DECF的面積。

3.如圖,△ABC是邊長為3的等邊三角形，岫DC

個60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則A4MN的周長為:

中考應(yīng)用

（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB1AD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,

ZMBN=60\/MBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交A。，DC（或它們的延長線）于區(qū)F

當(dāng)ZMBN繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,易證AE+CF=EF

當(dāng)ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEwC歹時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，線段AE，CF,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

M

（圖1）（圖2）（圖3）

⑴如圖，當(dāng)NAPB=45°時，求AB及PD的長;

(2)當(dāng)NAPB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)NAPB的大小.

(09崇文一模)在等邊MBC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為人呂。外一點(diǎn)，且

ZMDN=60,ZBDC=120,BD=DC.探究:'當(dāng)R、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量

關(guān)系及AA"N的周長Q與等邊AA3C的周長L的關(guān)系.

圖1圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM,NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是.此時

Q

L

(II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM。DN時，猜想(D問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加

以證明;

(III)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,

若AN=X,貝IJQ=(用X、L表示).

六梯形的輔助線

口訣：

梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱推揭蒲茖?，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述

方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。

通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方

法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：

作法圖形

(―)、平

4gPA____n

移平移腰，轉(zhuǎn)化為三角

形、平行四邊形。

1、平移BGFHC匕E。

一腰：

B.________C

例1.A

平移對角線。轉(zhuǎn)化為

如圖所示，

三角形、平行四邊形。

在直角梯形二B'、且工c

-------------Q-EA。

ABCD中，Z

A=90°,AE

J

B〃DC,AD延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三

=15,AB=1角形。

6,BC=17.

求CD的長.

作高，轉(zhuǎn)化為直角三

解：過

角形和矩形。;

點(diǎn)D作DE〃EFU

BC交AB于

點(diǎn)E.

又AB〃

中位線與腰中點(diǎn)連

CD,所以四

線。

邊形BCDE

是平行四邊

形.&A,

所以DE=BC=17,CD=BE.

在R〃kDAE中，由勾股定理，得

AE2=DE2-AD2,即AE2=172—15，=64.

所以AE=8.

所以BE=AB-AE=16-8=8.

即CD=8.

例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范圍。

DM

解：過點(diǎn)B作BM〃AD交CD于點(diǎn)M,

在4801中，BM=AD=4,

CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,

所以BC的取值范圍是：

5-4<BC<5+4,即1<BC<9O

2,平移兩腰：

例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF,求

EF的長。

BGFHC

解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H,可得

ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°

則△EGH是直角三角形

因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)

所以EP==]BC—BG—CH)

=g(BC—AE—DE)=|[BC-(AE+DE)]

=1(BC-AD)=1(3-1)=1

3、平移對角線：

例4、已知：梯形ABCD中,AD//BC,AD=LBC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面積.

解：如圖，作DE〃AC,交BC的延長線于E點(diǎn).

?.?AD//BC四邊形ACED是平行四邊形

?,.BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4A______D

???在4DBE中，BD=3,DEM,BE=5/'、、、

BHCE

/.ZBDE=90

一十BDXED12

作DH±BC于H,則DH=----------=——

BE5

s12

,q_(AD+BC)XDH_3X5

??J梯形ABCD_2_2

)=5&,求證：。

例5如圖，在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BlACJ_BD

B.________C

區(qū)AD、

解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E,

易得四邊形BCED是平行四邊形，

則DE=BC,CE=BD=5后，

所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10.

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5J5,

22222

所以在AACE中，AC+CE=(5^)+(5^)：=100=A￡

從而AC_LCE,于是AC_LBD。

例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求梯形ABCD的面積。

A

DHCE

解：過點(diǎn)D作DE〃AC,交BC的延長線于點(diǎn)E,

則四邊形ACED是平行四邊形，

即SAABD=SAACD=^ADCE。

所以S梯形=SbDBE

由勾股定理得EH=JOE2

=川52-122=9刖)

22

BH=^BD-DH=,2()2—122=16(cm)

2

S^BE=-BEDH=-x(9+16)x12=150(cm)

所以22,即梯形ABCD的面積是150cm)

（二）、延長

即延長兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,求CD的長。

解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。

在4BCE中，ZB=50°,ZC=80"。

所以NE=50°,從而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC—ED=5—2=3

例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)

論.

解：四邊形ABCD是等腰梯形.

證明：延長AD、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示.

VAC=BD,AD=BC,AB=BA,

.".△DAB^ACBA.

.".ZDAB=ZCBA.

.?.EA=EB.

又AD=BC,.,.DE=CE,ZEDC=ZECD.

而NE+NEAB+NEBA=NE+NEDC+NECD=180°，

.".ZEDC=ZEAB,/.DC//AB.

又AD不平行于BC,

...四邊形ABCD是等腰梯形.

（三）、作對角線

即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±AD,BC=CD,BE_LCD于點(diǎn)E,求證：AD=DE?