浙江省衢溫51聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題

2023學(xué)年第二學(xué)期衢溫“5+1”聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補(bǔ)集、交集定義求出結(jié)果．【詳解】集合，，∴，則．故選：B．2.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可求解【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以由拋物線可得，則焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2.故選：C3已知，則|z|2＝（）A. B.1 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)模長的性質(zhì)求解．【詳解】解：由題意，．故選：B．4.已知m，n，l是三條互不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與直線的位置關(guān)系分析A；由直線與平面平行的性質(zhì)分析B；由直線與平面垂直的性質(zhì)分析C；由平面與平面垂直的性質(zhì)分析D，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若，，則與可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，由線面垂直的定義，必有，C正確；對(duì)于D，若，，則與平面可能平行，也可能相交或者在內(nèi)，D錯(cuò)誤．故選：C．5.若α為銳角，且，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)α為銳角和的值，得到的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出的值，然后根據(jù)二倍角的正弦公式求出的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)為奇函數(shù)，即可得到cos2α的值．【詳解】∵，∴，又，∴，∴，∴，則．故選：A．6.已知定義在R上函數(shù)滿足對(duì)任意的，且都成立，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得函數(shù)在R上為減函數(shù)，再比較，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意的，且都成立，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，又由，則有，即．故選：D．7.某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量．在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)圓臺(tái)形雨量收集器（大口向上無蓋，不考慮厚度）如圖，兩底面直徑高為．在一次降雨過程中，利用該雨量器收集的雨水高度是，則該雨量器收集的雨水體積（）為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，求出圓臺(tái)型雨水的上底面圓的半徑，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)題意可得設(shè)，則根據(jù)題意可知，∴，∴，設(shè)，則易知，∴，∴，∴該雨量器收集的雨水體積為．故選：B．8.在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)整理得出，由此將化簡(jiǎn)，可得．根據(jù)且，得到點(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出所在圓的方程，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則與圓的性質(zhì)求出的最大值，進(jìn)而得到答案．【詳解】由，得，即，所以．因?yàn)?，，所以點(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得，圓M的方程為，設(shè)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)锳點(diǎn)在圓M：上運(yùn)動(dòng)，所以，可得當(dāng)時(shí)，，達(dá)到最大值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D．【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差等于的極差【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于ACD：根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義逐個(gè)判斷；對(duì)于B：舉反例說明即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，則，所以的平均數(shù)為，所以的平均數(shù)等于的平均數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，可知的中位數(shù)為，將按升序排列，可知的中位數(shù)為2023，兩者不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即，可得的標(biāo)準(zhǔn)差，所以的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，若，則、的極差均為0；若不全部相等，不妨設(shè)是最小的數(shù)據(jù)，是最大的數(shù)據(jù)，則，可知樣本數(shù)據(jù)的極差為，又因?yàn)閿?shù)據(jù)的最小數(shù)據(jù)是，最大數(shù)據(jù)是，所以數(shù)據(jù)的極差也是；綜上所述：的極差等于的極差，故D正確．故選：AD．10.（多選）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在ts時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（單位：）由關(guān)系式確定，其中小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過后，第一次到達(dá)最低點(diǎn)，則（）A.B.C.時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)速度最快D.時(shí)，小球向下運(yùn)動(dòng)【答案】BC【解析】【分析】由小球從最高點(diǎn)出發(fā)，求出的值，通過周期，可求出，通過導(dǎo)數(shù)，可計(jì)算瞬時(shí)速度，利用周期性即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】由小球從最高點(diǎn)出發(fā)，則時(shí)，，解得，又因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)橹芷?，所以，選項(xiàng)B正確；由，，，所以時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)速度最快，選項(xiàng)C正確；當(dāng)，所以時(shí)，小球向上運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知，的定義域?yàn)椋?，，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù) C. D.關(guān)于對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】由為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，從而判斷D；由，可得，即有，從而判斷A；用賦值法判斷C；用賦值法可求得，又由是定義在R上的奇函數(shù)，即可判斷B．【詳解】D選項(xiàng)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，且，；又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，且，故D正確；A選項(xiàng)，又因?yàn)?，用替換x，得，又因，所以，用x替換，得，所以是R上的偶函數(shù)，故A正確；C選項(xiàng)，由，可得，即，，所以，所以函數(shù)的周期為8，在中，令，則有，又因?yàn)?，所以，在中，令，則有，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故C正確；B選項(xiàng)，在中，令，則有，又因?yàn)椋?，又因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，所以不為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤．故選：ACD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分共15分.12.若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是160，則實(shí)數(shù)_____．【答案】2【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式，令，解得，則的系數(shù)為，解得．故答案為：2．13.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子非空，則不同的放法有_______種．【答案】36【解析】【分析】利用捆綁法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識(shí)求解．【詳解】將4個(gè)不同的小球分成3組，有種分組方法，然后全排列放入3個(gè)不同的盒子，所以不同的放法共有種．故答案為：36．14.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M位于第一象限，直線MF與橢圓C交于另外一點(diǎn)A，且，若，，則橢圓C的離心率為____．【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的定義可得，，再根據(jù)，兩邊平方可求橢圓C的離心率．【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為為平行四邊形，設(shè)，因?yàn)?，，則，且，可得，，又因?yàn)?，則，在中，則，可得，即，解得，所以橢圓C的離心率．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求；（2）裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由成等比數(shù)列，可，即，又，即，即有，，解得，則；【小問2詳解】，則數(shù)列的前n項(xiàng)和，可得．16.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形且，點(diǎn)在底面上的射影為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可證得四邊形為平行四邊形，即證得，進(jìn)而可證得平面，平面，再證得平面平面，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）建立空間坐標(biāo)系，可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的方向向量與平面的法向量的坐標(biāo)，可得兩個(gè)向量的夾角的余弦值，即求出線面的正弦值，進(jìn)而可得夾角的大?。拘?詳解】連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，而平面，所以平面【小?詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形且，所以，，所以，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為＝（x，y，z），則，即，令，得到，所以，所以，，，所以，設(shè)直線B1C與平面B1BE所成的角為θ，，所以，得到．即直線與平面B1BE所成的角為．17.已知．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，分類討論根的大小，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【小問1詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以所求的切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）可知：的定義域?yàn)?，，且令，解得或或（舍去），?dāng)，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為．18.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多有3個(gè)正確選項(xiàng)，題目要求：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．”其中“部分選對(duì)的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分；若正確答案有3個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分．（1）若某道多選題的正確答案是BD，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng)，至多三個(gè)選項(xiàng)，寫出該生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得正分的概率；（2）若某道多選題的正確答案是ABD，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng)，至多三個(gè)選項(xiàng)；在某考生此題已得正分的條件下，求該考生得4分的概率；（3）若某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他選項(xiàng)均不能判斷正誤，給出以下方案，請(qǐng)你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：方案一：只選擇A選項(xiàng)；方案二：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；方案三：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)．【答案】（1）答案見解析；（2）（3）選擇方案一更恰當(dāng)【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典概型和條件概率的計(jì)算公式求解即可；（3）設(shè)方案一、二、三的得分分別為，，，分別求出三種方案下，，的可能取值，及其對(duì)應(yīng)的概率，再求出它們的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【小問1詳解】依題意有，設(shè)“某題的答案是，該考生得分”，則，.【小問2詳解】設(shè)“某題的答案是，該考生得正分”，則，，設(shè)“某題的答案是，該考生得4分”，則，，所以該考生此題已得正分的條件下，則該考生得4分的概率為.【小問3詳解】設(shè)方案一、二、三的得分分別為，，，方案一：，，，即的分布列為：23則；方案二：，，，，即的分布列為：046則；方案三：，，，即的分布列為：06則，，以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng).19.已知，且，點(diǎn)P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）直線l：與C相交于M，N兩點(diǎn)，第一象限上點(diǎn)T在軌跡C上．（ⅰ）若是等邊三角形，求實(shí)數(shù)k的值；（ⅱ）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)雙曲線的定義即可求解；（2）（