高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）課件第05章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第五章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用2017·全國卷Ⅰ·T13·5分向量的夾角與向量的模數(shù)學(xué)運(yùn)算2017·全國卷Ⅱ·T12·5分向量的數(shù)量積數(shù)學(xué)運(yùn)算2016·全國卷Ⅰ·T13·5分向量的模、數(shù)量積數(shù)學(xué)運(yùn)算

2014·全國卷Ⅱ·T3·5分向量數(shù)量積的求解數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查形式為選擇題或填空題，對向量的模、夾角及其應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，難度適中，分值為5分.02課堂·考點(diǎn)突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．平面向量的數(shù)量積

(1)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos

θ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos

θ.

規(guī)定0·a＝0.

當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，這時(shí)a·b＝______.

(2)a·b的幾何意義a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘積．0

2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x1x2＋y1y2＝0

提醒：

1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)①0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0·a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b.

(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；(2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．

1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(

)

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(

)

(3)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(

)

(4)兩向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(

)

(5)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(

)

(6)(a·b)·c＝a·(b·c)．(

)

(7)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(

)

√

√

×

×

×

×

×

2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(

)

A．－1

B．0

C．1

D．2

C

解析：方法一∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.

方法二∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C．

3．設(shè)a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

)

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件A

解析：若a·b＝|a|·|b|，則cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0°，∴a∥b，充分．若a∥b，則〈a·b〉＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，不必要．

4．(教材習(xí)題改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________.

－2

解析：由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos

θ＝4×cos120°＝－2.

向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.

運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解．02課堂·考點(diǎn)突破平面向量數(shù)量積的運(yùn)算[明技法][提能力]1．(金榜原創(chuàng))已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那么a·b的值為(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

D

解析：∵向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又a＋b與a共線．∴(k＋2)－3k＝0，解得k＝1，∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故選D．

[刷好題]2

利用平面向量數(shù)量積解決垂直、模及夾角問題是高考的?？純?nèi)容，常以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中低檔，是高考的高頻考點(diǎn)．平面向量基本定理的應(yīng)用[析考情]

命題點(diǎn)1：利用數(shù)量積解決垂直問題

【典例1】

(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(

)

A．－8

B．－6

C．6

D．8

D

解析：方法一因?yàn)閍＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.

方法二因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.

[提能力]命題點(diǎn)2：利用數(shù)量積求?；蛴赡Ｇ髤?shù)問題

【典例2】

(1)(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.

(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________.

－2

A

B

1．(2018·大同檢測)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________.

[刷好題]用向量解決平面幾何問題的方法

(1)建立平面幾何與向量