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文檔簡介
平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第五章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用2017·全國卷Ⅰ·T13·5分向量的夾角與向量的模數(shù)學(xué)運算2017·全國卷Ⅱ·T12·5分向量的數(shù)量積數(shù)學(xué)運算2016·全國卷Ⅰ·T13·5分向量的模、數(shù)量積數(shù)學(xué)運算
2014·全國卷Ⅱ·T3·5分向量數(shù)量積的求解數(shù)學(xué)運算命題分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查形式為選擇題或填空題,對向量的模、夾角及其應(yīng)用是考查的重點,難度適中,分值為5分.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1.平面向量的數(shù)量積
(1)a,b是兩個非零向量,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|·cos
θ叫作a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|·cos
θ.
規(guī)定0·a=0.
當(dāng)a⊥b時,θ=90°,這時a·b=______.
(2)a·b的幾何意義a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘積.0
2.向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)x1x2+y1y2=0
提醒:
1.辨明三個易誤點(1)①0與實數(shù)0的區(qū)別:0·a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;②0的方向是任意的,并非沒有方向,0與任何向量平行,我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系.(2)a·b=0不能推出a=0或b=0,因為a·b=0時,有可能a⊥b.
(3)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c,即消去律不成立.2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)兩個向量a與b的夾角為銳角,則有a·b>0,反之不成立(因為夾角為0時不成立);(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角,則有a·b<0,反之不成立(因為夾角為π時不成立).
1.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.(
)
(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(
)
(3)由a·b=0,可得a=0或b=0.(
)
(4)兩向量a⊥b的充要條件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.(
)
(5)若a·b>0,則a和b的夾角為銳角;若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角.(
)
(6)(a·b)·c=a·(b·c).(
)
(7)a·b=a·c(a≠0),則b=c.(
)
√
√
×
×
×
×
×
2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
C
解析:方法一∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,從而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
方法二∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),從而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故選C.
3.設(shè)a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(
)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件A
解析:若a·b=|a|·|b|,則cos〈a,b〉=1,∴〈a,b〉=0°,∴a∥b,充分.若a∥b,則〈a·b〉=0°或180°,∴a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,不必要.
4.(教材習(xí)題改編)已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=120°,則向量b在向量a方向上的投影為________.
-2
解析:由數(shù)量積的定義知,b在a方向上的投影為|b|cos
θ=4×cos120°=-2.
向量數(shù)量積的兩種運算方法
(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.
運用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題,解題時應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解.02課堂·考點突破平面向量數(shù)量積的運算[明技法][提能力]1.(金榜原創(chuàng))已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b與a共線,那么a·b的值為(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
D
解析:∵向量a=(1,k),b=(2,2),∴a+b=(3,k+2),又a+b與a共線.∴(k+2)-3k=0,解得k=1,∴a·b=(1,1)·(2,2)=1×2+1×2=4,故選D.
[刷好題]2
利用平面向量數(shù)量積解決垂直、模及夾角問題是高考的??純?nèi)容,常以選擇題或填空題形式出現(xiàn),難度中低檔,是高考的高頻考點.平面向量基本定理的應(yīng)用[析考情]
命題點1:利用數(shù)量積解決垂直問題
【典例1】
(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=(
)
A.-8
B.-6
C.6
D.8
D
解析:方法一因為a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因為(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
方法二因為(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即a·b+b2=3-2m+32+(-2)2=16-2m=0,解得m=8.
[提能力]命題點2:利用數(shù)量積求?;蛴赡G髤?shù)問題
【典例2】
(1)(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=________.
(2)(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=________.
-2
A
B
1.(2018·大同檢測)已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為________.
[刷好題]用向量解決平面幾何問題的方法
(1)建立平面幾何與向量
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