8.5 分布列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用（精練）（教師版）

8.5分布列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用（精練）1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開(kāi)展青少年禁毒知識(shí)競(jìng)賽，團(tuán)員小明每天自覺(jué)登錄“禁毒知識(shí)競(jìng)賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無(wú)效局，無(wú)論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問(wèn)在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【解析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨(dú)立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設(shè)小明每天贏得的局?jǐn)?shù)為，則易知，于是.假設(shè)贏得局的概率最大，則據(jù)條件得，即，整理得，解之得，又因?yàn)椋?，因此在每天?0局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.2．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某種疾病可分為，兩種類(lèi)型，為了解該疾病的類(lèi)型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患型疾病的人數(shù)占男性患者的，女性患型疾病的人數(shù)占女性患者的.型病型病合計(jì)男女合計(jì)(1)填寫(xiě)列聯(lián)表，若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為‘所患疾病的類(lèi)型’與‘性別’有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？(2)某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)期間至多安排2個(gè)周期接種疫苗，每人每個(gè)周期接種3次，每次接種費(fèi)用為元.該團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)周期.若，試驗(yàn)人數(shù)為1000人，試估計(jì)該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用.，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，被調(diào)查的男性患者至少有12；(2)元【解析】（1）設(shè)男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：型病型病合計(jì)男女合計(jì)假設(shè)：患者所患疾病類(lèi)型與性別之間無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，要使在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“所患疾病類(lèi)型”與“性別”有關(guān)，則，解得，因?yàn)?，，所以的最小整?shù)值為12，因此，男性患者至少有12人.（2）設(shè)該試驗(yàn)每人的接種費(fèi)用為元，則的可能取值為，.則，，所以，因?yàn)?，試?yàn)人數(shù)為1000人，所以該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用為，所以元.3．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）隨著人們收入水平的提高，特色化?差異化農(nóng)產(chǎn)品的消費(fèi)需求快速增長(zhǎng)，精品農(nóng)產(chǎn)品獲得廣大消費(fèi)者的認(rèn)可.某精品水果種植大戶(hù)在水果采摘后，一般先分揀出單個(gè)重量不達(dá)標(biāo)的水果，再按重量進(jìn)行分類(lèi)裝箱.現(xiàn)從同批采摘?分揀后堆積的水果堆中隨機(jī)抽取了30個(gè)水果進(jìn)行稱(chēng)重（為方便稱(chēng)重，按5克為一級(jí)進(jìn)行分級(jí)），統(tǒng)計(jì)對(duì)應(yīng)的水果重量，得柱狀圖如下.

(1)估計(jì)該批采摘的水果的單個(gè)水果的平均重量（精確到整數(shù)位）；(2)在樣本內(nèi)，從重量不低于80克的水果中，隨機(jī)選取2個(gè)，記其中選取到水果重量不低于90克的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率.從采摘的水果堆中隨機(jī)選取n個(gè)水果，若要求其中至少有一個(gè)水果的重量不低于80克的概率不低于，求n的最小值.【答案】(1)75克(2)分布列見(jiàn)解析，(3)5【解析】（1）根據(jù)柱狀圖可知該批采摘的水果的單個(gè)水果的平均重量為（克）；（2）樣本中重量不低于80克的水果有個(gè)，其中重量不低于90克的有3個(gè)，所以X的可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為012所以；（3）由題意得，得，即，因?yàn)椋?，且為減函數(shù)，所以當(dāng)?shù)慕饧癁?，所以n的最小值為5.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.設(shè)事件表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因?yàn)椋?，所以所以的分布列?所以.（2）依題得，，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.5（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物、直播帶貨、網(wǎng)上買(mǎi)菜等新業(yè)態(tài)迅速進(jìn)入了我們的生活，改變了我們的生活方式現(xiàn)將一周網(wǎng)上買(mǎi)菜次數(shù)超過(guò)3次的市民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”.某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買(mǎi)菜情況，隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜合計(jì)年齡不超過(guò)45歲的市民401050年齡超過(guò)45歲的市民203050合計(jì)6040100(1)是否有的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)？(2)社區(qū)的市民張無(wú)忌周一、二均在網(wǎng)上買(mǎi)菜，且周一從，兩個(gè)買(mǎi)菜平臺(tái)隨機(jī)選擇其中一個(gè)下單買(mǎi)菜.如果周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇入平臺(tái)買(mǎi)菜的概率；如果周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇入平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為，求張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機(jī)抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民人數(shù)為事件“”的概率為，求使取得最大值的的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有(2)(3)【解析】（1）假設(shè)：社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡無(wú)關(guān).由題意可得，，則假設(shè)不成立，所以有的把握認(rèn)為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān).（2）記事件：張無(wú)忌周一選擇平臺(tái)買(mǎi)菜；事件：張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜，則，，，由全概率公式可得，因此，張無(wú)忌周二選擇平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為.（3）由題意可知，抽取的20名市民，喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的市民人數(shù)服從二項(xiàng)分布，且喜歡上網(wǎng)買(mǎi)菜的頻率為，則，且，，設(shè)，，若，即，即，解得，若，即，即，解得或，所以當(dāng)時(shí)，最大，故的值為.6．（2023·遼寧本溪·本溪高中?？寄M預(yù)測(cè)）某疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無(wú)抗體，說(shuō)明這k份血液樣本全無(wú)抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若，求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗(yàn)總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過(guò)4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件，事件分為兩種情況，一種是前三次檢驗(yàn)中，其中兩次檢驗(yàn)出抗體，第四次檢驗(yàn)出抗體，二是前四次均無(wú)抗體，所以，所以恰好經(jīng)過(guò)4次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為，（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，所以，，所以，若，則，所以，，所以，得，所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式（且）②由①知，，若，則，所以，得，所以（且）令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以不等式的解是且，所以且時(shí)，，采用方案二混合檢驗(yàn)方式好，且時(shí)，，采用方案一逐份檢驗(yàn)方式好，7．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，3(3)選擇小宇，理由見(jiàn)解析【解析】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則．（2）X的可能取值為2，3，4，，，X的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望．（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．8．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）“五一黃金周”期間，某商場(chǎng)為吸引顧客，增加顧客流量，推出購(gòu)物促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)，具體優(yōu)惠方案有兩種：方案一：消費(fèi)金額不滿(mǎn)300元，不予優(yōu)惠；消費(fèi)金額滿(mǎn)300元減60元；方案二：消費(fèi)金額滿(mǎn)300元，可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則為：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球共6個(gè)球的盒子中任取3個(gè)球（這些小球除顏色不同其余均相同），抽獎(jiǎng)?wù)吒鶕?jù)抽到的紅球個(gè)數(shù)不同將享受不同的優(yōu)惠折扣，具體優(yōu)惠如下：抽到的紅球個(gè)數(shù)0123優(yōu)惠折扣無(wú)折扣九折八折七折(1)現(xiàn)有甲乙兩位顧客各獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求這兩位顧客恰好有一人獲得八折優(yōu)惠折扣的概率；(2)若李女士在該商場(chǎng)消費(fèi)金額為x元（），請(qǐng)以李女士實(shí)付金額的期望為決策依據(jù)，對(duì)李女士選擇何種優(yōu)惠方案提出建議.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)事件A：抽獎(jiǎng)的顧客獲得八折優(yōu)惠，則；由于甲乙兩位顧客獲得八折優(yōu)惠的概率均為，設(shè)甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率P，則；所以甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率為.（2）方案一：設(shè)實(shí)付金額，則,（）.方案二：設(shè)實(shí)付金額，則的可能取值有：x，0.9x，0.8x，0.7x；（）.；；；；

所以.①若，解得，選擇方案一；②若，解得，選擇方案一或方案二均可；③若，解得，選擇方案二.，所以當(dāng)消費(fèi)金額大于且小于時(shí)，選擇方案一；當(dāng)消費(fèi)金額等于時(shí)，選擇方案一或方案二均可；當(dāng)消費(fèi)金額大于時(shí)，選擇方案二.9．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）某學(xué)校常年開(kāi)設(shè)某課程，今年該校在某年級(jí)開(kāi)設(shè)的該課程共有若干個(gè)班，由若干位不同的老師授課，其中某位老師班上的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：每位同學(xué)該課程的分?jǐn)?shù)（滿(mǎn)分分）由兩部分組成，一部分為“平時(shí)分”，學(xué)期內(nèi)共有次考勤，每次出勤計(jì)分，另一部分為“期末分”，是由期末考試的卷面成績(jī)（滿(mǎn)分分）按照卷面成績(jī)比期末分的比例折算而來(lái)．如，一名同學(xué)出勤次，期末考試的卷面成績(jī)?yōu)榉?，則該同學(xué)該課程的最終評(píng)分為：（分）．(1)一同學(xué)期末考試的卷面成績(jī)?yōu)榉郑僭O(shè)該同學(xué)每次考勤時(shí)出勤的概率均為且互相獨(dú)立，求該同學(xué)的最終評(píng)分及格（即大于等于分）的概率（結(jié)果保留三位小數(shù)）；(2)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，教務(wù)處公布今年該課程的該年級(jí)平均分約為，標(biāo)準(zhǔn)差約為，且學(xué)生成績(jī)近似滿(mǎn)足正態(tài)分布．據(jù)此，該老師估計(jì)該年級(jí)幾乎沒(méi)有需要重修（即分?jǐn)?shù)未達(dá)到分）的學(xué)生，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解釋老師的這一觀點(diǎn)；(3)泊松分布可以用來(lái)描述某些小概率事件的發(fā)生．若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．根據(jù)往年的數(shù)據(jù)，我們認(rèn)為該課程每年每個(gè)班級(jí)需要重修的學(xué)生數(shù)量近似服從泊松分布，假設(shè)，證明每年每個(gè)班級(jí)出現(xiàn)多于一名需要重修該課程的學(xué)生的概率低于百分之一．參考數(shù)據(jù)：，，，若，則，，．【答案】(1)(2)理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：設(shè)同學(xué)的最終評(píng)分及格時(shí)，出勤次數(shù)為，則，解得，因?yàn)榍?，則或，所以，.（2）解：設(shè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)?，則，即，，所以，，所以，從該年級(jí)任選一名同學(xué)，該同學(xué)該課程不需重修的概率為，這是一個(gè)小概率事件，幾乎不會(huì)發(fā)生，因此，該老師估計(jì)該年級(jí)幾乎沒(méi)有需要重修（即分?jǐn)?shù)未達(dá)到分）的學(xué)生.（3）解：構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?，每年每個(gè)班級(jí)出現(xiàn)多于一名需要重修該課程的學(xué)生的概率為，因此，每年每個(gè)班級(jí)出現(xiàn)多于一名需要重修該課程的學(xué)生的概率低于百分之一．10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）杭州2022年亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉辦．為迎接這一體育盛會(huì)，浙江某大學(xué)組織大學(xué)生舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運(yùn)，當(dāng)好東道主”的亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)m（滿(mǎn)分100分，已知每名參賽大學(xué)生至少得60分），制成了如下所示的頻數(shù)分布表：成績(jī)/分[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)60705020(1)規(guī)定成績(jī)不低于85分為“優(yōu)秀”，成績(jī)低于85分為“非優(yōu)秀”，這200名參賽大學(xué)生的成績(jī)的情況統(tǒng)計(jì)如下表：分類(lèi)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生3070100女生2080100判斷是否有95%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于學(xué)習(xí)亞運(yùn)知識(shí)的時(shí)間（單位：時(shí)）與成績(jī)（單位：分）之間的關(guān)系近似為線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，對(duì)部分參賽大學(xué)生用于學(xué)習(xí)亞運(yùn)知識(shí)時(shí)間x與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，如下表：x/時(shí)89111215y/分6763808085求變量y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；(3)A市某企業(yè)贊助了這次知識(shí)競(jìng)賽，給予每位參賽大學(xué)生一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：按競(jìng)賽成績(jī)m進(jìn)行分類(lèi)獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)100元；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)300元．方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中競(jìng)賽成績(jī)低于樣本中位數(shù)的只有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，競(jìng)賽成績(jī)不低于樣本中位數(shù)的則有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，其中每次抽獎(jiǎng)抽中100元現(xiàn)金紅包的概率均為，抽中200元現(xiàn)金紅包的概率均為，且兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立．若每名參賽大學(xué)生只能選擇一種獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，每名參賽大學(xué)生選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案更有利．附：（其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828線(xiàn)性回歸方程中，，；第（2）問(wèn)中，，，，．【答案】(1)沒(méi)有95%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)(2)(3)每名參賽大學(xué)生選擇方案二更有利【解析】（1）解：根據(jù)這200名參賽大學(xué)生的成績(jī)的情況統(tǒng)計(jì)表，經(jīng)計(jì)算得，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)．（2）解：根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)，可得，所以，所以所求線(xiàn)性回歸方程為．（3）解：由題意得，對(duì)于方案一，設(shè)每名參賽大學(xué)生可獲得的獎(jiǎng)金為X元，則X的所有可能取值為100，200，300，其對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，故（元）．對(duì)于方案二，設(shè)每名參賽大學(xué)生可獲得的獎(jiǎng)金為Y元，則Y的所有可能取值為100，200，300，400，可得；；；，所以Y的分布列為Y100200300400P所以（元），因?yàn)椋詮臄?shù)學(xué)期望的角度分析，每名參賽大學(xué)生選擇方案二更有利.11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.【答案】(1)0.02275；證明見(jiàn)解析.(2)（ⅰ）分布列見(jiàn)解析（ⅱ）能，.【解析】（1），又，所以.因?yàn)椋鶕?jù)正態(tài)曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，，又因?yàn)?，所?（2），.令，得.當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).所以的最大值點(diǎn)，從而.（?。┑目赡苋≈禐?，2，1，0.，，，，所以的分布列為3210（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過(guò)后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.12．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)擁有甲?乙兩條零件生產(chǎn)線(xiàn)，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線(xiàn)共抽取180個(gè)零件，測(cè)量其尺寸（單位：）得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品.生產(chǎn)線(xiàn)甲49232824102乙214151716151(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線(xiàn)有關(guān)聯(lián)？一等品非一等品合計(jì)甲乙合計(jì)(2)將樣本頻率視為概率，從甲?乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)中分別隨機(jī)抽取1個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以表示這2個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個(gè).產(chǎn)品出廠(chǎng)前，該企業(yè)可自愿選擇是否對(duì)每箱零件進(jìn)行檢驗(yàn).若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為5元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對(duì)賣(mài)出的每個(gè)三等品零件支付120元賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)檢驗(yàn)了20個(gè)，檢出了1個(gè)三等品.將從兩條生產(chǎn)線(xiàn)抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.附，其中；.【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為零件是否為一等品與生產(chǎn)線(xiàn)有關(guān)聯(lián)．(2)答案見(jiàn)解析(3)需要對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，理由見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得列聯(lián)表如下：一等品非一等品合計(jì)甲7525100乙483280合計(jì)12357180，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為零件是否為一等品與生產(chǎn)線(xiàn)有關(guān)聯(lián)．（2）由已知任取一個(gè)甲生產(chǎn)線(xiàn)零件為一等品的概率為，任取一個(gè)乙生產(chǎn)線(xiàn)零件為一等品的概率為，的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：012．（3）由已知零件為三等品的頻率為，設(shè)余下的40個(gè)零件中三等品個(gè)數(shù)為，則，，設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和為，若不對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則,所以若對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢測(cè)，則檢驗(yàn)費(fèi)用為元，，應(yīng)對(duì)剩下零件進(jìn)行檢驗(yàn)．13．（2023·上海松江·校考模擬預(yù)測(cè)）某超市每天以4元/千克購(gòu)進(jìn)某種有機(jī)蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6點(diǎn)以前所購(gòu)進(jìn)的有機(jī)蔬菜沒(méi)有全部銷(xiāo)售完，則對(duì)未售出的有機(jī)蔬菜降價(jià)處理，以2元/千克出售，并且降價(jià)后能夠把剩余所有的有機(jī)蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進(jìn)貨.該超市整理了過(guò)去兩個(gè)月（按60天計(jì)算）每天下午6點(diǎn)前這種有機(jī)蔬菜的日銷(xiāo)售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).（注：視頻率為概率，）.每天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量/千克250300350400450天數(shù)10105(1)求1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的概率；(2)在接下來(lái)的2天中，設(shè)為下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若該超市以當(dāng)天的利潤(rùn)期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購(gòu)進(jìn)350千克的期望值比購(gòu)進(jìn)400千克的期望值大時(shí)，求的最小值.【答案】(1)(2)分布答案見(jiàn)解析，(3)【解析】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不小于350千克的概率為.（2）解：依題意，1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的概率，隨機(jī)變量的可能值為，可得，所以隨機(jī)變量的分布為：012所以的數(shù)學(xué)期望.（3）解：購(gòu)進(jìn)350千克時(shí)利潤(rùn)的期望值：，購(gòu)進(jìn)400千克時(shí)利潤(rùn)的期望值：，由，解得，因?yàn)榍?，因此，所以的最小值?14．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）21世紀(jì)汽車(chē)博覽會(huì)在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車(chē)模型公司共有25個(gè)汽車(chē)模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀米色內(nèi)飾812棕色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色內(nèi)飾，求，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨(dú)立；(2)為回饋客戶(hù)，該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并規(guī)定，在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性抽取兩個(gè)汽車(chē)模型。為了得到獎(jiǎng)品類(lèi)型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：假設(shè)1：每人抽取的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色；③兩個(gè)模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。假設(shè)2：該抽獎(jiǎng)設(shè)置三類(lèi)獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金金額分別為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元，三等獎(jiǎng)150元。假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對(duì)應(yīng)一類(lèi)獎(jiǎng)。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎(jiǎng)金金額越高。請(qǐng)判斷以上三種結(jié)果分別對(duì)應(yīng)幾等獎(jiǎng)。設(shè)中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)是，寫(xiě)出的分布，并求的數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮?1)，事件相互獨(dú)立；(2)分布列見(jiàn)解析，271元.【解析】（1）由給定的數(shù)表知，，，，而，因此事件相互獨(dú)立，所以，事件相互獨(dú)立.（2）設(shè)事件：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件：外觀內(nèi)飾都異色，事件：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，依題意，；；，則，因此抽取的兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為不同色是一等獎(jiǎng)；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎(jiǎng)；外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金額的可能值為：，獎(jiǎng)金額的分布列：600300150獎(jiǎng)金額的期望（元）.15．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某工廠(chǎng)車(chē)間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，且一臺(tái)機(jī)器的故障由一個(gè)維修工處理．已知此廠(chǎng)共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器，丙負(fù)責(zé)其他工作.(1)對(duì)于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器某一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；(2)在兩種方案下，分別計(jì)算某一時(shí)刻機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來(lái)判斷，哪種方案能使工廠(chǎng)的生產(chǎn)效率更高？【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)，，方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠(chǎng)的生產(chǎn)效率更高．【解析】（1）解：由題意，車(chē)間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，可得方案一中，隨機(jī)變量，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：X012P所以期望為．（2）解：對(duì)于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的2臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，則其概率為．對(duì)于方案二：設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，則，可得，即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠(chǎng)的生產(chǎn)效率更高．16．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個(gè)時(shí)間周期內(nèi)分裂一次，一個(gè)細(xì)胞每次分裂能生成一個(gè)或兩個(gè)新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失，設(shè)每次分裂成一個(gè)新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個(gè)新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個(gè)周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個(gè)細(xì)胞間相互獨(dú)立.設(shè)有一個(gè)初始的細(xì)胞，在第一個(gè)周期中開(kāi)始分裂，其中.(1)設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞數(shù)量為的概率為.（i）求；（ii）證明：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】（1）個(gè)結(jié)束后，的取值可能為,其中,，，，所以分布列為.（2）（i）表示分裂結(jié)束后共有個(gè)細(xì)胞的概率，則必在某一個(gè)周期結(jié)束后分裂成個(gè)細(xì)胞.不妨設(shè)在第時(shí)分裂為個(gè)細(xì)胞，之后一直有個(gè)細(xì)胞，此事件概率，所以.（ii）代表分裂后有個(gè)細(xì)胞的概率，設(shè)細(xì)胞在后分裂為個(gè)新的細(xì)胞，這兩個(gè)細(xì)胞在剩下的中，其中一個(gè)分裂為個(gè)細(xì)胞，一個(gè)保持一直分裂為個(gè)細(xì)胞，此事件的概率，得，，其中，.令,，記，,令，得.當(dāng),,遞增；當(dāng)，,遞減.故，也就是.17．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對(duì)新冠肺炎預(yù)防知識(shí)的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方式，從題庫(kù)中隨機(jī)出10道題，編號(hào)為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)得0分.團(tuán)體賽以班級(jí)為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：方案一：將班級(jí)選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線(xiàn)；若這個(gè)小組都順利出線(xiàn)，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.方案二：將班級(jí)選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線(xiàn)；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線(xiàn)，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.(1)郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對(duì)題庫(kù)中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；(2)在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對(duì)試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)選擇方案一，理由見(jiàn)解析【解析】1）設(shè)郭靖同學(xué)答對(duì)的題目數(shù)為X，得分為Y，則，由題意可知,則;.（2）設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的概率分別為，當(dāng)選擇方案一時(shí)，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，故；當(dāng)選擇方案二時(shí)，一個(gè)小組順利出線(xiàn)的概率為，則小組沒(méi)有出線(xiàn)的概率為，故；故，令，則，因?yàn)椋?，故，則，即，故為單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?，由于各班參賽人?shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，即，此時(shí)故A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇方案一參賽.18．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；(2)當(dāng)時(shí)，（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫(xiě)出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無(wú)需寫(xiě)出過(guò)程．【答案】(1)(2)（i）分布列見(jiàn)解析，期望最大值為；（ii）.【解析】（1）用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則，，，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5種，所以．（2）（i）因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則，，．所以X的分布列為X245P所以X的期望，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故的最大值為．（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則．由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同．所以所以，即，因?yàn)?，所以?9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售的新梁道.某服裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)分配合理的服裝量，隨機(jī)抽查了100個(gè)帶貨平臺(tái)的銷(xiāo)售情況，銷(xiāo)售每件服裝平均所需時(shí)間情況如下頻率分布直方圖.(1)求的值，并估計(jì)出這100個(gè)帶貨平臺(tái)銷(xiāo)售每件服裝所用時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)假設(shè)該服裝品牌所有帶貨平臺(tái)銷(xiāo)售每件服裝平均所需時(shí)間服從正態(tài)分布，其中近似為，.若該服裝品牌所有帶貨平臺(tái)約有10000個(gè)，銷(xiāo)售每件服裝平均所需時(shí)間在范圍內(nèi)的平臺(tái)屬于“合格平臺(tái)”.為了提升平臺(tái)銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，該服裝品牌總公司對(duì)平臺(tái)進(jìn)行獎(jiǎng)罰制度，在時(shí)間大于44.4分鐘的平臺(tái)中，每個(gè)平臺(tái)每賣(mài)一件扣除；在時(shí)間小于14.4分鐘的平臺(tái)中，每賣(mài)一件服裝進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)元，以資鼓勵(lì)；對(duì)于“合格平臺(tái)”每賣(mài)一件服裝獎(jiǎng)勵(lì)1元.求該服裝品牌總公司在所有平臺(tái)均銷(xiāo)售一件服裝時(shí)總共需要準(zhǔn)備多少資金作為本次平臺(tái)銷(xiāo)售業(yè)務(wù)提升.（結(jié)果保留整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則，，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，，中位數(shù)為(2)【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.故平均數(shù).設(shè)中位數(shù)為，因，，故，則，解得，即中位數(shù)為.（2）由題意，，且，，故，所以在時(shí)間大于分鐘的平臺(tái)內(nèi)約有件；，所以在時(shí)間小于分鐘的平臺(tái)內(nèi)約有件；則“合格平臺(tái)”約有件，所以需要資金為，由于，可令，則，令有，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；故有最小值，故至少需要準(zhǔn)備元.20．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）三年多的“新冠之戰(zhàn)”在全國(guó)人民的共同努力下剛剛?cè)〉猛陝?，這給我們的個(gè)人衛(wèi)生和公共衛(wèi)生都提出更高的要求！某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類(lèi)”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組，對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類(lèi)”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道，該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選，篩選方法如下：每位員工測(cè)試A，B，C三項(xiàng)工作，3項(xiàng)測(cè)試中至少2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工，將被認(rèn)定為“暫定”，有且只有一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再測(cè)試A，B兩項(xiàng)，如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上（含1項(xiàng)）測(cè)試“不合格”，將也被認(rèn)定為“暫定”，每位員工測(cè)試A，B，C三項(xiàng)工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為．(1)記每位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為，求；(2)每位員工不需要重新測(cè)試的費(fèi)用為90元，需要重新測(cè)試的前后兩輪測(cè)試的總費(fèi)用為150元，所有員工除測(cè)試費(fèi)用外，其他費(fèi)用總計(jì)為1萬(wàn)元，若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬(wàn)元，且600名員工全部參與測(cè)試，試估計(jì)上述方案是否會(huì)超出預(yù)算，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由見(jiàn)詳解【解析】（1）由題意知，每位員工首輪測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，每位員工再次測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，綜上可知，每位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為．（2）設(shè)每位員工測(cè)試的費(fèi)用為X元，則X的可能取值為90，150，由題意知，，，所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為（元），，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即（元）.所以此方案的最高費(fèi)用為（萬(wàn)元），綜上可知，若以此方案實(shí)施估計(jì)不會(huì)超過(guò)預(yù)算．21．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考三模）在上海舉辦的第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)中，硬幣大小的無(wú)導(dǎo)線(xiàn)心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注．這種起搏器體積只有傳統(tǒng)起搏器的，其無(wú)線(xiàn)充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線(xiàn)引發(fā)的相關(guān)并發(fā)癥．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動(dòng)無(wú)線(xiàn)充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)與人工抽檢．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線(xiàn)上自動(dòng)完成，包含安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，人工抽檢僅對(duì)智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)，四項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品．已知試產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率約為，，，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)率為（）．(1)求每個(gè)芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；(2)人工抽檢30個(gè)芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為，求的極大值點(diǎn)；(3)若芯片的合格率不超過(guò)，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．【答案】(1)(2)(3)該企業(yè)需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良，理由見(jiàn)解析【解析】（1）每個(gè)芯片智能檢測(cè)中安全檢測(cè)、電池檢測(cè)、性能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別記為，，，并記芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)為事件.視指標(biāo)的達(dá)標(biāo)率為任取一件新產(chǎn)品，該項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率，則有，，，由對(duì)立事件的性質(zhì)及事件獨(dú)立性的定義得：，所以每個(gè)芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率為.（2）人工抽檢30個(gè)芯片恰有1個(gè)不合格品的概率為（），因此令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn).（3）設(shè)芯片人工抽檢達(dá)標(biāo)為事件，工人在流水線(xiàn)進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件，由（2）得：，由（1）得：，所以，因此，該企業(yè)需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良.22．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)兩名象棋手約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部獎(jiǎng)金a元.已知每局甲贏的概率為p(0<p<1)，乙贏的概率為1－p，且每局比賽相互獨(dú)立.在甲贏了m(m<k)局，乙贏了n(n<k)局時(shí)，比賽意外終止.獎(jiǎng)金該怎么分才合理？請(qǐng)回答下面的問(wèn)題.(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無(wú)人先贏k局而比賽意外終止的情況，那么甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比進(jìn)行分配.若a=243，k=4，m=2，n=1，，則甲應(yīng)分得多少獎(jiǎng)金？(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去且乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)k=4，m=2，n=1時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去且甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率f(p).規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱(chēng)該隨機(jī)事件為小概率事件，請(qǐng)判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.【答案】(1)216元(2)不一定，理由見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏.由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部獎(jiǎng)金.當(dāng)X=2時(shí)，甲以4：1贏，得；當(dāng)X=3時(shí)，甲以4：2贏，得；當(dāng)X=4時(shí)，甲以4：3贏，得.于是，甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率為，進(jìn)而得甲應(yīng)分得的獎(jiǎng)金為（元）.（2）設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行Y局且乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏.當(dāng)Y=3時(shí)，乙以4：2贏，得；當(dāng)Y=4時(shí)，乙以4：3贏，得.所以，乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率.于是，甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率.對(duì)f(p)求導(dǎo)，得.因?yàn)椋?，得f(p)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是.由此可知，，即乙贏的最大概率大于0.05，所以事件A不一定是小概率事件.23．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過(guò)冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來(lái)的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來(lái)的連續(xù)攻擊稱(chēng)為一輪攻擊，造成的總傷害稱(chēng)為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.【答案】(1)；(2).【解析】1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii.第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii.第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；所以..所以.（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.記事件D：進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：ii.記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：iii.記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：，則事件彼此互斥，記，所以.所以24．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品分為兩類(lèi)不同劑型和．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品才算合格．(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類(lèi)試劑和合格的種類(lèi)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若地區(qū)排查期間，一戶(hù)4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶(hù)”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶(hù)”的概率為，若當(dāng)時(shí)，最大，求的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)．【解析】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶(hù)”的概率為，檢測(cè)4人確定“感染高危戶(hù)”的概率為，則．令，因?yàn)?，所以，原函?shù)可化為．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)，所以．25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求，并求當(dāng)取最大值時(shí)p的值；(2)當(dāng)時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【答案】(1)，(2)【解析】（1）X可能取值為2，3．；．故，即，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．（2）當(dāng)時(shí)，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；比分為2∶1或1∶2的概率均為．，則或．即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設(shè)A部勝，概率為，同理B部勝，概率為，故；即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，不妨設(shè)最終A部獲勝，當(dāng)前兩天的比分為2∶0和2∶1時(shí)，先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場(chǎng)比賽前兩場(chǎng)，A部一勝一負(fù)，第三場(chǎng)比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，當(dāng)前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時(shí)，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，概率為，故最終A部獲勝的概率為，同理B部勝，概率為，故．所以．26．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）核電站某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的工作需要工作人員去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)15分鐘，若某人15分鐘內(nèi)不能完成該工作，則撤出，再派下一人，現(xiàn)有小胡、小邱、小鄧三人可派，且他們各自完成工作的概率分別為，，.假設(shè)，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互獨(dú)立.(1)任務(wù)能被完成的概率是否與三個(gè)人被派出的先后順序有關(guān)？試說(shuō)明理由；(2)若按某指定順序派出，這三人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是的一個(gè)排列.①求所需派出人員數(shù)目X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②假定，為使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，應(yīng)以怎么樣的順序派出？【答案】(1)無(wú)關(guān)；理由見(jiàn)解析(2)①分布列見(jiàn)解析；期望為；②完成任務(wù)概率大的人先派出【解析】（1）無(wú)關(guān)，理由如下：由于任務(wù)不能被完成的概率為為定值，故任務(wù)能被完成的概率為也為定值．所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出的順序無(wú)關(guān)．（2）①X的取值為1，2，3，，，，分布列如圖：X123P．②，若交換前兩個(gè)人的派出順序，則變?yōu)椋纱丝梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)，交換前兩個(gè)人的派出順序可增大均值；若保持第一人派出的人選不變，交換后兩個(gè)人的派出順序，可寫(xiě)為，交換后兩個(gè)人的派出順序則變?yōu)椋划?dāng)時(shí)，交換后兩個(gè)人的派出順序可增大均值，故完成任務(wù)概率大的人先派出，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最?。?7．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）汽車(chē)尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車(chē)制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷(xiāo)量萬(wàn)輛1012172026(1)統(tǒng)計(jì)表明銷(xiāo)量與年份代碼有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量最早在哪一年能突破50萬(wàn)輛；(2)為了解購(gòu)車(chē)車(chē)主的性別與購(gòu)車(chē)種類(lèi)（分為新能源汽車(chē)與傳統(tǒng)燃油汽車(chē)）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購(gòu)車(chē)車(chē)主的購(gòu)車(chē)情況作為樣本其中男性車(chē)主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)的有名，購(gòu)置新能源汽車(chē)的有45名，女性車(chē)主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車(chē)．①若，將樣本中購(gòu)置新能源汽車(chē)的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線(xiàn)性回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車(chē)的女性車(chē)主的人數(shù)（假設(shè)每位車(chē)主只購(gòu)買(mǎi)一輛汽車(chē)，結(jié)果精確到千人）；②設(shè)男性車(chē)主中購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車(chē)主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．附：為回歸方程，，．【答案】(1)，2028年(2)①萬(wàn)人；②【解析】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量最早在2028年能突破50萬(wàn)輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購(gòu)車(chē)者中女性有名，故其中購(gòu)置新能源汽車(chē)的女性車(chē)主的有名．所購(gòu)置新能源汽車(chē)的車(chē)主中，女性車(chē)主所占的比例為．所以該地區(qū)購(gòu)置新能源汽車(chē)的車(chē)主中女性車(chē)主的概率為．預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量為33萬(wàn)輛，因此預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年購(gòu)置新能源汽車(chē)的女性車(chē)主的人數(shù)為萬(wàn)人②由題意知，，則當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單