9.1 直線方程與圓的方程（精講）（教師版）

9.1直線方程與圓的方程（精講）直線的斜率與傾斜角1.直線的方向向量設(shè)A，B是直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α＜180°．3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．二．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用三．直線的位置關(guān)系1．兩條直線的平行與垂直(1)兩條直線平行若l1∥l2，則l1與l2的傾斜角α1與α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，則k1＝k2．(2)兩條直線垂直設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則直線l1，l2的方向向量分別是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是說，l1⊥l2?k1k2＝－1．2．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．四．三種距離點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)點(diǎn)線距點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))線線距兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))五．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)有關(guān)圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．2．直線與圓的位置關(guān)系直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜03.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)(2)代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內(nèi)切或外切；,Δ＜0?內(nèi)含或外離Ｗ.))一．斜率的求法1.定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率；2.公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．二．傾斜角及斜率取值范圍的兩種求法1.數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定；2.函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可．三．求圓的方程的兩種方法1.直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出圓的方程．2.待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．四．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法1.幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷．2.代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來判斷．①如果Δ<0，那么直線與圓相離；②如果Δ＝0，那么直線與圓相切；③如果Δ>0，那么直線與圓相交．五．圓的切線方程1.過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.2.過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.3.過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.4．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率【例1-1】（2022秋·吉林·高三?？计谀┮阎c(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】由已知直線恒過定點(diǎn),如圖所示,若與線段相交,則,

因?yàn)?所以.故選:D.【例1-2】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)切線的傾斜角為，則，∵，∴切線的斜率，則.故選：B【例1-3】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，直線的斜率為，解得.故選：A.【一隅三反】1．（2023·黑龍江哈爾濱）設(shè)點(diǎn)?，若直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如圖所示：

依題意，，要想直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則或，故選：A2．（2023秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，直線過點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，令數(shù)列的公差為，所以，，則，所以，則直線的斜率為.故選：A考點(diǎn)二直線方程【例2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得，所求直線的方程為，即．故選：A【例2-2】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解法一

當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線方程為.故選：解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時(shí)不符合題意.設(shè)直線方程為，則時(shí)，，時(shí)，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條直線和的交點(diǎn)為，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)所求直線的方程為，即，因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，所以直線的方程為，即.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)，則線段的中垂線的方程為.【答案】.【解析】因?yàn)椋跃€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段所在直線的斜率為，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，即，故答案為：3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2,－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為；【答案】x－y－3＝0【解析】由已知得直線x－y＝0的斜率為，則其傾斜角為30°，故所求直線傾斜角為60°，斜率為，故所求直線的方程為y-(－)＝，即x－y－3＝0．故答案為：x－y－3＝04．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，故所求直線方程為.故答案為：考點(diǎn)三兩條直線的位置關(guān)系【例3-1】（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃┲本€：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A【例3-2】（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則“直線與直線垂直”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件，【答案】B【解析】直線與直線垂直，即，解得或.所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件.故選：B【一隅三反】1．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因?yàn)?，所以，解?故選：A.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與垂直，則.【答案】0或1【解析】因?yàn)橹本€與垂直，所以，化簡(jiǎn)整理得，解得或，故答案為：0或13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線和直線，若，則【答案】－1【解析】時(shí)，兩直線顯然不平行，因此，所以由得，解得，故答案為：．考點(diǎn)四三種距離【例4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，之間的距離是.【答案】/【解析】由，得，所以直線，之間的距離為，故答案為：【例4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個(gè)滿足條件的直線l的方程：.【答案】或或（填其中一個(gè)即可）【解析】設(shè)，，連接MN，則.以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.

當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，顯然公切線的方程為.當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為，則有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切線方程為或.綜上，直線l的方程為或或.故答案為：或或【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離取得最大值，此時(shí)，解得.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為.【答案】【解析】由，得，得，所以：，即，又：，所以與間的距離.故答案為：3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校c(diǎn)到直線的距離的最大值是．【答案】【解析】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，記，直線為直線，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：.故答案為：.

考點(diǎn)五圓的方程【例5-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，則下列關(guān)于的外接圓圓M的說法正確的是（

）A．圓M的圓心坐標(biāo)為B．圓M的半徑為C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱D．點(diǎn)在圓M內(nèi)【答案】ABD【解析】設(shè)的外接圓圓M的方程為（），則，解得，所以的外接圓圓M的方程為，即.故圓M的圓心坐標(biāo)為，圓M的半徑為，故AB正確；因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓M內(nèi)，故D正確.故選：ABD【例5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．【一隅三反】1．（2023秋·云南臨滄·）已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡(jiǎn)得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C2．（2023春·重慶沙坪壩·）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.3．（2023·寧夏銀川）已知直線經(jīng)過圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過圓的圓心，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D考點(diǎn)六直線與圓的位置關(guān)系【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn) B．直線被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，C．直線被圓截得的弦最短時(shí)， D．直線被圓截得的弦最短弦長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的方程可化為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，直線的斜率為，，由，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：此時(shí)直線的方程是，圓心到直線的距離為，可得，所以最短弦長(zhǎng)是，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【一隅三反】1．（2023秋·云南昆明·高三云南師大附中?？奸_學(xué)考試）（多選）設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（

）A．可能將的周長(zhǎng)平分B．若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為C．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【解析】對(duì)于，若直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值2，C正確；對(duì)于，易知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由，解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，D錯(cuò)誤.故選：BC.2．（2023秋·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知直線與圓，則（

）A．直線l過定點(diǎn)B．圓C的半徑是4C．直線l與圓C一定相交D．圓C的圓心到直線l的距離的最大值是【答案】ACD【解析】由題意可得直線，由，解得，則直線l過定點(diǎn)，故A正確；圓，即，則圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，所以直線l與圓C一定相交，故C正確；因?yàn)?，所以圓C的圓心到直線l的距離的最大值是，故D正確.故選：ACD.3．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知直線及圓，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線截圓所得弦長(zhǎng)最小值為2C．存在，使得直線與圓相切D．存在，使得圓關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，由，得，解得，所以直線過定點(diǎn)為，故A正確；B選項(xiàng)，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑，直線過的定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線截圓所得弦長(zhǎng)最短，因?yàn)椋瑒t最短弦長(zhǎng)為，故B正確；C選項(xiàng)，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得，故D正確.故選：ABD.考點(diǎn)七圓與圓的位置關(guān)系【例7-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州）圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【解析】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設(shè)兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內(nèi)切.故選：B【例7-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．【一隅三反】1．（2023春·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“”是“圓：與圓：有公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.2．（2023安徽）（多選）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【解析】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對(duì)于C，圓心，圓心，則兩個(gè)圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.3．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）（多選）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．兩圓外離 B．的最大值為9C．的最小值為1 D．兩個(gè)圓的一條公切線方程為【答案】ABC【解析】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑，所以圓心距，因?yàn)?，所以兩圓外離．故A正確；因?yàn)樵趫A上，在圓上，所以，故B、C正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以不是兩圓公切線，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．考點(diǎn)八圓的切線、弦長(zhǎng)問題【例8-1】（2023秋·湖南）已知圓，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則四邊形的面積為（

）．A．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【解析】依題意，圓，圓心為，半徑為3，則，，

故，由對(duì)稱性可知，與全等，故四邊形的面積．故選：B【例8-2】（2023春·山東菏澤·高三?？奸_學(xué)考試）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，所以，可得.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線的方程為B．線段AB中垂線方程為C．公共弦AB的長(zhǎng)為D．P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳A，，兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，圓的圓心為，則線段AB中垂線的斜率為，即線段AB中垂線方程為，整理可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到的距離為，又圓的半徑，所以P到直線AB距離的最大值為，故D正確．故選：ABD．2．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)校考三模）（多選）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長(zhǎng)為D．若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則【答案】BD【解析】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD3．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）“”是“圓：與圓：存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)兩圓無公切線時(shí)，兩圓內(nèi)含，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距為，即，解得，所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)或，所以能推出圓和有公切線，而圓和有公切線不能推出，所以“”是“圓：與圓：存在公切線”的充分而不必要條件，故選：A.考點(diǎn)九與圓的有關(guān)最值問題【例9-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．7【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，由和可得直線的方程為，變形得，由，得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B【例9-2】（2023秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？奸_學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，整理得，即，因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，為原點(diǎn)，所以.故答案為：【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值為．【答案】10【解析】由題意知，，所以，由于點(diǎn)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程，故，所以.由圓的方程，易知，所以當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為.故答案為：102．（2023春·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為【答案】2【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）過直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)到直線距離的最大值為.【答案】/【解析】設(shè)，則，所以.由幾何性質(zhì)知,所以，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，也成立.即圓方程為，即，把圓和圓方程相減得.故直線的方程為.所以是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上的點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離的最大值為.（當(dāng)時(shí)取等）故答案為：

考點(diǎn)十對(duì)稱問題【例10-1】（2023秋·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國(guó)古代入民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系