9.2 橢圓（精練）（教師版）

9.2橢圓（精練）1．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】由題意，，即，可得，則.故選：C2．（2022秋·四川綿陽·高三鹽亭中學?？茧A段練習）橢圓?的左、右焦點分別為?，焦距為?，若直線?與橢圓?的一個交點為?在?軸上方，滿足?，則該橢圓的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】A【解析】由直線可知：過定點，斜率，即，則，解得，又因為，可得，結(jié)合橢圓的定義可得，整理得.故選：A.

3．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，，則，，兩式作差并化簡整理得，因為線段AB的中點為，所以，，所以，由，得，又因為，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的右焦點為，上頂點為，若存在直線與橢圓交于不同兩點，重心為，直線的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓的半焦距為，由已知，，設，因為重心為，所以，所以，又，所以，所以，所以直線的斜率，當且僅當時等號成立，又，所以直線的斜率取值范圍是，故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，的中點為，因為都在橢圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因為，所以，又因為為△BMN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.6．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知橢圓，直線與橢圓交于兩點，分別為橢圓的左?右兩個焦點，直線與橢圓交于另一個點，則直線與的斜率乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線過原點，可設，則，；，，，.故選：B.7．（2023·全國·高二專題練習）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為橢圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，于是橢圓的上頂點，右頂點，經(jīng)過兩點的橢圓切線方程分別為，，則兩條切線的交點坐標為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點在橢圓的蒙日圓上，圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，所以橢圓的蒙日圓方程為.故選：B8．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰）在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，當點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點的坐標為.故選：B.9．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）（多選）已知點為橢圓C：的左焦點，點P為C上的任意一點，點的坐標為，則下列正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為7C．的最小值為D．的最大值為1【答案】ABD【解析】依題意，，所以，的最小值，即是的長，當點在位置時取到，所以的最小值為，故A正確；設橢圓的右焦點為，所以，則當點在位置時取到最大值，所以的最大值為，故B正確；的最小值當在位置時取到，即的最小值為，故C錯誤；由，則當點在位置時取到最大值，所以的最大值為，故D正確.故選:ABD

10．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知橢圓的焦點在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【解析】A選項，橢圓的焦點在軸上，故，解得，A正確；B選項，設，則，故的離心率為，B錯誤；C選項，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因為，所以，當時，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項，因為，故當點位于上頂點或下頂點時，面積取得最大值，故最大面積為，因為，所以當時，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD11．（2023秋·貴州銅仁·高三貴州省思南中學校考階段練習）（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓 B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】對于A，當時，，則曲線是圓，A錯誤；對于B，當或時，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD12．（2023秋·課時練習）（多選）以坐標軸為對稱軸，兩焦點的距離是，且過點的橢圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】橢圓的焦點在軸上，則，得，此時橢圓方程是；若焦點在軸上，則，則，此時橢圓方程是．故選：AB13．（2023秋·重慶）（多選）已知圓與圓的一個交點為M，動點M的軌跡是曲線C，則下列說法正確的是（

）A．曲線C的方程式B．曲線C的方程式C．過點且垂直于x軸的直線與曲線C相交所得弦長為D．曲線C上的點到直線的最短距離為【答案】BCD【解析】對A,B，由題意知,,所以,所以點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，且,,即,所以,所以曲線的方程為,故A錯誤，B正確；對C，過點,且垂直于軸的直線為,它與曲線相交于兩點,所以弦長為,故C正確；對D，設與直線平行的直線，，由，得，令，解得，此時直線與橢圓相切，易得，此時切點到直線的距離距離最短，直線的方程為，此時兩平行線的距離為，故曲線上的點到直線的最短距離為，故D正確.故選：BCD.14．（2022秋·福建漳州）（多選）以下四個命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點到直線的最大距離為B．已知圓C：，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點，直線AB經(jīng)過定點C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個點到直線l：的距離都等于1【答案】ABC【解析】對于A:設直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因為直線與橢圓相切，所以，得當時，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對于B:設點，因為AB為切點，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關系可知，AB兩點在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對于C:曲線：，曲線:，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個點到直線l：的距離都等于1故D錯誤.故選:ABC15．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎cF是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且的最小值為3，則橢圓C的離心率是．【答案】【解析】由，則在橢圓內(nèi)，若是橢圓左焦點，

所以，僅當共線且在之間時取等號，故，即，而且，則，故，此時，故.故答案為：16．（2023秋·四川達州·高三?？奸_學考試）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點，

故，當且僅當共線時等號成立，故，當且僅當共線時等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：17．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知橢圓的上、下焦點分別為、，焦距為，與坐標軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【解析】因為點為線段的中點，，則，所以，為等腰直角三角形，

設，則，由橢圓的定義可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.18．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模），是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【解析】因為，所以，則是的角平分線，所以，又因為，所以，設，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學校?？奸_學考試）已知橢圓的離心率為，則橢圓的短軸長為．【答案】2【解析】題意可得，所以離心率，故，故短軸長為，故答案為：220．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知，是橢圓（）的左右焦點，是其右頂點，過點作直線軸交橢圓于，兩點，若，則橢圓的離心率是．【答案】【解析】因為軸，不妨設，，又，，由得：，即，故．故答案為：.21．（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學考試）直線與圓和橢圓同時相切，請寫出一條符合條件的的方程【答案】或或（只需寫一條）【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，橢圓中，，它們的圖象如下圖：

由圖可知，或與圓和橢圓同時相切，即符合條件的的方程可以為或假設公切線斜率存在且不為零時方程為，由圖可知所以①由得由得②由①②解得故答案為：或或（只需寫一條）22（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為．【答案】【解析】

設雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設，，則，，兩式相減可得，所以．設，因為是線段的中點，所以，，又，所以．故答案為：.23．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為．【答案】【解析】由橢圓，可得，故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設為，代入橢圓方程整理，得，則，解得，當時，與之間的距離為；當時，與間的距離為，故橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為，故答案為：24．（2022·高二課時練習）曲線上點到直線距離的最小值為．【答案】/【解析】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當，此時與的距離，當，此時與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：25．（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽師范大學附屬中學?？计谥校┮阎獧E圓C：（）與x軸分別交于、點，N在橢圓上，直線，的斜率之積是．(1)求橢圓C的方程；(2)求點N到直線l：的最大距離．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，設，則，，因為直線，的斜率之積是，所以．整理得橢圓方程為；（2）由（1）中結(jié)論可得，橢圓方程為，設直線，則當點N既在橢圓C上又在直線上時，此時點Ｎ到直線l有最大距離，設直線：，聯(lián)立方程，得，則，解得或，因為要求點到直線l的最大距離，所以直線為，故最大距離為．

1．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，，過點所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達定理：，，因為，即，所以，所以，即，所以，聯(lián)立，可得，.故選：C2．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預測）A，B是橢圓上兩點，線段AB的中點在直線上，則直線AB與y軸的交點的縱坐標的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，直線AB的斜率必然存在，設直線AB的方程為，則直線AB與y軸的交點的縱坐標為m，設點，，將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立并化簡得，，化簡得，即.由韋達定理可得，所以，將等式兩邊平方得，所以.當且僅當時，等號成立，由于，解得或.因此，直線AB與y軸的交點的縱坐標的取值范圍是.故選：A3．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，①當切線斜率存在時,設過點的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點的切線方程為：.再證明若點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦的方程為．這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；因為橢圓，離心率為，若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為；若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A4．（2023·全國·高二專題練習）若直線l：與曲線C：有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當時，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動直線，可得直線l，如圖可知，當直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點在第一象限）之間時，直線l與曲線C有兩個公共點．設的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．5．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃ǘ噙x）已知是圓上不同的兩點，橢圓的右頂點和上頂點分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項正確的有（

）A．直線與橢圓相交B．直線與圓相交C．若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則D．若兩直線的斜率之積為，則【答案】BCD【解析】對于A中，當時，點的坐標可以為，可得直線為，即，由，整理得，此時，所以直線與橢圓無交點，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，設原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式，可得，所以直線與圓相交，所以B正確；對于C中，橢圓的焦距為，可得，即，不妨設，則直線，由原點到直線的距離等于1，可得，解得，同理可得，因為，即，解得，又由，解得，所以離心率，所以C正確；對于D中，不妨設，則,，所以，解得，所以，因為，可得，所以，所以D正確.故選：BCD.

6．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）（多選）在平面直角坐標系中，由直線上任一點向橢圓作切線，切點分別為、，點在軸的上方，則（

）A．當點的坐標為時，B．當點的坐標為時，直線的斜率為C．存在點，使得為鈍角D．存在點，使得【答案】AD【解析】設點、，先證明出橢圓在其上一點處的切線方程為，由題意可得，聯(lián)立可得，即，即方程組只有唯一解，因此，橢圓在其上一點處的切線方程為，同理可知，橢圓在其上一點處的切線方程為，因為點為直線上一點，設點，則有，即，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，對于A選項，當點的坐標為，即，此時直線的方程為，由可得，即點，此時，A對；對于B選項，當?shù)淖鴺藶闀r，即時，此時，直線的斜率為，B錯；對于C選項，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，，同理，所以，，因此，恒為銳角，C錯；對于D選項，若點為橢圓的上頂點，則軸，此時，所以，點不是橢圓的上頂點，線段的中點為，所以，，，存在點，使得，則，則，化簡可得，因為，，所以，，即，因為，解得，因此，存在點，使得，D對.故選：AD.7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）（多選）在平面直角坐標系中，由直線上任一點P向橢圓作切線，切點分別為A，B，點A在x軸的上方，則（

）A．恒為銳角 B．當垂直于x軸時，直線的斜率為C．的最小值為4 D．存在點P，使得【答案】ABD【解析】對于A項，設切線方程為聯(lián)立得：，∵直線與橢圓相切，故則，∴切線PA的方程為，同理切線PB的方程為而P點在上，故，又滿足該方程組，故，顯然過定點即橢圓左焦點.以為直徑的圓半徑最大無限接近，但該圓與一直相離，即始終為銳角，A正確；對于B項，由A得，軸時，，易得，，故B正確；對于C項，由B知軸時，此時，故C錯誤；對于D項，取中點，若則，即為等腰三角形，，化簡得，由A知：，整理得：，顯然存在P滿足題意，故D正確；故選：ABD8．（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學考試）已知橢圓的兩焦點分別為，A是橢圓上一點，當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，

由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線，設，

聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設直線為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.9．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，點在上，且點到右焦點距離的最大值為3，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點.(1)求的方程；(2)記為坐標原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，，解得，故的方程為.（2）設，直線，聯(lián)立，整理得：.由得，且，，點到直線的距離，，

令，故，故，當且僅當，即時等號成立，故面積的最大值為.10．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為．(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB．【答案】(1)或．(2)證明見解析【解析】（1）由已知得，直線l的方程為x＝1．l的方程與C的方程聯(lián)立可得或．∴直線AM的方程為