專題07 函數(shù)中的雙變量問題（原卷版）

專題7函數(shù)中的雙變量問題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)數(shù)處理含有兩個(gè)變量的等式與不等式問題,這類問題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)一元函數(shù)問題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.二、解題秘籍(一)與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問題此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.常見結(jié)論：(1)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上是增函數(shù)；(2)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上是增函數(shù)；(3)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上是增函數(shù)；(4)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上是增函數(shù).【例1】（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期第一次調(diào)研）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)存在且，使成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題意得，令得，時(shí)，，在上單調(diào)遞增；時(shí)，，在上單調(diào)遞減；綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意存在且，不妨設(shè)，由（1）知時(shí)，單調(diào)遞減．等價(jià)于，即，即存在且，使成立．令，則在上存在減區(qū)間．即在上有解集，即在上有解，即，；令，，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，∴，∴．(二)與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式.【例2】（2024屆福建省福州第一中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢查）已知函數(shù)．(1)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以，滿足題意；若，即時(shí)，令，可得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，而，所以，不滿足在上.綜上所述，；（2）當(dāng)時(shí)，由得，單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；若，即時(shí)，令，可得，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為極大值，為極小值，且，，，要證，即證，即，即證：，即證：則，因?yàn)?，故在上為減函數(shù)，故，故成立，故.【例3】（2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?，令解得或，且?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）由已知，可得，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，只需，故，又，，所以，要證，即證，只需證，令，，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則，又由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，所以所以，即得證.(三)與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).【例4】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋?，得．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)①若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．記，則，記，則在上單減，且，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．∴．又∵且當(dāng)時(shí)，，∴方程為有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．②要證，只需證，只需證，因?yàn)?，兩式相減得：．整理得．所以只需證，即證，即，不妨設(shè)，令，只需證，只需證，設(shè)，只需證當(dāng)時(shí)，即可．∵，∴在（單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，∴原不等式得證．明.(四)獨(dú)立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)此類問題一般是給出兩個(gè)獨(dú)立變量,通過變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.【例5】（2024屆陜西省寶雞實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三一模）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；(2)若存在使得，試求的取值范圍.【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，，，故是上的增函數(shù)，同理是上的減函數(shù)，，且時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件．同理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件，綜上．（2）問題當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，由，可知；②當(dāng)時(shí)，由，可知；③當(dāng)時(shí)，，在上遞減，上遞增，時(shí)，，而，設(shè)（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即，構(gòu)造，易知，在遞增，，即的取值范圍是．(五)構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問題當(dāng)兩個(gè)以上的變?cè)蚴莾蓚€(gè)量的確定關(guān)系在解題過程中反復(fù)出現(xiàn).通過變量的四則運(yùn)算后,把整體處理為一個(gè)變量,從而達(dá)到消元的目的.【例6】已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【解析】(1)解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：(2)解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.(3)解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.(六)獨(dú)立雙變量,把其中一個(gè)變量看作常數(shù)若問題中兩個(gè)變量沒有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時(shí)可以把其中一個(gè)當(dāng)常數(shù),另外一個(gè)當(dāng)自變量【例7】已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，且，證明：>【解析】(1)，在處切線斜率，，所以切線，又，設(shè)與相切時(shí)的切點(diǎn)為，則斜率，則切線的方程又可表示為，由，解之得．(2)由題可得對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，令，則，由得，+0↗極大值↘則當(dāng)時(shí)，，由，得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．(3)由題知，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，①同理，②?②得，因?yàn)椋傻?，即，所以，即，所以?七)雙變量,通過放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問題此類問題一般是把其中一個(gè)變量的式子放縮成常數(shù),從而把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題【例8】（2023屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期7月新起點(diǎn)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）.（2）①∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴方程，即有兩個(gè)解.令，則的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).而當(dāng)時(shí)，，遞減，；當(dāng)時(shí)，，遞增，∴又∵時(shí)，；時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，且∴的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是故a的取值范圍為（－，0）②不妨設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，由①可知，或時(shí)，，時(shí)，，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，∴∴（是極大值），∴要證，只需證設(shè)，其中，則，令，則，令，，∴在（－1，+∞）上單調(diào)遞增.∵.∴∴t（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，即∴h（x）在（－1，+∞）上單調(diào)遞增，∴，又，∴故．三、典例展示【例1】（2024屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三上學(xué)期九月調(diào)研）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值．【解析】（1）時(shí)，，，令，可得或，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），令，可得.由題意可得，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，所以.由，有，所以.將代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化為，設(shè)，即，則，記，則.記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以.所以，在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，取到最大值，即的最大值為2.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.所以的最小值為.【例2】（2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，有.【解析】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，則，，所以在處切線的斜率，所以切線方程為.（ii）由（i）可知，所以，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意可知，，對(duì)任意的，令，，則①，令，，當(dāng)時(shí)，，由此可得在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，，所以②，由?）（ii）可知當(dāng)時(shí)，，即，故③，由①②③可得，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，.【例3】（2023屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市高三上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)，(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果且關(guān)于的方程有兩個(gè)解，證明：.【解析】（1）的定義域?yàn)?，∴，令，解得，或，?dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上是增函數(shù)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，（2）證明：當(dāng)且關(guān)于的方程有兩個(gè)解等價(jià)于當(dāng)存在，由（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，設(shè)，，∴∴在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)時(shí)，，由于，∴，即，∵，∴，又，，在上為增函數(shù)，∴，即.【例4】已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】(1).當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.【例5】已知（1）求的取值范圍；（2）若,證明：；（3）求所有整數(shù),使得恒成立.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【解析】（1）當(dāng)時(shí),有與矛盾；當(dāng)時(shí),有與而,與矛盾；當(dāng)時(shí),有則,由得,所以；綜上所述：；（2）設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則在上遞增,由于得,即,由（1）知,又,故要證即證即證且①要證,需證,即證需證,設(shè),需證由,又,所以所以在單調(diào)減,則,所以成立,則成立；②要證,由于,則需證,即證需證,設(shè),需證由,又,,故有,,所以在單調(diào)減,在單調(diào)增又,所以,則,得所以成立；（3）因?yàn)?所以由設(shè),由,得在上單調(diào)減,在上單調(diào)增又因?yàn)閯t所以由恒成立,所以的值可以是四、跟蹤檢測1．（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若恒成立，求的取值范圍．2．（2024屆貴州省思南中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足，求證：．3．（2024屆重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期九月聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為4.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)令，對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若任意、且，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5.（2024屆江西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.6.（2024屆安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)，，若曲線與相切.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)均在圖象上.①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②證明：.7.