專題3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（原卷版）

專題3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,研究函數(shù)的極值是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的一個重要應(yīng)用,也是高考考查的重點,本專題從求函數(shù)的極值、確定函數(shù)極值點的個數(shù)、由函數(shù)極值點個數(shù)確定參數(shù)范圍、含參數(shù)的函數(shù)極值的討論、由極值點滿足條件求解不等式問題等幾個方面幫助高三學(xué)生把握極值問題求解問題.二、解題秘籍(一)求函數(shù)的極值1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小,f′(a)＝0,而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則點a叫做函數(shù)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大,f′(b)＝0,而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則點b叫做函數(shù)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)的極大值.2.求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號.如果左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值；如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取極小值.3.對極值理解：(1)極值點不是點,注意極值與極值點的區(qū)別；(2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．(3)根據(jù)函數(shù)的極值可知函數(shù)的極大值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都大,在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極大值對應(yīng)的點是局部的“高峰”；函數(shù)的極小值f(x0)比在點x0附近的點的函數(shù)值都小,在函數(shù)的圖象上表現(xiàn)為極小值對應(yīng)的點是局部的“低谷”．一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多極小值和極大值,在某一點處的極小值也可能大于另一個點處的極大值,極大值與極小值沒有必然的聯(lián)系,即極小值不一定比極大值小,極大值不一定比極小值大；(4)使f′(x)＝0的點稱為函數(shù)f(x)的駐點,可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點．駐點可能是極值點,也可能不是極值點．例如f(x)＝x3的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2在點x＝0處有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的駐點,但從f(x)在(－∞,＋∞)上為增函數(shù)可知,x＝0不是f(x)的極值點．因此若f′(x0)＝0,則x0不一定是極值點,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取到極值的必要不充分條件,函數(shù)y＝f′(x)的變號零點,才是函數(shù)的極值點；(5)函數(shù)f(x)在［a,b］上有極值,極值也不一定不唯一．它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)且有有限個極值點時,函數(shù)f(x)在［a,b］內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的．【例1】(2024屆四川省敘永第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試)已知函數(shù),其中,.(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值；(2)若方程恰有兩個不相等的實數(shù)根,求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時,,.,當(dāng)時,；當(dāng)時,.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.的極小值為,無極大值.（2）,,由方程,得,令,則.令,則.當(dāng)時,；當(dāng)時,.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,方程有唯一解.方程有兩個不等的實數(shù)解等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解.等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解.構(gòu)造函數(shù),則.,當(dāng)時,；當(dāng)時,.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,；,.只需要,即.構(gòu)造函數(shù),則.當(dāng)時,；當(dāng)時,.函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,當(dāng)時,恒成立.的取值范圍為.(二)函數(shù)極值點的個數(shù)問題可導(dǎo)函數(shù)的極值點的個數(shù),通常轉(zhuǎn)化為方程實根個數(shù),再根據(jù)的單調(diào)性或圖象求解,求解時要注意是的必要不充分條件.可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點,即,且在左側(cè)與右側(cè),的符號異號．另外,不可導(dǎo)函數(shù)也會有極值,如函數(shù),在極小值點是不可導(dǎo)的.【例2】（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時,函數(shù)有三個不同的極值點.【解析】（1）當(dāng)時,,,所以在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減.所以的增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）依題意,,對于函數(shù),,所以有兩個零點,設(shè)為,則,不妨設(shè),所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增,所以有三個不同的極值點.(三)由函數(shù)極值點個數(shù)確定參數(shù)范圍此類問題一般是先把問題轉(zhuǎn)化為實根個數(shù)問題,可借助圖象分析,若可化為二次方程問題,可利用二次方程根的分布求解.【例3】（2024屆福建省龍巖市上杭縣高三第一次月考）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)有兩個極值點、,且.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.【解析】（1）解：因為,該函數(shù)的定義域為,且.①當(dāng)時,對任意的,,則函數(shù)的增區(qū)間為；②當(dāng)時,由可得,由可得或,此時,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為、.綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為、.（2）解：（i）有兩個極值點、,則,令,可得,由題意可知,直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點（非切點）,令,則,令,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時,；當(dāng)時,.所以,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為.所以,函數(shù)在取得最小值,即,如下圖所示：由圖可知,當(dāng)時,即當(dāng)時,直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點（非切點）,且當(dāng)或時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點.因此,實數(shù)的取值范圍是；證明：（ii）因為,由（i）可知,且函數(shù)的增區(qū)間為、,減區(qū)間為,令,其中,則,令,則,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),故當(dāng)時,,因為,則,又當(dāng)時,,因為、,則,所以,.(四)含參數(shù)的函數(shù)極值的討論求含參數(shù)函數(shù)的極值,通常轉(zhuǎn)化為不等式或的解集問題,求解時要注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論.【例4】（2023屆河南省鄭州市等3地高三下學(xué)期6月沖刺卷）函數(shù),．(1)討論的極值的個數(shù)；(2)若在上恒成立,求a的取值范圍．【解析】（1）定義域為,,令,當(dāng)a＝0時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有一個極大值；當(dāng)時,①,為圖象開口朝下的二次函數(shù),,∴的兩根為,顯然,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有一個極大值；②,可知,∴在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．所以有2個極值,一個極大值,一個極小值；③時,可得,∴在上單調(diào)遞增,所以無極值．綜上所述,當(dāng)時,有一個極大值；當(dāng)時,有一個極大值,一個極小值；當(dāng)時,無極值．（2）設(shè),,,∴,∴,兩邊同時取倒數(shù),∴,∴,又∵,∴即可,由,可得,設(shè),,∴設(shè),,∴,∴,∴單調(diào)遞減,∴,∴,∴a的取值范圍為．(五)由極值點滿足條件求解不等式問題此類問題一般是給出極值點個數(shù)或給出與極值點有關(guān)的等式不等式,證明與極值點有關(guān)的不等式或根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍,前者通常構(gòu)造函數(shù)與方程求解,后者通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值或通過分類參數(shù)求解.【例5】（2023屆上海市曹楊第二中學(xué)高三模擬）已知函數(shù)．(1)若是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù),求a的取值范圍；(2)若,,求實數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)、是函數(shù)的兩個極值點,證明：．【解析】（1）依題意,.

若是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù),則對于恒成立,即對于恒成立,而,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以,即a的取值范圍為；（2）由（1）知.

①當(dāng)時,在上,所以在上單調(diào)遞減,所以,所以不符合題設(shè).

②當(dāng)時,令,得,解得,,所以當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞減,所以,所以不符合題設(shè).③當(dāng)時,判別式,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以.綜上,實數(shù)a的取值范圍是.（3）由（2）知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以是的極大值點,是的極小值點.由（2）知,,,則.綜上,要證,只需證,因為,設(shè),.

所以,所以在上單調(diào)遞增,所以.所以,即得成立．所以原不等式成立.【例6】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試）已知函數(shù),.(1)若經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點,求實數(shù)a的值；(2)設(shè),若有兩個極值點為,,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的定義域為,由,得,則,因為經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點,所以,所以,解得,（2）,則,因為有兩個極值點為,,所以在上有兩個不同的根,此時方程在上有兩個不同的根,則,且,解得,若不等式恒成立,則恒成立,因為不妨設(shè),則,因為,所以,所以在上遞減,所以,所以,即實數(shù)的取值范圍為.三、典例展示【例1】（2023屆海南省文昌中學(xué)高三模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍；(2)若,且在上有兩個極值點,求證：.【解析】（1）由函數(shù),可得,因為存在兩個極值點,即方程有兩個不等實根,即方程有兩個不等實根,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.（2）由,可得,因為在上有兩個極值點,即是方程的兩個根,令,則滿足,解得,因為,且由,將代入上式,可得,根據(jù)題意,只需證,令,其中,可得,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,即,即當(dāng)時,,所以.【例2】（2023屆甘肅省張掖市高三下學(xué)期第四次模擬）已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時,,求k的取值范圍．【解析】（1）,記,則．①當(dāng)時,,在R上單調(diào)遞減,故無極值．②當(dāng)時,令,得,當(dāng)時,,單調(diào)遞增；當(dāng)時,,單調(diào)遞減．所以在處取得極大值,且極大值為．綜上所述,當(dāng)時,無極值；當(dāng)時,的極大值為,無極小值．（2）可化為,當(dāng)時,,此時可得；當(dāng)時,不等式可化為,設(shè),則,

設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,所以函數(shù)在和上都為增函數(shù),取,則,設(shè),則當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,,所以的最小值為,即,所以當(dāng)和時,沒有最小值,但當(dāng)x趨近－1時,無限趨近,且,又恒成立,所以,所以．綜上,k的取值范圍為．【例3】（2023屆安徽省亳州市第一中學(xué)高三最后一卷）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)當(dāng),方程有兩個不同的實根時,且恒成立,求正數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題可得設(shè),,①當(dāng)時,遞增,且,所以有一個變號零點,②當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,且,[1]當(dāng)時,即時,所以無變號零點；[2]當(dāng),即時,,由取,則,所以有兩個變號零點；綜上：當(dāng)時,有1個極小值點,無極大值點；當(dāng)時,有1個極小值點和1個極大值點；當(dāng)時,無極值點.（2）時,即即有兩個不同的根,,,,即,即,.下證對恒成立,設(shè),①當(dāng)時,,；②當(dāng)時,,使得時,,所以在上,,在上,,不存在使不等式成立；綜上：.【例4】（2024屆湖南省部分重點學(xué)校高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知函數(shù),．(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程；(2)若存在極值點,且,求的值,并分析是極大值點還是極小值點．【解析】（1）當(dāng)時,,,,又,在處的切線方程為：,即.（2）,,即①；,,,,又,,即,,,代入①式得：,令,,則,當(dāng)時,；當(dāng)時,；在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,有唯一解,此時；當(dāng)時,,,令,則,令,解得：,當(dāng)時,；當(dāng)時,；在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,,當(dāng)時,,即；當(dāng)時,,即；在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是的極小值點.四、跟蹤檢測1.（2024屆廣東省深圳市南頭中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時,有解,求的取值范圍．2．（2024屆山西省呂梁市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若的兩個極值點分別為,,證明：．3．（2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時,求函數(shù)的極值.4．（2024屆遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時,求證；(2)令,若的兩個極值點分別為,求證：．5．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三上學(xué)期學(xué)情檢測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時,判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時,記的零點為的極小值點為,判斷與的大小關(guān)系,并說明理由.6．（2024屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期8月測試）已知,.(1)證明：當(dāng),有且只有2個零點；(2)討論是否存在使有極小值？并說明理由.（注：討論過程要完整,有明確的結(jié)論）7．（2024屆河南省洛陽市等三地部分名校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考）已知函數(shù)(1)若,求曲線在點處的切線方程；(2)若是的極大值點,求的取值范圍.8．（2023屆西藏昌都市第一高級中學(xué)高三高考全真仿真考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為函數(shù)的極值點,求證：．