專(zhuān)題10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差（原卷版）

專(zhuān)題10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差題型一離散隨機(jī)變量題型二求分布列題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用題型四求離散隨機(jī)變量的均值與方差題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用題型六決策問(wèn)題題型一 離散隨機(jī)變量例1．下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車(chē)站等出租車(chē)的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性例2．（多選）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量，其中是離散型隨機(jī)變量的為（）A．高速公路某收費(fèi)站在未來(lái)1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)XB．一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置YC．某景點(diǎn)7月份每天接待的游客數(shù)量D．某人一生中的身高X練習(xí)1．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)2．(多選題)下列變量：①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量為；②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為；③某水電站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為；④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)為.其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的練習(xí)3．(多選)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局平兩局練習(xí)4．下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是_____，是連續(xù)型隨機(jī)變量的是_____（填序號(hào)）．①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X；②某水文站觀察到一天中江水的水位X；③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X；④某大橋一天經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)X.練習(xí)5．盒中有9個(gè)正品和3個(gè)次品零件，每次從中取一個(gè)零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為.(1)寫(xiě)出的所有可能取值;(2)寫(xiě)出所表示的事件.題型二 求分布列例3．（多選）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10例4．不透明的盒子中有個(gè)球，其中個(gè)綠球，個(gè)紅球，這個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個(gè)球，取出紅球即停.記為此過(guò)程中取到的綠球的個(gè)數(shù).(1)求；(2)寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，并求.練習(xí)6．某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，則等于_____．練習(xí)7．?dāng)S兩顆骰子，用X表示兩點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值.求X的分布.練習(xí)8．同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為，記．(1)求X的概率分布；(2)求.練習(xí)9．同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個(gè)關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個(gè)關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開(kāi)始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過(guò)關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過(guò)都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．(1)同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率；(2)同學(xué)甲成功通過(guò)關(guān)卡的個(gè)數(shù)為，求的分布列．練習(xí)10．某廠家為增加銷(xiāo)售量特舉行有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)，即每位顧客購(gòu)買(mǎi)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).在一個(gè)不透明的盒子中放有四個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標(biāo)有1，2，3，5四個(gè)數(shù)字，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個(gè)小球上的數(shù)字分別為，，若為奇數(shù)即為中獎(jiǎng).(1)求某顧客甲獲獎(jiǎng)的概率；(2)求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.題型三 分布列的性質(zhì)應(yīng)用例5．（多選）隨機(jī)變量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且，X246Pabc則（）A．a(chǎn)＋b＋c＝1 B．C． D．例6．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小練習(xí)11．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．練習(xí)12．下列表中能稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4練習(xí)13．已知隨機(jī)變量的分布列為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．練習(xí)14．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910P且數(shù)列滿足，則_____．練習(xí)15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則_____．題型四 求離散隨機(jī)變量的均值與方差例7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒(méi)有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，則（

）A． B．C． D．例8．甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為_(kāi)____．練習(xí)16．（多選）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下：ξ012P0.50.5－xx則當(dāng)x在內(nèi)增大時(shí)（

）A．減小 B．增大C．減小 D．增大練習(xí)17．隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝_____．練習(xí)18．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉辦．中國(guó)田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級(jí)才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級(jí)與否互不影響．(1)試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大?。?2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望．練習(xí)19．甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率；(2)這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.練習(xí)20．喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從兩個(gè)題庫(kù)中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來(lái)自同一題庫(kù)，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來(lái)自同一題庫(kù)，題庫(kù)每題20分，題庫(kù)每題30分，一班能正確回答題庫(kù)每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫(kù)每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．(1)若一班前兩輪選題庫(kù)，后三輪選題庫(kù)，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫(kù)，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫(kù)，二班后三輪不更換題庫(kù)，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來(lái)判斷，哪個(gè)班贏下這場(chǎng)比賽？題型五 均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用例9．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當(dāng)從0增大到1時(shí)（

）012A．增大 B．減小C．先減后增 D．先增后減例10．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列為若隨機(jī)變量，，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A． B． C． D．練習(xí)21．（多選）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．0 C． D．練習(xí)22．（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．練習(xí)23．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）02A． B． C． D．練習(xí)24．（多選）設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，若用隨變量描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，，分別為隨機(jī)變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．練習(xí)25．已知隨機(jī)變量的分布列為012(1)求的值；(2)求；(3)若，求.題型六 決策問(wèn)題例11．從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為；乙全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.例12．核酸檢測(cè)也就是病毒和的檢測(cè)，是目前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測(cè).通過(guò)核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無(wú)病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類(lèi)推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽(yáng)性，份陰性.若每次檢測(cè)費(fèi)用為元（為常數(shù)），記檢測(cè)的總費(fèi)用為元.(1)當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)以檢測(cè)成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？練習(xí)26．王師傅用甲、乙兩臺(tái)不同型號(hào)的車(chē)床加工某種零件，已知用甲車(chē)床加工的零件合格的概率為，用乙車(chē)床加工的零件合格的概率為，且每次加工的零件是否合格相互獨(dú)立．(1)若王師傅用甲、乙車(chē)床各加工2個(gè)零件，求他加工的零件恰好有3個(gè)合格的概率；(2)若王師傅加工3個(gè)零件，有以下兩種加工方案：方案一：用甲車(chē)床加工2個(gè)零件，用乙車(chē)床加工1個(gè)零件；方案二：每次用一臺(tái)車(chē)床加工1個(gè)零件，若加工的零件合格，則下次繼續(xù)用這臺(tái)車(chē)床加工，否則下次換另一臺(tái)車(chē)床加工，且第一次用甲車(chē)床加工．若以加工的合格零件數(shù)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該選用哪種方案？練習(xí)27．2022年5月14日6時(shí)52分，編號(hào)為B-001J的C919大飛機(jī)從上海浦東機(jī)場(chǎng)第4跑道起飛，于9時(shí)54分安全降落，標(biāo)志著中國(guó)商飛公司即將交付首家用戶的首架C919大飛機(jī)首次飛行試驗(yàn)圓滿完成．C919大飛機(jī)某型號(hào)的精密零件由甲、乙制造廠生產(chǎn)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為，，三個(gè)等級(jí)，其中，等級(jí)的產(chǎn)品為合格品，等級(jí)的產(chǎn)品為不合格品．質(zhì)監(jiān)部門(mén)隨機(jī)抽取了甲、乙制造廠的產(chǎn)品各400件，檢測(cè)結(jié)果為：甲制造廠的合格品為380件，甲、乙制造廠的級(jí)產(chǎn)品分別為80件、100件，兩制造廠的不合格品共60件．(1)補(bǔ)全下面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)？合格品不合格品合計(jì)甲制造廠400乙制造廠400合計(jì)800(2)若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為200元，每件，等級(jí)的產(chǎn)品出廠銷(xiāo)售價(jià)格分別為400元、320元，等級(jí)的產(chǎn)品必須銷(xiāo)毀，且銷(xiāo)毀費(fèi)用為每件20元．用樣本的頻率代替概率，試比較甲、乙制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利的大小．附：0.10.050.012.7063.8416.635練習(xí)28．某公司對(duì)新生產(chǎn)出來(lái)的300輛新能源汽車(chē)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每輛汽車(chē)要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測(cè)不合格的將被列為不合格汽車(chē)，有且只有一名質(zhì)檢員檢測(cè)不合格的汽車(chē)需要重新由甲、乙兩人各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，重新檢測(cè)后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測(cè)不合格，也會(huì)被列為不合格汽車(chē)．假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測(cè)相互獨(dú)立，每一次檢測(cè)不合格的概率為(1)求每輛汽車(chē)被列為不合格汽車(chē)的概率p；(2)每輛汽車(chē)不需要重新檢測(cè)的費(fèi)用為60元，需要重新檢測(cè)的前后兩輪檢測(cè)的總費(fèi)用為100元，求每輛汽車(chē)需要檢測(cè)的費(fèi)用X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(3)公司對(duì)本次質(zhì)量檢測(cè)的預(yù)算支出是4萬(wàn)元，若300輛汽車(chē)全部參與質(zhì)量檢測(cè)，實(shí)際費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算?練習(xí)29．某水果店的草莓每盒進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價(jià)格全部處理完.店長(zhǎng)為了決策每?jī)商斓倪M(jìn)貨量，統(tǒng)計(jì)了本店過(guò)去40天草莓的日銷(xiāo)售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：日銷(xiāo)售量/十盒78910天數(shù)812164假設(shè)草莓每日銷(xiāo)量相互獨(dú)立，且銷(xiāo)售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每?jī)商熘袖N(xiāo)售草莓的